Вариационный принцип в нелинейной

И. И. Гольденблат. Вариационные принципы в нелинейной строительной механике (стр. 153—156). [c.404]

Теория преобразования вариационных проблем [0.9] применима, конечно, не только к квадратичным функционалам, которым соответствуют линейные краевые задачи известны примеры ее применения для исследования вариационных принципов в некоторых нелинейных задачах теории оболочек, но без исследования выпуклости и экстремальных свойств функционалов. [c.141]

Двойственные вариационные принципы в контактных задачах без трения сформулированы А. С. Кравчуком . Невариационный численный метод для конструкционно нелинейных контактных задач предложен Б. А. Галановым Методы конечных и граничных элементов разработали А. Н. Подгорный и др. Примеры численного решения контактных задач можно найти в работах и др. [c.65]

Третье издание книги разбито на две части, часть А и часть В. Содержание части А, озаглавленной Формулировка вариационных принципов в теории упругости и пластичности , практически не отличается от первого издания, за исключением некоторых новых тем в гл. 5 и 7. Содержание части В, озаглавленной Вариационные принципы как основа методов конечных элементов , мыслится как улучшенное изложение приложения I второго издания. В этой части систематически излагаются классические вариационные принципы и модифицированные вариационные принципы со смягченными (ослабленными) требованиями непрерывности применительно к задачам статической теории упругости (теория малых перемещений и теория конечных перемещений) и динамической теории упругости, а также к теориям геометрической и физической нелинейности и теории изгиба упругих пластин. Последняя глава посвящается методам дискретизации и содержит вновь добавленное введение в метод граничных элементов. [c.8]

Выводя вариационные принципы в этой главе, допустим, что зависимости напряжения — деформации не изменяются в процессе нагружения. Это допущение ограничивает применимость деформационной теории процессами, в которых нагрузка возрастает монотонно. Следовательно, оно приводит к тому, что деформационная теория пластичности становится неотличимой от нелинейной теории упругости, обсуждаемой в гл. 3, за исключением материалов, которые подчиняются условию текучести. Более того, будем предполагать, что деформации малы, и приведем постановку задачи теории пластичности в следующем виде ) [c.316]

Воспользуемся для примера вариационным принципом Лагранжа, который заключается в том, что вариация работы внутренних и внешних сил на возможных перемещениях, согласующихся с геометрическими граничными условиями, равна нулю. При этом предполагается, что во всех точках тела не возникает разгрузка (другими словами, рассматривается вариационный принцип Лагранжа для нелинейно-упругого тела). Вариация работы внутренних сил 6J7 определяется выражением [c.306]

В 1967 г. И. Ф. Бахарева сформулировала общий вариационный принцип неравновесной термодинамики на основе аналогий с лагранжевой формой аналитической механики, справедливый как в линейной, так и в нелинейной области. [c.267]

Изложенные вьпне вариационные принципы могут быть применены для решения геометрически нелинейных задач теории упругости. Для этого необходимо внести некоторые изменения в их математические формулировки. С>чь этих изменений состоит в следующем [c.53]

Перейдем далее к обсуждению вариационных принципов, предназначенных для исследования динамического роста трещины в нелинейном случае. Ниже без потери общности при рассмотрении нелинейности ограничимся поведением материала, в то время как деформации будем считать малыми. Что касается конечных деформаций, то обратитесь к работам [9, 37, 64]. При рассмотрении нелинейных задач следует иметь в виду, что вычислительные методы по сути своей основаны на приращениях. Предположим, что получено решение к моменту ti. Тогда состояние тела в момент будет определено следующим образом [c.276]

Итак, приближенное решение вариационных задач статистической динамики по методу множителей Лагранжа для простейших нелинейных систем обеспечивает высокий уровень точности уже при учете моментных соотношений второго порядка. В отличие от метода редукции уравнения относительно моментных функций здесь удовлетворяются не приближенно, а в строгом соответствии с совместной плотностью вероятности фазовых переменных. При этом форма распределения выбирается не произвольно, а на основе вариационного принципа максимума энтропии. Однако построение дальнейших приближений, которые могут потребоваться для системы с существенными нелинейностями, связано с громоздкими вычислениями. Привлечение моментных соотношений более высокого порядка приводит к усложнению выражения для р и резкому увеличению машинного времени на реализацию численного алгоритма. В связи с этим ниже рассмотрены другие варианты прямого метода решения вариационных задач, более удобные для практической реализации. [c.61]

Книга состоит из 11 глав, Гл. 1 содержит сведения из геометрически нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек типа Тимошенко построенной на основе независимых гипотез относительно характера распределения перемещений и поперечных касательных напряжений по толщине пакета. Путем использования смешанного вариационного принципа получены уравнения равновесия, граничные условия и интегральные соотношения упругости для поперечных касательных напряжений. В случае осесимметричной деформации многослойных анизотропных оболочек вращения выведена нормальная система десяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая в дальнейшем решается численно на ЭВМ. [c.4]

Другой общий подход к построению нелинейной механики сплошной среды, с привлечением основ термодинамики и электродинамики, развивается Л. И, Седовым. В основе этого подхода лежит введение дополнительных физических параметров в качестве искомых характеристик состояния и свойств среды. Седов дополнил соответствующий математический аппарат тензорного анализа, предложил общий вариационный принцип для исследования уравнений задачи и подошел (совместно со своими учениками) к построению новых моделей сплошной среды. [c.306]

Исследования, проведенные в последние десятилетия в теории потенциала, теории нелинейных колебаний, теории волновых процессов, теории систем с обратными связями, кибернетике, бионике и различных областях применения электронных счетных машин, неоспоримо выявляют более глубокое значение общих закономерностей механического движения для современного технического прогресса. Стоит указать, что вариационные принципы механики и методология отыскания универсальных динамических характеристик (мер) сложных процессов являются в наши дни исходными методологическими положениями в ряде важнейших разделов современной теоретической физики и их познавательное (эвристическое) значение уже переросло формальные границы простейшей формы движения. Мы с удовлетворением наблюдаем, как надлежащая оценка механических форм движения в физиологических процессах живого организма приводит к нетривиальным открытиям недоступным догматическим глашатаям невероятной сложности (а по существу — непознаваемости) специфики живого . Глубоко был прав гениальный М. В. Ломоносов, который советовал при изучении явлений природы широко использовать арсенал методов и средств, добытых всей наукой. Он писал, например, что химик обязан выспрашивать у осторожной и догадливой геометрии, советоваться с точною и замысловатою механикою, выведывать через проницательную оптику . [c.14]

Приведенный пример показывает, что если мы располагаем вариационным принципом, то небольшой объем вычислений дает достаточно точные результаты как станет ясно из дальнейшего изложения (разд. 5 и 7), тут не просто случайное совпадение. Это обстоятельство побуждает искать вариационный принцип и для нелинейного уравнения Больцмана. К сожалению, это не так просто. Дело в том, что для любого уравнения [c.398]

Формулировка вариационного принципа стационарности действия для нелинейно упругого тела в переменных Эйлера и вывод уравнения баланса импульса из него на основе канонического определения тензора напряжений Коши приводятся в [11, с. 190-195]. [c.679]

Принцип возможных перемещений и принцип минимальной дополнительной работы для материалов с нелинейной связью между напряжениями и деформациями или напряжениями и скоростями деформаций. В этом параграфе мы рассмотрим вариационные принципы для работы (приложимые к ряду твердых тел общего вида, которые рассматривались ранее) и попытаемся сформулировать их для случаев, когда варьируются либо составляющие смещений, либо напряженное состояние тела. Для определенности предположим, что рассматривается несжимаемая среда, в которой компонентами бесконечно малой пластической деформации являются Yyz. , что дифференциалы этих компонент выражаются в виде [c.170]

Если речь идет о линейных системах (16.1) и область U и функция Ф в (16.2) обладают подходящими свойствами выпуклости (или вогнутости), то многие такие задачи о минимаксе укладываются в схемы, обсужденные в 10 (см. стр. 193—197). В нелинейных случаях, а также в некоторых линейных нерегулярных случаях приложение описанных выше способов исследования (в частности, принципа максимума или классических критериев вариационного исчисления) потребовало их усовершенствования. Весьма общий подход к выводу необходимых условий экстремума для проблем вариационного исчисления, охватывающий, в частности, широкий круг задач об оптимальном управлении, описан в работах А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина (1963—1965). В этих работах были выведены необходимые условия минимума F (w ) для функционала F (w), заданного на элементах w из некоторого нормированного пространства ly . Допустимые значения предполагаются стесненными условием типа равенств или неравенств. При широких предположениях о геометрических свойствах этих ограничений, которые вместе с условием экстремума порождают в пространстве гг некоторые выпуклые конусы и линейные подпространства вариаций, выводятся искомые необходимые условия минимума. Эти условия сводятся к отсутствию общих точек у открытых частей упомянутых конусов и подпространств. Формулировка этого геометрического факта в терминах линейных функционалов и составляет содержание [c.213]

Вариационный принцип в нелинейной оптике 515 --для уравнения Клехша — Гордона 472 [c.606]

Фактически область применимости вариационного принципа в стохастических задачах динамики механических систем более широка, так как здесь, как и в статистической физике, не используется марковское свойство рассматриваемых процессов. Для вывода моментных соотношений, помимо уравнений типа Колмогорова, мбгут быть использованы и другие методы. В гл. 4 показано применение спектрального и корреляционного способов составления уравнений относительно моментных функций для нелинейных систем. [c.46]

Рассмотренные подходы обладают одним недостатком. Поперечные сдвиги и, вследствие использования закона Гука, поперечные касательные напряжения распределены равномерно по толщине А -го слоя. В этой главе, следуя работам [2.9, 8.2, 8.3], строится непротиворечивый с точки зрения смешанного вариационного принципа геометрически нелинейный вариант теории многослойных анизотропных оболочек, в котором поперечные компоненты тензора напряжений являются неп-рерьшными функциями поперечной координаты всюду в теле оболочки, в том числе и на поверхностях раздела слоев. При этом на граничных поверхностях они принимают заданные значения. [c.164]

Широкое развитие теории пластичности в нашей стране относится к сороковым годам. А. А. Ильюшин (1943) предложил теорию малых упруго-пластических деформаций, получившую распространение в приложениях. Им была доказана (1945, 1947) теорема о простом нагружении, позволившая на важном частном случае использовать связь между моделью нелинейно упругого тела и моделью упруго-пластической среды. Л. М. Качанов (1940), А. А. Марков (1947) и С. М. Фейнберг (1948) получили основные результаты по вариационным принципам для нелинейно упруго и жестко-пластического тел. Л. А. Галин, А. А. Ильюшин, X. А. Рахматулин, В. В. Соколовский и многие другие дали решения ряда интересных и трудных задач, положивших начало-основным научным школам по теории пластичности в СССР. [c.392]

Здесь варьируются независимо напряжения о и перемещепи>1 щ. Функционал Лагранжа, записываемый через и деформации ij, выраженные через Ut по формулам (12.2.1), послужил отправной точкой для всех выводов. Прямое распространение на геометрически нелинейные задачи вариационного принципа типа Кастильяно невозможно. Действительно, в линейной теории было использовано то обстоятельство, что беу выражается через Ьщ по тем же формулам, по которым б ,- выражаются через Uu Поэтому преобразование объемного интеграла можно было произвести до варьирования функционала. В нелинейной теории этого сделать нельзя. [c.392]

Пластиной называется тело, ограниченное двумя плоскостями Z = h и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси z. В плоскости z = О, называемой срединной плоскостью, выбираются произвольным образом координаты Ха (а = 1,2). Предполагается, что размеры пластины в плане значительно больше, чем толщина 2h (рис. 12.4.1). Так же, как в 2.1, где речь шла о стержнях, будем принимать за 1[аимень-ший поперечный размер наименьшее расстояние между касательными к контуру пластины. Под контуром пластины понимается контур сечения цилиндрической поверхностью плоскости Z = 0. Так же, как теория изгиба балок, теория пластин может быть построена при помощи любого из вариационных принципов. Если при выводе уравнения изгиба мы отправлялись от вариационного принципа Лагранжа, то здесь мы примем за основу вариационный принцип Рейснера (не в силу каких-то его преимуществ, а для иллюстрации метода). Дело в том, что в физически нелинейной теории пластин, изготов- Рис. 12.4.1 ленных из нелинейно-упругого или пластического материала, реализация вычислений на основе принципа Лагранжа приводит к очень большим трудностям, тогда как принцип Рейснера позволяет получить приближенное решение задачи относительно просто. [c.395]

Шире, чем обычно в общих курсах, освещены общие законы механики — вариационные принципы, энергетические теоремы и идеи общих методов (глава XV), теория тонкостенных систем, динамика (глава XVH) и теория устойчивости систем (глава ХУП1), усталость металлов (глава XIX). Дана по возможности современная трактовка методов строительной механики стержневых систем и общая нелинейная теория тонких стержней. [c.15]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Среди приближенных методов наибольшее распространениё получили методы, использующие вариационные принципы, и. методы возмущений (асимптотических разложений) по большим или малым значениям параметра или координаты. Полученные в предыдущих параграфах уравнения равновесия стержней и нитей, как правило, являются нелинейными и в общем случае не могут быть решены в аналитической форме за исключением частных случаев. При решении уравнений равновесия обычно используют или численные методы, или приближенные, использующие вариационные принципы механики. При численных методах решения задач усложняются тем, что все задачи механики стержней относятся к двухточечным краевым задачам. [c.47]

Другая особенность вариационной задачи Связана с числом моментных уравнений. Если число дополнительных условий, выраженных через моментные функции, ограничено, то плотность вероятности р (х) может принимать множество значений, удовлетворяющих моментным соотношениям. На этом множестве и определен функционал энтропии (2.7), для которого сформулирована вариационная задача. При неограниченном возрастании числа дополнительных условий в нелинейных задачах статистической динамики мощность множества допустимых р (х) сокращается. В пределе бесконечная система моментных уравнений определяет р (х) единственным образом, если выполняются известные условия Карлемана [20]. При этом вариационная задача об условном максимуме функционала энтропии в принципе вырождается, а сам функционал приобретает дельта-образ-ный вид в пространстве р (х). Тем не менее, как будет показано в следующем параграфе, формальное решение вариационной задачи можно выполнить по методу неопределенных множителей Лагранжа. В результате для частных случаев получаются точные аналитические выражения для плотности вероятности р (х). [c.42]

Из приведенного примера следует, что гауссовское приближение в сочетании с методом условных решений позволяет вскрыть основные качественные особенности поведения нелинейной стохастической системы и получить удовлетворительные количественные оценки. Отказ от гипотезы гауссовости и построение решения в виде ряда с использованием вариационного принципа приводит в рассмотренном примере к повышению точности результатов, как и для систем с симметричными характеристиками. [c.81]

Рассмотрим тонкую цилиндрическую оболочку, срединная поверхность которой имеет начальные отклонения от идеальной формы. Предположим, что внешняя нагрузка вызывает в соответствующей идеальной оболочке чисто безмоментное напряженное состояние. Для вывода уравнений нейтрального равновесия воспользуемся вариационным принципом Треффца [6] с учетом нелинейных соотношений теории оболочек. [c.210]

Геометрически линейная теория однородных оболочек типа Тимошенко построена в работах [ 1.24, 1.30, 1.33-1.35]. Линейные теории многослойных оболочек в рамках гипотез Тимошен-ко развиты в работах [ 1.4, 1.18,1.19, 1.31 и др.]. Геометрически нелинейная теория является менее исследованной. Общим вопросам нелинейной теории однородных оболочек с учетом поперечных сдвигов посвящены фундаментальные работы [ 1,1, L7, 1.29]. Л.Я. Айнола [ 1,1] построил теорию упругих анизотропных оболочек типа Тимошенко на основе обобщенного вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. К.З. Галимо-вым выведены уравнения движения при конечных перемеще- [c.7]

Помимо принципа Лагранжа, в нелинейной теории оболочев установлены и другие вариационные принципы [1, 10, 18, 25, 33] Вариационным методом исследования нелннеино-упругих оболочек посвящены работы [3, 4, 6—8, 33]. [c.110]

Для решения некоторых классов задач можно также эффективно использовать вариационные формулировки уравнений. В функционалах, с помощью которых получаются вариационные формулировки, также ослаблены требования на гладкость варьируемых функций по сравнению с исходной дифференциальной формой. В настоящей книге приводятся вариационные принципы тйлько относительно скоростей неизвестных функций, требуемые для применения МКЭ (часть II) и для качественного исследования поведения решения нелинейных уравнений в особых точках (гл. 4). Более полное представление слабых форм уравнений движения и вариационных принципов нелинейной механики можно найти, например, в [36, 49, 62, 67, 88, 98, 119, 122]. [c.109]

Принцип возможных перемещений можно использовать для решения как статических, так и динамических задач. Вариационные принципы, которые приводятся в этом разделе, можно использовать для решения только квазистатических задач (вследствие того, что инерционные силы зависят от скоростей перемещений, их нельзя ввести в функционал). В нелинейной теории упругости вариационные принципы обычно формулируются относительно полей перемещений, деформаций и напряжений (например, Ху — Васидзу, Хеллингера — Рейсснера, стационарности полной потенциальной энергии и др.). Рассмотрим некоторые вариационные принципы, сформулированные относительно полей скоростей перемещений, деформаций и напряжений, которые справедливы для упругих и неупругих тел. [c.112]

Bee эти вариационные формулировки теоретически эквивалентны друг другу, и каждую из них удобнее принимать в зависимости от вида используемых определяющих соотношений. Аналогичные вариационные принципы предложены в [88], но сформулированы они относительно приращений, а не скоростей. Отметим, что представленные в настоящем разделе формулировки обобщенного вариационного принципа, данные относительно скоростей, являются аналогом вариационного принципа Ху — Васид-зу [67, 119] в нелинейной теории упругости. Настоящие же вариационные формулировки можно использовать как для упругих, так и для упругопластических тел при произвольной величине деформаций. Сопряженные вариационные формулировки приведены в [98], где определяющие соотношения даны в обращенном виде, т. е. скорости деформаций выражены через скорости напряжений. Сопряженные вариационные формулировки являются аналогом вариационного принципа Хеллингера — Рейсснера [67, 119] [c.116]

В этой главе даются различные определения эффективных характеристик МДТТ и доказывается их эквивалентность, дается определение периодических структур. Излагаются основные положения теории эффективного модуля, с помощью которой приближенно решаются задачи МДТТ для физически линейных и нелинейных композитов. С помощью вариационных принципов, описанных в предыдущей главе, устанавливаются границы изменения эффективных характеристик линейных и нелинейных композитов. Упоминаются некоторые распространенные методы определения эффективных характеристик. [c.65]

Идея осреднения нелинейных дифференциальных уравнений с быстро-осциллирующими коэффициентами была предложена Н. С. Бахваловым 7]. Осреднение нелинейных уравнений на основе вариационного принципа дано в [9]. Подробнее случай линейного упрочнения разобран в [42]. [c.267]

Одной из ключевых и принципиальных проблем динамики систем с движущимися границами и нагрузками была корректная математическая постановка краевых задач в частных производных. Еще со времен С.П. Тимошенко движущуюся нагрузку заменяли некоторой эквивалентной сосредоточенной силой. Однако такой подход был некорректен, и при больших отно сительных скоростях движения нагрузок приводил к неправильным выводам. В результате многолетних поисков была разработана универсальная процедура постановки с амосогласованных задач динамики упругих систем с движущимися по ним объектами на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Возникающие при этом вариационные задачи оказались неклассическими, что потребовало проведения дополнительных разработок по вариационному исчислению. Новыми оказались и получаемые таким путем краевые задачи математической физики. Их принципиальное отличие от классических задач состоит в наличии дополнительного существенно нелинейного краевого условия, описывающего взаимовлияние движущегося объекта и колебаний упругой направляющей. Физический смысл последнего условия состоит в том, что при взаимодействии распределенной системы с движущимся со средоточенным объектом возникают силы вибрационного давления. На существование таких сил впервые обратили внимание еще Рэлей (1902 г.) и Е.Л.Николаи (1912-1925 гг.), изучавшие колебания струны с движущимся вдоль нее кольцом. Предложенный подход позволил по-новому взглянуть на проблемы динамики упругих систем, несущих подвижные нагрузки, и вскрыть новые, ранее не учитываемые явления. [c.9]

Задачи о нелинейных собственных колебаниях трехслойных пластин рассматриваются в работг1х [375, 376, 477]. Так авторами статьи [129] рассматривается прямоугольная трехслойная пластина. Уравнения движения получены из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Используется гипотеза ломаной нормали. Для несущих слоев принимается гипотеза Кирхгофа, а заполнитель считается трехмерным телом, работающим на поперечный сдвиг. При этом исходная нормаль в заполнителе поворачивается на некоторый угол. Используется кармановская модель геометрической нелинейности. Для свободно-опертой прямоугольной пластины применяются двойные ряды Фурье. Интегрирование по времени производится методом Рунге-Кутта. Автором статьи [427] был рассмотрен вопрос о применимости гибридного метода Галеркина к нелинейным свободным колебаниям слоистых тонких пластин. [c.20]

Большой вклад в исследование проблемы растрескивания в пластичных материалах внесен В.З. Партоном и Е.М. Морозовым. Авторы [23] из уравнений линейной механики разрушения выводят уравнения, которые могут быть нелинейными. Авторами введен новый вариационный принцип, позволяющий приближенно решать многие задачи (нап м4мер, находить траекторию распространения трещины в неоднородном поле напряжений), а также задачи для тел, подвергающихся действию периодических нагрузок. [c.55]

Можно построить математическое представление упругого поля с помощью так называемого обратного описания деформации тела, развитого в работах Маженна (G. А. Маи-gin), которые подытожены в монографии [2] (см. также обзорную статью [23]). Обратное описание деформации сплошной среды и соответствующая вариационная формулировка нелинейной теории упругости (когда действие для упругого тела представлено на основе эйлерова описания и варьированию подвергается обратное отображение = Х х , t)) неожиданно оказываются удобными для исследования сингулярного упругого поля и позволяют, в частности, с иных позиций взглянуть на энергетические соотношения нелинейной механики разрушения. Сам автор этого подхода называет обратное описание деформации описанием Пиола (G. Piola) и отмечает, что обратная вариационная формулировка в сущности совпадает с использованной Пиола еще в XIX в. [24] (затем забытой и никогда на деле не применявшейся). Ясно, что и два традиционных способа описания деформации сплошного тела (в духе Лагранжа и Эйлера), и возможность расширения понятия группы инвариантности функционала действия и обобщенного варьирования — следствия универсального принципа двойственности и полной равноправности отсчетной и актуальной конфигураций тела в состоянии его деформации, пронизывающих механику деформируемых тел как единую теорию. [c.674]

Значительное развитие за последние годы получили приближенные методы решения уравнений теории колебаний (линейной и нелинейной), основанные на вариационных принципах (работы Л. В, Канторовича, 1948—1956 М. А. Красносельского, 1950 и сл, С. Г. Михлина, 1948— 1956 В, М, Фридмана, 1956 и сл,). Обзору, развитию и обоснованию этих методов посвящена монография С, Г, Михлина (1957), [c.167]

В работах Л. Н. Воробьева (1956), Н. А. Кильчевского (1963, 1964), Д. И. Кутилина (1947), В. В. Новожилова (1958) рассмотрены общие теоремы нелинейной теории упругости. Расширенные вариационные начала (типа предложенных в линейной теории Э. Рейсснером) сформулированы К. 3. Галимовым (1952) и И. Г. Терегуловым (1962). Предложенные вариационные принципы содержат в качестве независимо варьируемых функциональных элементов перемещения, напряжения и деформации, свободные от каких-либо связей внутри и на границе тела. Вариационные начала [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...