Уравнения Эрнста

В главе б будет рассмотрено уравнение Эрнста. Мы опишем его алгебру продолженных структур и порождаемые ею ПБ. Это будег сделано несколько более подробно, чем в случае других уравнений, о следующим причинам. Во-первых, уравнение Эрнста является достаточно важным уравнением математической физики, связанным с другими уравнениями теории поля, которое в то же время не часто встречается в общих контекстах, где рассматриваются одновременно различные примеры интегрируемых уравнений. Во-вторых, в последующем мы намереваемся рассмотреть связь между ПБ и другими методами генерации решений и, в первую очередь, с методом одевания, причем это рассмотрение предполагаем сделать именно на примере уравнения Эрнста, для которого эти методы хорошо разработаны. [c.9]

Упомянем здесь также более общие уравнения, которые также принято называть уравнениями Эрнста. Эти уравнения возникают как аналогичные двумерные редукции, но уже ие вакуумных уравнений Эйнштейна, а электровакуумных уравнений Эйнштейна—Максвелла для взаимодействующих гравитационных и электромагнитных полей в пустоте, т. е. вне их источников (масс, зарядов, токов) [50]. В этом случае уравнений для двух комплексных потенциалов Е(х ,х ) и Ф(х ,х ). Записанные в единой форме, эти уравнения имеют вид (обозначения те же, что и Выше) [c.43]

Уравнение Эрнста как редукция уравнений Янга—Миллса [c.44]

Уравнения Эрнста как вполне интегрируемая [c.45]

В работе [92] для уравнений Эрнста (5.2) рассмотрена процедура генерации решений другого типа, чем солитонные решения, построенные в [87], хотя эти решения также связаны с рациональной структурой на плоскости спектрального параметра матрицы фунда ментального решения линейной спектральной задачи. [c.47]

В отличие от многих из перечисленных выше подходов, основанных на более или менее общих идеях и методах, применимость которых была обусловлена сходством рассматриваемых уравнений Эрнста с другими интегрируемыми системами, в упоминавшейся работе [80] и еще более поздней работе того же автора [81] сделана попытка наиболее [c.47]

Рассмотрим далее процедуру построения алгебры продолженных структур для уравнения Эрнста (5.1) и некоторых ее представлений. Для этого сначала запишем уравнение Эрнста вместе с уравнением для функции а в координатах (х , х ), в которых 17 " имеет вид = [c.49]

Для этих 1-форм в силу уравнений Эрнста (5.4) выполняются соотношения [c.50]

Набравшись определенного терпения, выпишем здесь в общем виде получающиеся таким образом соотношения, вычисленные в работе [94], вид которых служит хорошей иллюстрацией характера технической работы, потребовавшейся их первооткрывателям, и которые, несмотря на их громоздкость, все же могут оказаться полезными в каких-либо ситуациях. Итак, для того, чтобы набор величин А[, Б ,С ,Аз, В з,Сз) удовлетворял уравнениям Эрнста в форме (5.6), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты [c.53]

Эти матрицы связаны калибровочным преобразованием с матрицами, использованными Белинским и Захаровым [66] при формулировке метода обратной задачи для уравнений, эквивалентных рассматриваемым уравнениям Эрнста [94] [c.58]

Уравнения Эрнста возникают в обшей теории относительности как двумерные редукции уравнений Эйнштейна для гравитационных полей в вакууме. В случае стационарных полей с осевой симметрией эти уравнения могут быть записаны в весьма элегант1гой форме [49] в виде одного нелинейного (квазилинейного) уравнения эллиптического типа для одной неизвестной комплексной функции Е(р,г), называемой потенциалом Эрнста. В другом двумерном случае, когда искомое решение зависит от времени и одной из пространственных координат, как, например, в случае плоских цилиндрических волн, а также для решений космологического типа, возникает аналогичное уравнение, но уже волнового (гиперболического) типа, которое также принято называть уравнением Эрнста. [c.42]

Весьма интересен факт, что к уравнению Эрнста (5Л) приводит также двумерная редукция автсшуальных уравнений Янга—Миллса в четырехмерном евклидовом пространстве для 5 7(2)-кали6ровочных полей в предположении об их осевой симметрии и независимости от четвертой координаты, а также при выборе специальной калибровки. Поясним связь этих уравнений немного подробнее. Уравнения автодуальности имеют вид [c.44]

В этом случае уравнения (5.3) с учетом приведенных выражений через потенциалы А приводят к уравнениям для функций / н ф, которые можно записать в виде одного уравнения для одного комплексного потенциала Е = / + ф, совпадаюшего с уравнением Эрнста (5.1). [c.44]

Более десяти лет назад было окончательно установлено, что как ва хуумные уравнения Эрнста (5.1), так и электровакуумные уравнения Эряста (5.2) представляют собой вполне интегрируемые системы. Это утверждение следует понимать здесь в том широком смысле, что эти уравнения, как выяснилось, имеют чрезвычайно богатую внутреннюю структуру, весьма сходную с той, которой обладают многие другие, хорошо известные й ставшие уже классическими примерами вполне интегрируемые нелинейные уравиения. [c.45]

Так, вначале в ряде работ [52-54] были обнаружены различные частные преобразования симметрии для гравитационных полей, описываемых уравнениями Эрнста. В работе [55] был сделан вывод о су-шествовании бесконечномерной группы преобразований, сохраняющих полевые уравнения для класса полей, описываемых уравнением Эрнста, и высказана гипотеза о том, что эта группа действует транзит-но в пространстве всех решений, т. е. эти преобразования позволяют получить любое решение из любого наперед заданного, например, иа пространства Минковского. Систематическое исследование внутренних симметрий уравнений, эквивалентных уравнениям Эрнста, было проведено в целой серии работ [56-63]. Уже в первых двух работах этой серии Киннерсли и Читром была явно описана бесконечномерная алгебра внутренних симметрий уравнений Эрнста. [c.45]

В это же время на основе совершенно иных представлений возникли весьма эффективные методы построения точных решений уравнений Эрнста. Так, на основе аналогии матричных уравнений, эквивалентных уравнениям Эрнста, и уравнений нелинейной <г-молели Мэйсоном [64,65] была высказана уверенность в том, что эти уравнения являются вполне интегрируемыми н более того, ему удалось построить для них некоторое подобие представления Лакса. Практически одновременно с этим Белинский и Захаров [66, 67] не только построили некоторую спектральную задачу, но и применив для нее метод одевания, явно вычислили ЛГ-солитонные решения, а также свели задачу построения решений несолитонного типа к матричной задаче Римана на плоскости вспомогательного комплексного (спектрального) параметра. [c.45]

Боле поэдне , но весьма полезное изложение различных модифицированных методов построения преобразований Беклунда для уравнения Эрнста можно найти в работах [74, 75]. [c.46]

Далее, Иейгебауером [78] был построен некоторый аналог интегрального уравнения Гельфанда—Левитана—Марченко на основе найденной ранее [70] спектральной задачи для уравнения Эрнста. [c.46]

Хаусером и Эрнстом [79] была обоснована гипотеза Героча о транзитивности действия бесконечномерной группы внутренних симметрий в пространстве решений, однако при этом весь подход, сформулированный Хаусером и Эрнстом, существенно опирается на ограничение, вводимое ими на класс рассматриваемых решений (условие регулярности оси симметрии). При этом ограничении оставшийся класс решений характеризуется вдвое меньшим числом независимых функций одной переменной по сравнению с их числом, характеризующим общее решение уравнения Эрнста (5.1). Эта трудность исчезает при использовании существенно иного подхода, развитого позднее одним из авторов [80 . В этой раб<)те, было выве ёно е. не маг [c.46]

Результаты, полученные в рамках перечисленных подходов, с очевидностью свидетельствовали о полной интегрируемости вакуумных уравнений Эрнста (5.1) и предоставляли на первый взгляд весьма разнообразные средства построения широких семейств точных решений, хотя в действительности многие из получ 1емых результатов оКс13Ы-вались весьма близкими до содержанию. В рг от 1Х [84-86] Косгро- [c.46]

Так, в первых же работах Киннерсли и Читра [56,57] исслеаовалась алгебра внутренних симметрий именно электровакуумных уравнений Эрнста. В работе [77] Хаусер и Эрнст обобщили свое интегральное уравнение на случай электровакуумных полей, однако полученные в этой работе некоторые семейства новых точных решений носили весьма частный характер. [c.47]

Многообразие свойств внутренней структуры уравнений Эрнста, а также богатство физического и геометрического содержания разнообразных явно вычисляемых классов их частных решений делает уравнения Эрнста весьма ссшержательным и интересным примером интегрируемых систем. Несомненный интерес представляет как сходство этих уравнений с другими известными интегрируемыми системами, поэволяющее применять уже известные общие схемы и методы, так и их различия, которые могут подсказывать новые пути анализа структуры уравнений и их интегрируемости. [c.48]

Сознавая очевидную неполноту описания истории исследования интегрируемости уравнений Эрнста и вполне вероятное присутствие некоторой доли субъективизма в ее изложении, мы все же ограничимся здесь сделанным перечислением результатов и вернемся к основной теме настоящего обзора — описанию методов построения преобразований Беклунда для этих уравнений. Основой же для этого построения нам будет служить в первую очередь общий подход, сформулированный в известной работе Эстабрука и Уолквиста [31], а наше изложение во многом будет следовать работам Гаррисона [68, 74], а также весьма обстоятельной, однако носящей более методический характер работе [94]. Кроме того, для простоты мы ограничимся лишь случаем вакуумного уравнениям Эрнста (5.1). [c.48]

Перейдем, наконец, к построению преобразований Беклунда для уравнений Эрнста в форме (5.6). Эти преобразования ищутся в виде линейных преобразованмй между наборами величин типа А[,В[, С , и 1, В1,С1,Ла, Вз,Сз , где набор величин без щтриха отвечает некоторому исходному решению (5.6), а набор величин со штрихом отвечает новому, преобразованному решению (68, 69, 74, 94] [c.53]

Ранее, при рассмотрении уравнений КдВ, Лиувилля и других обсуждалась связь типа интегрируемости с разм ерностью алгебры продолженных структур и с наличием спектрального параметра в преобразованиях Беклунда и в —< -парах. Точнее говоря, в предыдущих случаях именно наличие спектрального параметра и обеспечивало бесконеч-номерность алгебры, т. к. он играл роль параметра, непосредственно задающего градуировку в алгебре Каца — Муди. В случае уравнения Эрнста в упомянутых здесь преобразованиях Беклунда никаких дополнительных параметров нет, однако входящие в них дифференциальные операторы уже образуют бесконечную алх ебру. Поясним это на примере преобразования Нейгебауера [c.58]

В то же время, в подходе к анализу алгебры продолженных структур для уравнений Эрнста, развитом Гаррисоном [74], рассматривавшем иную двумерную реализацию алгебры продолженной структуры, дополнительный параметр., зависящий также от координат х, х , уже присутствовал в полученных им уравнениях, определяющих псевдопо-тенциал. В этой реализаций коэффициенты выбираются линейными по псевдопотенциалам д = 91, д у (или в компонентах где а, а, 0 = 1, 2), причем коэффициенты этой линейной зависимости, т. е. величины предполагаются функциями некоторой величины С> которая явно зависит от координат [c.59]

В заключение нам хотелось бы подчеркнуть, что приведенные здесь элементы различных подходов и их взаимосвязи, с нашей точки зрения, достаточно наглядно свидетельствуют о наличии чрезвычайно богатой внутренней структуры интегрируемых систем и, в частности, рассматривавшегося более подробно уравнения Эрнста. Каждый из существующих подходов к описанию различных аспектов внутренней структуры вполне интегрируемых уравнений обладает своей красотой и, конечно же, заслуживает значительно более детального рассмотрения и анализа. Не надеясь о этом сравнительно кратком обзоре сколь-нибудь полно отразить разнообразные применения, а также все достоинства упомянутых здесь методов, мы хотели лишь выделить некоторые существующие взаимосвязи и аналогии, возникающие при рассмотрении различных случаев интегрируемости и подходов к построению преобразований Беклунда, что может способствовать формированию более общих представлений о структуре интегрируемых уравнений, выделению наиболее общих свойств и закономерностей, а также помочь выделить на этом фоне спепифические особенности некоторых из рассматриваемых уравнений, которые могут указывать новые пути к их интегрированию. [c.60]

Пол ученное выражение является уравнением Эрнста и Мерчанта [329]. [c.112]

В 1958 г. С. С. Забродский опубликовал работы Л. 741 и 744], в которых вывел приближенные теоретические уравнения переноса тепла псевдоожиженным слоем от омываемой им поверхности (см. выше). В работах [Л. 742 и 744] на основе развитых представлений дан анализ экспериментальных данных различных исследователей. Позднее,в 1959—1960 гг., ко многим сходным выводам пришли Эрнст [Л. 972], И. П. Мухленов, Д. Т. Трабер и В. Б. Саркиц [Л. 931, 932 [c.375]

Уравнение (3.3.74) известно как модифицированное уравнение Энскога. В такой форме его вывели Эрнст и ван Бейерен [77] путем частичного суммирования цепочки ББГКИ для твердых сфер с граничным условием Боголюбова. [c.215]

Значительно более широкие, чем построенные в [77], семейства решений представляют собой -солитонные решения уравнений (5.2), полученные впервые в работе одного из авторов [87]. Возникшая в [87] в рамках сформулированного метода обратной задачи линейная система со спектральным параметром оказалась весьма близкой к системе совершенно иной природы, возникшей в подходе Хаусера и Эрнста, [c.47]

Несколько иное развитие подхода Хаусера и Эрнста было получено в работе Сибгатуллина [91], где для того же класса решений, ограниченного дополнительным условием регулярности оси симметрии, вместо матричного интегрального уравнения было построено скгшярное интегральное уравнение, однако при этом никаких новых точных решений найдено не было. [c.47]

Планк (Plan k) Макс Карл Эрнст Людвиг (1858 1947) — выдающийся немецкий фи.чик-теоретик, создатель квантовой теории. Окончил Берлинский университет (1878 г.). Профессор Мюнхенского (1880-1885 гг.), Кильского( 1885-1889 гг.). Берлинского (1889-1928 гг.) университетов. В 1900 г. ввел квант действия и теоретически вывел закон распределения энергии в спектре абсолютно черного тела. Это открытие, — писал А. Эйнштейн, — стало основой для всех исследований в физике XX в. и с того времени полностью обусловило ее развитие . Постоянная Планка, или квант дййствия, является одной нз трех универсальных постоянных в физике. Нобелевская премия 1918 г. Фундаментальное значение имеют работы Планка по теории относительности D 1906 г. он вывел уравнения релятивистской теории динамики, а в 1907 г. провел обобщение термодинамики в рамках специальной теории относительности. Ввел термин теория относительности [c.269]

Хеллингер Эрнст (1883-1950) — немецкий математик. Основные труды по интегральным уравнениям и квадратичным формам с бесконечным числом переменных. [c.446]

Фриш [1968] назвал эту методику методом сглаживания, поскольку она является как бы аналогом метода усреднения (гл. 5), в котором зависимые переменные состоят из медленных и быстропериодических слагаемых. Для стохастических уравнений эту методику впервые ввели Примас [1961], Эрнст и Примас [1963], Татарский и Герценштейн [1963]. Цванциг [1964] применил ее для уравнения Лиувилля. [c.409]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...