Функция фундаментальная

Фундаментальные функции. —Фундаментальная функция, соответствующая допустимой частоте определяется следующим выражением [c.181]

Возможность расчета с помощью фундаментального уравнения всех термодинамических свойств гомогенной системы заложена в самом способе его вывода. Действительно, все упоминавшиеся ранее термодинамические силы являются частными производными функции и(5, V, п) по сопряженным с ними независимым переменным — термодинамическим координатам. Если ввести общее обозначение для термодинамических сил Z=(7 , —X, 111) и для термодинамических координат q=(5, v, n), то правая часть (9.1) приобретает вид, напоминающий выражение для работы (5.7) или (5.13) [c.76]

Функции, лежащие в основе фундаментальных [c.79]

Используя рассмотренные правила преобразования переменных, можно выразить любой из аргументов функции S U, V, п) как функцию остальных величин и S. Каждая из образованных таким образом функций V U, S, v, n), n,(U, S, V, n ) и другие также будет характеристической. Задача заключается, однако, в том, чтобы иметь характеристические функции удобные для применения. Так, функции S(U, V, п) и U S, V, п) не удобны для практического использования из-за того, что их независимые переменные нельзя непосредственно контролировать экспериментально, т. е. нельзя измерить их или поддерживать значения соответствующих величин в интересующем процессе на заданном уровне. Прежде всего это касается, конечно, переменных U н S, но отмеченные трудности возникают и с другими экстенсивными переменными. Поэтому на основе фундаментальных уравнений (7.3), (9.1) в термодинамике получают другие вспомогательные характеристические функции с более удобными наборами аргументов. [c.80]

Другая удобная и часто применяемая форма представления фундаментальных уравнений для фазы связана с мольными функциями. Из определения мольных величин следует, что [c.87]

При известной характеристической функции все свойства однородной системы, зависящие от аргументов этой функции, должны выражаться в явном виде через нее и ее частные производные. Большинство необходимых для этого соотношений вытекают из фундаментальных уравнений и уже рассмотрено в предшествующем 9. Например, если известна энергия Гиббса системы, то ее объем находится с помощью (9.56), энтропия— с помощью (9.55), химические потенциалы веществ — [c.89]

Сравнение (11.10) и (11.13) показывает, что используемый в механике принцип неотрицательности работы виртуальных изменений состояния системы применим и к термодинамическим системам, если использовать соответствующие дополнительные условия. Выяснить эти условия несложно, они отвечают, очевидно, постоянству переменных естественного набора аргументов любой характеристической функции, так как возможность изменения какого-либо из аргументов означала бы возможность изменения и самой характеристической функции, что противоречит постулату о равновесии. Поэтому каждой характеристической функции должен соответствовать свой критерий равновесия. Но было бы неправильно основывать выводы критериев равновесия на соответствующих фундаментальных уравнениях, хотя бы потому, что фундаментальные уравнения записывались для фазы, в то время как критерии равновесия применяют для любых, в том числе и для гетерогенных, систем. В дополнение к сказанному ранее покажем это на примере критерия равновесия, выраженного через изменение энергии Гельмгольца. Фундаментальное уравнение для этой функции имеет вид (9.31) [c.108]

Использование для решения этой задачи критерия (11.36) осложняется тем, что давление в этом случае должно быть параметром системы, т. е. должно быть одинаковым во всех ее частях. Поэтому если исходить из фундаментальных уравнений (9.32) отдельных фаз, суммируя их для получения 6G системы аналогично (11.37), то к найденной таким способом вариации энергии Гиббса системы не удается применить критерий (11.36), так как давления в фазах и различаются и нет оснований считать, что фиксируемое давление Р отвечает какому-либо одному из них. Можно, однако, воспользоваться результатом расчета равновесия с помощью функции F, рассматривая систему сразу всю в целом, без детализации ее внутреннего строения. На основании определения энергии Гиббса G = F + PV. Внешнее давление Р = Р (см. рис. 5), так что [c.113]

Идеальная газовая фаза выполняет, таким образом, функции измерительного прибора, который подобно термометру или барометру приводится в соответствующий контакт с изучаемой фазой. Так как зависимость свойств идеальной фазы от переменных состояния известна заранее, измеряя значение этих переменных н пользуясь условием равенства термодинамических сил при контактных равновесиях, можно найти интенсивные свойства исследуемой фазы. Естественно, вместо газа может использоваться любая другая фаза с известным фундаментальным уравнением. Так, в идеальных растворах при всех концентрациях выполняется закон. Рауля [c.136]

Внутренняя энергия мембраны является, следовательно, функцией ее площади, избытка энтропии и поверхностных избытков количеств составляющих веществ (адсорбции веществ). В соответствии с этим фундаментальное уравнение для мембраны имеет вид [c.139]

Формальный смысл введения электрохимических и других полных потенциалов — исключение из фундаментальных уравнений зависимых переменных. В сложных системах целесообразнее, однако, пользоваться более общим методом решения, сводя расчет равновесия, как и ранее (см. 16), к задаче на условный экстремум какой-либо характеристической функции, а любые соотношения (уравнения и неравенства), существующие между термодинамическими величинами, рассматривать как дополнительные условия и ограничения, которым должны удовлетворять условно независимые переменные. Покажем еще раз возможности этого подхода на примере расчета электрохимических равновесий, хотя в данном случае он не является кратчайшим путем к решению задачи. [c.148]

Такое разнообразие выражений для элементарных работ вызвано принятыми в физике способами описания электрических и магнитных явлений, а не термодинамическими особенностями этих систем. Действительно, соотношение (19.7) показывает, что функцию и можно рассматривать не как внутреннюю энергию, а как термодинамический потенциал Ль являющийся преобразованием Лежандра функции V. Формальный смысл введения этой функции—замена переменной на сопряженную ей интенсивную переменную 6. Соотношение между V" ц. и ъ поляризованной системе подобно соотношению между Я и (У в рассмотренных выше механических системах. Так, если давление в цилиндре создается весом поршня mg, то потенциальная энергия поршня mgh = Pa)h = PV, где h — высота цилиндра, со — площадь поверхности поршня. Можно ограничить рассматриваемую систему телом, находящимся, внутри цилиндра, внутренняя энергия такой системы равна U. Но можно включить в систему и поршень, тогда внутренняя энергия равняется U + PV=H. Физический смысл слагаемых типа VdP, входящих в фундаментальное уравнение функции, Н Т, Р, п) [c.161]

Это является весьма существенным физическим фактом, лежащим в основе одного из наиболее фундаментальных обобщений ньютоновской механики произведение массы материальной точки на ее ускорение является функцией положения этой точки относительно окружающих тел, а иногда также и функцией ее скорости. Эту функцию обозначают F и называют силой. [c.40]

Проанализируем эти фундаментальные соотношения. Очевидно, что при Лг < кТ можно разложить экспоненциальную функцию в ряд [c.425]

Это —фундаментальная задача классической механики, и ее правильное решение может быть получено несколькими способами, некоторые из которых весьма изящны. Так, в частности, формулировка задач механики с помощью функции Гамильтона (гамильтониан) позволяет интерпретировать их на языке квантовой механики. Однако в начале курса нам нужнее простое и непосредственное изложение, чем общность гамильтоновых й лагранжевых формулировок, обычно излагаемых в более поздних курсах ). [c.155]

Фундаментальные решения. Функция Грина [c.86]

Фундаментальным решением для оператора Лапласа Д называется решение v = v x, у) уравнения (2.244) с правой частью в виде дельта-функции, т. е. [c.86]

Для решения задачи о построении функции Грина, в данном случае совпадающей с фундаментальным решением, применим прием, позволяющий свести задачу к построению фундаментальных решений для оператора Лапласа и, следовательно, использовать выражения (2.248). [c.94]

Принимая во внимание фундаментальное значение программных средств математического обеспечения ЭВМ в процессах создания и функционирования ПО САПР, целесообразно прежде всего рассмотреть состав и функции этих средств. [c.45]

Поскольку в кристалле атомы расположены в пространстве строго периодически, полный потенциал кристалла V r) должен обладать трехмерной периодичностью. Точный вид периодического потенциала 1 (г) неизвестен, хотя для некоторых диэлектриков и ме-тал лов У (г) может быть вычислен достаточно надежно. К счастью, оказалось, что для получения фундаментальных результатов теории можно и не знать точного вида потенциала У (г). Важно лишь знать, что V(r) является периодической функцией, период которой совпадает с периодом кристаллической решетки. [c.215]

За функции поперечного распределения Xi x) при 1>1 можно принимать фундаментальные функции поперечных колебаний балки, которые являются линейно независимыми. [c.19]

Аналогично для функций V(y), Y (у) могут быть выбраны балочные фундаментальные функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям [c.27]

Для более сложных случаев краевых условий возможны решения путем разложения в ряды по степеням малого параметра [114] и разложения по фундаментальным балочным функциям с применением вариационных методов [68]. [c.268]

Система уравнений (43) совпадает с уравнением (4.151) (при йг=0), поэтому можно воспользоваться фундаментальной матрицей (4.148), элементы которой выражены через функции Крылова. [c.284]

Функции и их производные образуют фундаментальную матрицу [для принятой последовательности компонент вектора 7 = 2 i Qx , Шх , 3. Чх [c.179]

Ниже рассмотрены конструкции и свойства теплообменников и регенераторов, применяемых в технике низких температур. Эти аппараты, как кратко указывалось выше, играют фундаментальную роль, выполняя две важные функции во-первых, обеспечивают накопление холода в машине и понижение температуры газа в пусковой период за счет относительно небольших холодильных эффектов и, во-вторых, поглощают весь, или почти весь, холод, переносимый потоками газа. Поэтому полезная холодопроизводительность установки непосредственно зависит от работы теплообменников. [c.99]

Предварительно в папке Work помещаем подпрограммы — функции фундаментальных функций Д j (/, л), А 2 Лз - ) [c.147]

Фз ндаментадьные функции. — Фундаментальные функции для прямоугольной мембраны имеют следующие интегральные свойства [c.206]

Определение температуры как физической величины, являющейся одной из фундаментальных в термодинамике, непосредственно связано с упомянутыми выше основными законами термодинамики. Обычно, исходя из первого закона тер-]лодинамики и используя формулировку Кельвина для второго закона, доказывают, что для обратимой тепловой машины, работающей по циклу Карно между температурами 01 и 02, отношение количества тепла Оь поглощенного при более высокой температуре 0ь к количеству тепла Оъ отданного при более низкой температуре 02, просто пропорционально отношению двух одинаковых функций от каждой из этих двух температур [c.17]

Фанно течение 300 Фотофорез 44 Фруда число 143 Фундаментальное тождество 271 Функция распределения массового 20 [c.532]

Для расчета термодинамических свойств, не (входящих непосредственно в фундаментальное уравнение, используют условие равенства вторых смешанных производных (4.10) и некоторые другие математические соотношения и методы. Так, очень часто возникает потребность перейти от одного набора независимых переменных к другому. Для этой цели удобно применять метод функциональных определителей Якоби. Пусть, например, требуется заменить переменные хи.. .,Хп на новые леременные уи...,уп. Это означает, что каждая из у (i = = 1,...,л) может рассматриваться как функция старых переменных yi = yi(xi,..., Хп), причем все у,- должны быть независимыми между собой. Дифференцирование функции у,- дает систему п линейных относительно dxj (/= ,...,л) уравнений [c.77]

Существование уравнений состояния позволяет считать, что в гомогенных системах частные производные входящих в фундаментальные уравнения термодинамических сил по координатам ((3Zi7 <7/)q отличны от нуля и наряду с другими термодинамическими свойствами являются однозначными функциями состояния фазы. Более определенно этот вывод следует из анализа устойчивости термодинамического равновесия ( 12). Поэтому матрица коэффициентов системы уравнений (9.49) [c.85]

Таким образом, выражение полного дифференциала любой характеристической функции является фундаментальным уравнением, содержащим в себе все сведения о термодинамических свойствах фазы или гомогенной системы. Эти уравнения различаются между собой наборами независимых переменных,, но могут быть преобразованы одно в другое по стандартным правилам. Набор независимых переменных в фундаментальном уравнении имеет обязательно по одной переменной интенсивной или экстенсивной, соответствующей каждому из контактов системы с окружением, так как этому условию удовле [c.88]

Эквивалентность всех фундаментальных уравнений видна из того, что в каждом из них участвует 2d+ величина (d=> = с + К+ независимых переменных, d сопряженных им величин и сама вспомогательная характеристическая функция), причем во всех термодинамичеоких потенциалах 2d величин [c.89]

Поскольку правая часть уравнений теории упругости — вектор, то при определении фундаментального решения дельта-функцию можно сТавйть поочередно на место первого, второго или третьего компонента этого вектора, фундаментальные решения при этом будут получаться различными. [c.90]

Функция-матрица К (х, у), определяемая уравнением (2.273), называется фундаментальным решением оператора Ламе. Равенс1во (2.273) означает, что [c.90]

За функции U(x), Х х) могут быть приняты балочные фундаментальные функции, соответствующие основному тону колебаний однопролетной балки и удовлетворяющие дифференциальным уравнениям [c.27]

Уравнение Шредингсра является в настояхцее время основным рабочим инструментом квантовой теории, но при его создании наибольшие трудности вызвал анализ физического смысла волновой функции ф (х, у,. Z, t). Ее свойства необычны — введенная для описания реально происходящих физических процессов, она, как это видно из (119), могла быть и комплексной. В 1927 г. М. Борн предложил интерпретацию ф (х. у, z, t), которая вскоре была признана всеми. Квадрат модуля волновой функции ф представляет вероятность обнаружешя часгицы в данной точке пространства в данный момент времени. При этом фундаментальным фактом становится то, что движение микрочастиц происходит по вероятностным законам. [c.171]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...