Уравнение Прандтля

Таким образом, получаем систему уравнений движения в ламинарном пограничном слое — уравнения Прандтля — в виде [c.224]

В решениях уравнений Прандтля величины Vx/U и Vy lHJ ) могут быть, как мы видели, функциями только от х = х/1 и у = Но в задаче о полубесконечной пластинке нет [c.226]

При описании явления отрыва ( 35) уже было указано, что реальное положение линии отрыва на поверхности обтекаемого тела определяется свойствами движения в пограничном слое. Мы увидим ниже, что в математическом отношении линия отрыва есть линия, точки которой являются особыми точками решений уравнений движения в пограничном слое (уравнений Прандтля). Задача состоит в том, чтобы определить свойства этих решений вблизи такой особой линии ). [c.231]

Характер этих особенностей тоже непосредственно следует из сказанного. Действительно, дойдя до линии отрыва, течение отклоняется, переходя из области пограничного слоя в глубь жидкости. Другими словами, нормальная составляющая скорости перестает быть малой по сравнению с тангенциальной и делается по крайней мере одного с нею порядка величины. Мы видели (см. (39.11)), что отношение так что возрастание Vy до Vy Vx означает увеличение в Vr раз. Поэтому при достаточно больших числах Рейнольдса (о которых, разумеется, только и идет речь) можно считать, что Vy возрастает в бесконечное число раз. Если перейти в уравнениях Прандтля к безразмерным величинам (см. (39,10)), то описанное положение формально означает, что безразмерная скорость и в решении уравнений становится на линии отрыва бесконечной. [c.232]

Но в уравнениях Прандтля скорость Vy является своего рода вспомогательной величиной, которой при исследовании движения в пограничном слое обычно не интересуются (в свя,зи с ее малостью). Поэтому желательно выяснить, какими свойствами обладает вблизи линии отрыва функция Vx. [c.232]

Заметим, что профиль скорости для основного участка затопленной струи, а также зависимости (8) и (9) можно получить из уравнений Прандтля — [c.371]

Это усло)вие можно получить непосредственно из первого уравнения Прандтля, учтя, что при у = О = О и = 0. Следовательно, при у = О [c.342]

Уравнение (III.5.7) аналогично уравнению Прандтля из теории крыла конечного размаха. [c.154]

Понятие о пограничном слое и система уравнений Прандтля для реагирующих газовых смесей. Начальные и граничные условия [c.371]

Из (7.9.46) и (7.9.48) следует, что эти выражения представляют собой главные члены разложения компонент ко-рости по степеням Ух — х. Интересно, что при х >Х обе компоненты скорости становятся комплексными величинами, что свидетельствует о бессмысленности использования уравнений Прандтля за точкой отрыва. [c.436]

Рассмотрим обтекание плоской бесконечно тонкой пластинки несжимаемой вязкой жидкостью. Пусть вдали перед пластинкой жидкость движется поступательно с постоянной скоростью Ид. Пластинка имеет бесконечную длину и расположена вдоль по потоку параллельно скорости Задача плоская движение установившееся жидкость занимает всю плоскость вне пластинки. Эта задача о движении вязкой жидкости является самой простой, но, несмотря на это, она не поддаётся точному решению с помощью уравнений Навье —Стокса ввиду больших математических трудностей. Мы разберём эту задачу с помощью уравнений Прандтля, которые получаются из общих уравнений движений вязкой жидкости с помощью некоторых приближений ). [c.122]

Это обстоятельство есть свойство уравнений Прандтля (3.1). Если применить преобразование (3.5) к уравнениям Навье—Стокса, то в результате получим безразмерные уравнения, содержащие параметр R, вследствие чего дальнейшие выводы теряют свою справедливость в применении к уравнениям Навье—Стокса. [c.124]

Решение практических задач ламинарного пограничного слоя путем непосредственного интегрирования уравнений Прандтля при произвольном распределении скорости в невозмущенном потоке представляет знач[[-тельные трудности. На помощь приходят приближенные методы, основанные на интегральных соотношениях между параметрами течения в пограничном слое. В качестве примера рассмотрим соотношения, полученные Карманом на основе теоремы об изменении количества движения. [c.238]

При обтекании плоской пластины сопротивление трения определяется касательными напряжениями, действующими вдоль обтекаемой потоком жидкости или газа твердой поверхности. Эти напряжения могут быть определены для полубесконечной плоской пластины непосредственно из системы уравнений Прандтля (5.11). [c.242]

Уравнения теплопроводности, движения и сплошности для несжимаемого пограничного слоя принимают вид (уравнения Прандтля) [c.110]

Система уравнений (3-1-6) и (3-1-7) называется уравнениями Прандтля для пограничного слоя. Граничными условиями будут [c.181]

Для пограничного слоя при известных допущениях эллиптические уравнения Навье-Стокса переходят в параболические уравнения Прандтля. Поэтому, как показал Л. Прандтль [3], решения стационар- [c.284]

Здесь еще раз следует подчеркнуть, что упомянутое условие устойчивости дифференциальных уравнений пограничного слоя справедливо лишь для уравнений Прандтля. А именно из уравнений пограничного слоя в форме Мизеса следует, что возмущающие процессы любого характера после минимума давления значительно возрастают в направлении движения. Условия устойчивости получаются совсем другими, если в основу дифференциальных уравнений положить уравнение в форме уравнения Л. Крокко. При этом развитие неустойчивости находится в особой зависимости от получаемого решения. Аналогичные вопросы возникают и при решении таких же параболических линейных уравнений теплопроводности. Они связаны заменой зависимой переменной независимой. В настоящей работе рассмотрение неустойчивости ограничивается исследованием уравнений пограничного слоя в форме уравнений Прандтля. [c.285]

Как было нами показано ранее [6], при использовании сугубо приближенного метода уравнения Прандтля в устойчивой области могут быть численно неустойчивыми. Это происходит в том случае, если аппроксимация дифференциальных уравнений приводит к неустойчивой форме приближенных уравнений. Поэтому представляется необходимым провести более точные исследования методом конечных разностей. [c.285]

Неустойчивость уравнений Прандтля по отношению к возмущениям-какого-нибудь профиля скорости объясняет не только уменьшение точности, что при использовании метода конечных разностей имеет место вблизи точки отрыва, но также и неточности приближенного метода Польгаузена, возникающие в области падения скорости. [c.286]

Физическое толкование эффекта неустойчивости для предельного вдува основано на предположении о нарушении механизма вязкого обмена импульсом при слишком большом поступлении в пограничный слой инородного вещества, имеющего на стенке нулевую продольную составляющую скорости. С другой стороны, пограничный слой настолько утолщается, что уравнения Прандтля теряют свою силу. Для вычисления асимптотических значений Hi при отрицательных значениях параметра Mi было использовано полученное нами точное решение уравнения теплового пограничного слоя пластинки, обтекаемой равномерно нагретой жидкостью при однородном отсосе и неизменной температуре стенки. [c.140]

В отмеченных выше работах решения, как правило, строятся в виде рядов, а плоская задача приводит к интегро-дифференциальному уравнению Прандтля, которое дает возможность в ряде частных случаев находить решение в замкнутой форме. [c.94]

В теории течения зависимость между приращениями напряжений и деформаций описывается уравнениями Прандтля-Рейсса [38] [c.75]

Уравнения Прандтля для пограничного слоя [c.155]

Существенным обстоятельством, ограничивающим широкое использование уравнений Прандтля, является переход при определенных значениях Re в пределах пограничного слоя от слоистого, ламинарного течения к хаотическому, турбулентному режиму. Именно второй тип течения при больших Re, как правило, и имеет место. Тогда необходимо либо вносить определенные коррективы в уравнения Прандтля, либо искать другие, более универсальные пути расчета характеристик пограничного слоя. [c.159]

Однако и здесь необходимо иметь еще одно соотношение, связывающее f и б . В отличие от уравнения Прандтля при выводе соотношения (6.45) мы не делали никаких предположений относительно характера движения жидкости. На этом основании будем считать соотношения (6.44) — (6.46) справедливыми как для ламинарного, так и для турбулентного течения в пределах пограничного слоя. Правда, добавочные связи между неизвестными, входящими в указанные уравнения, будут различными для каждой формы течения. [c.163]

Сравнение между собой двух последних членов первого уравнения с использованием тех же масштабов, что и ранее при выводе уравнений Прандтля, дает [c.171]

Расчет характеристик ламинарного пограничного слоя базируется на приближенном выражении (6.72), описывающем распределение скоростей в поперечном сечении этого слоя. Точное решение рассматриваемой задачи с использованием дифференциальных уравнений Прандтля (6.36) приводит к следующим выражениям [c.178]

Проанализируем условие движения жидких частиц в каждой из указанных областей на основании дифференциального уравнения Прандтля (6.55). С этой целью умно- [c.182]

В частности, при выводе уравнений Прандтля для пограничного слоя все линейные размеры были выражены [c.191]

Уравнения пограничного слоя в дифференциальной форме. Ламинарное течение в плоском установившемся пограничном слое описывается приближенными уравнениями Прандтля [c.41]

В более общих задачах об обтекании тел сквозь поверхность тела может происходить отсасывание или, наоборот, выдавливание жидкости. При некоторых условиях и в этих случаях толщина пристеночного слоя, где существенно влияние вязкости, имеет порядок так что для описания течения в этом слое можно пользоваться уравнениями Прандтля. Использованию уравнений Прандтля для решения задач о ламинарных течениях жидкости в пограничном слое на твердом теле посвящена обширная литература (см., например, монографии [1-3]). Имеются и строгие доказательства существования и единственности решения уравнений Прандтля для таких течений [4]. Эти доказательства теряют, однако, силу в тех случаях, когда внутри пограничного слоя имеется зона обратных токов. Уравнения пограничного слоя широко используются также для решения задач о ламинарном смешении потоков, имеющих разные скорости, и о течениях в ламинарных струях. В этих задачах решения получены только для течений, в которых продольная составляющая скорости не меняет знак. [c.91]

Для рассмотрения некоторых свойств течений в пограничном слое с обратными токами ограничимся случаями течения вдоль плоской пластины, для которой уравнения Прандтля имеют вид [c.92]

Для газа согласно уравнению Прандтля [c.81]

Рассмотрим акустический пограничный слой у плоской твердой стенки (плоскость xz), причем движение будем считать плоским — в плоскости ху И. S lili hling, 1932). Приближения, связанные с малой толщиной пограничного слоя, описаны в 39 и сохраняют силу для рассматриваемого нестационарного движения. Нестационарность приводит лишь к появлению в уравнении Прандтля (39,5) членов с производными по времени [c.430]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-нии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энергии для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

На основе этих уравнений формулируется известная теорема, часто называемая в теории пограничного слоя оановным законом давление в пограничном слое создается внешним невязким течением, т. е. давление в пограничном слое одинаково с давлением во внешнем потоке. Хотя предыдущий вывод был вначале сформулирован для плоской пластины, однако он справедлив также и для градиентных течений. Напротив, в настоящее время очень большое внимание уделяется экспериментальным данным по обтеканию плоской пластины при любых распределениях давления, которые организуются соответствующим профилированием противоположной стенки. В работе [3] впервые показано, что уравнения Прандтля для плоского потока справедливы и для изогнутой стенки при условии, что радиус кривизны стенки значительно превышает толщину пограничного слоя и плавно изменяется вдоль изогнутой стенки. В этом случае х обозначает длину дуги стенки, а г/ — расстояние, перпендикулярное стенке. На острых краях, как, например, на передней кромке плоской пластины, теория пограничного слоя неприменима. [c.8]

Краткое содержание. В предыдущей работе исследовалось влияние малых возмуш,ений входного профиля на решения уравнений стационарного пограничного слоя. Назовем решение устойчивым, если каждое такое возмущение затухает в направлении потока, и неустойчивым, если этого не происходит. В противоположность явлениям неустойчивости, которые исследовались до настоящего времени в теории пограничного слоя (волны Толлмина, вихри Гёртлера и др.), здесь речь идет не о временном нарастании возмущений, а о стационарном развитии возмущений входного или какого-либо другого профиля. Будет доказано, что уравнения Прандтля для стационарного пограничного потока становятся строго неустойчивыми там, где субстанциональное ускорение, параллельное стенке, становится отрицательным. Это наступает сразу же за минимумом давления. Смысл последнего утверждения будет раскрыт числовым расчетом стационарного пограничного потока. В частности, условия устойчивости определены методом конечных разностей. Наряду с требованием устойчивости на дифференциальные уравнения, как это известно из теории линейных уравнений теплопроводности, налагаются ограничения, связанные с выбором размеров ячеек. [c.284]

Из второго уравнения (6.36) следует, что в пределах пограничного слоя давление р не меняется в поперечном направлении. Этот вывод имеет важное значение, так как позволяет находить распределение давления вдоль оси х с помощью уравнения Эйлера для идеальной жидкости. Действительно, на внешней границе пограничного слоя (у=б) при равномерном поле скоростей внешнего потока ди/ду О и здесь уравнение Прандтля (6.36) переходит в уравнение Эйлера для одномерного потока (2.26). Кроме того, условие постоянства давления поперек пограничного слоя позволяет оценивать давление в невозмущенной части потока (на верхней границе пограничного слоя) по измерениям этого давления непосредственно на обтекаемой поверхности. Следует, однако, иметь в виду, что др/дуФО на сильно искривленной поверхности, где радиус кривизны со- [c.158]

Первые три условия непосредственно вытекают из определения пограничного слоя, а четвертое можно написать на основании уравнения Прандтля для пограничного слоя. Действительно, поскольку dpjdx=Q, первое уравнение системы (6.36) примет вид [c.177]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...