Слабые формы уравнений движения

СЛАБЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ И ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ [c.109]

Слабые формы уравнений движения [c.109]

Принцип возможных перемещений (слабая форма уравнений движения) формулируется следующим образом [37, 49, 122] работа внутренних сил на возможных (виртуальных) перемещениях [c.109]

Сопоставление дифференциальной и слабой форм уравнений движения [c.111]

Отметим еще одно преимущество слабой формы уравнений движения над дифференциальной. Иногда при решении конкретных задач трудно реализовывать граничные условия в (1.118)-(1.120), сформулированные в отсчетной конфигурации. Примером могут служить контактные задачи, где статические и кинематические граничные условия ставятся на контактных поверхностях, которые определяются в деформированной (текущей) конфигурации. Вторым примером могут служить следящие (неконсервативные) нагрузки (например, гидростатическое давление), зависящие от деформированной геометрии тела. В этом случае вместо последних членов в правых частях (3.3) или (3.5) можно использовать последний член из правой части (3.1), что всегда можно сделать, так как они равны. В то же время при постановке граничных условий для дифференциальных уравнений движения (равновесия) такую замену сделать невозможно. [c.112]

Глава 3. Слабые формы уравнений движения. .. [c.114]

Принцип возможных перемещений (слабая форма уравнений движения) для TL-формулировки выражается равенством (3.3). Компонентная запись этого уравнения, рассматриваемого в мо- [c.158]

Дифференциальные уравнения движения (равновесия) не всегда удобны при использовании численных методов, поскольку требуют повышенной гладкости функций по сравнению со слабой формой уравнений (формулируемой в виде уравнения принципа возможных перемещений). При квазистатическом деформировании тел при некоторых ограничениях на внешние силы и используемые уравнения можно сформулировать вариационные принципы относительно скоростей (приращений) [24, 27, 47, 73, 75, 78, 79, 81, 84, 88, 97, 98, 119]. Функционал, используемый в вариационном принципе, позволяет в некоторых случаях выделить каче- [c.10]

Математическая постановка и решение задачи о движении несферического пузырька газа в жидкости могут быть осуществ-.лены для случая слабодеформированного пузырька. Сформулируем основные предположения. Будем считать, что Re 1, т. е. течение жидкости является ползущим . Пузырек газа свободно всплывает в жидкости под действием силы тяжести с постоянной скоростью и. Поместим начало координат в центр массы пузырька. Течение жидкости и газа будем считать осесимметричным. Уравнения движения жидкости вне пузырька и газа внутри пузырька будут иметь вид (2. 2. 7). Слабая деформация пузырька может быть описана при помощи малой безразмерной величины С ( os 0), так что уравнение формы поверхности примет вид [c.65]

Метод усреднения принадлежит к асимптотическим методам исследований в теории нелинейных колебаний. Как уже было упомянуто, теперь эта теория достигла значительного совершенства. Изложенные выше приемы решения задач следует рассматривать как историческое введение к существующим методам, включающим стандартные формы уравнений колебательного движения слабо нелинейных систем, т. е. систем с малыми значениями е, рассмотренными выше, В настоящее время существует обширная литература, относящаяся к этой области механики. Отсылаем читателей к этим работам ). [c.294]

Как и в случае стационарных течений, можно рассматривать нестационарные квазиодномерные движения газа в тонких слабо искривленных трубках с плавным изменением формы и площади поперечного сечения трубки по ее длине. Напомним, что при квазиодномерном описании движений пренебрегают изменением параметров потока в поперечном сечении трубки и не учитывают в уравнении движения в проекции на ось трубки влияние искривления траекторий частиц. [c.151]

Модель процессов в ПЗУ предполагает слабую запыленность воздуха, что позволяет использовать уравнения движения однофазной среды для описания процессов вокруг частиц, а при интегрировании уравнений движения отдельных частиц пренебречь их соударениями друг с другом. Будем считать, что несущая фаза представляет собой невязкий совершенный газ и что течение - установившееся, незакрученное, плоское или осесимметричное. Будем изучать процессы в плоском или осесимметричном канале, форма которого и расположение осей X,Y,Z [c.101]

Под влиянием молекулярного движения в жидкости взвешенные в ней частицы совершают беспорядочное броуновское движение. Пусть в начальный момент времени н некоторой точке (начале координат) находится одна такая частица. Ее дальнейшее движение можно рассматривать как диффузию, причем роль концентрации играет вероятность нахождения частицы в том или ином элементе объема жидкости. Соответственно для определения этой вероятности можно воспользоваться решением (59,17) уравнения диффузии. Возможность такого рассмотрения связана с тем, что при диффузии в слабых растворах (т. е. при с< I, когда только и применимо уравнение диффузии в форме (59,16)) частицы растворенного вещества практически не взаимодействуют друг с другом, и потому можно рассматривать движение каждой частицы независимо от других. [c.330]

Учет слабого изменения Ф в областях насыщения и, следовательно, рассмотрение уравнения второго порядка во всех этапах процесса избавляет от необходимости допускать скачки и дает возможность найти непрерывное решение задачи для всех возможных значений д и I. Но такое уточнение связано с большими трудностями и не дает интересующих нас принципиально новых качественных результатов, так что для общего рассмотрения хода процесса свободных колебаний в изучаемой системе сделанная идеализация вполне оправдана. Если же нас будет интересовать сама форма быстрого процесса перехода от одного типа движения к другому, тогда, конечно, необходим более последовательный и строгий анализ. При этом следует иметь в виду, что [c.67]

Приближенные данные по коэффициентам теплообмена, обработанные в предложенной Н. М. Жаворонковым критериальной форме с применением критерия Кирпичева Ki, представлены на рис. П-6. График позволяет сделать следуюш ие выводы 1) па значение коэффициента теплообмена заметно влияет высота слоя насадки (при обработке опытов тепловосприятие концевых полых участков не вычиталось из обш его количества переданного тепла тем не менее последующая обработка данных показала несомненное влияние высоты насадки на Ki, что согласуется с данными других авторов [43]) 2) влияние плотности орошения на коэффициент теплообмена обнаруживается значительно слабее, чем это вытекает из уравнений Н. М. Жаворонкова [31] 3) интенсивность теплообмена между газами и водой в контактном экономайзере примерно на порядок выше, чем в поверхностных экономайзерах при тех же скоростях движения газов. Например, при средней скорости газов 1,3 м/сек коэффициент теплообмена в контактном экономайзере с беспорядочно лежащей насадкой из колец Рашига размерами 35 X 35 X 4 мм составляет 60— 70 ккал/(м . ч -°С) соответственно объемный коэффициент равен 8400—9800 ккал/(м -ч °С). При той же скорости движения газов в поверхностном чугунном экономайзере ВТИ коэффициент теплопередачи будет не более 7—8 ккал/(м чС). [c.49]

Интегральное уравнение энергии для дозвуковых скоростей движения газа и для области конечных значений чисел R t , в которой можно считать, что число St слабо зависит от форм — параметра /, при-мает вид [c.119]

Рассмотрим вопрос об определении начальных данных при г = О для функции Ф так, чтобы формулы (1.3) определяли движение слабого разрыва произвольной формы. Заметим, что форма поверхности слабого разрыва в пространстве x x2t определяется сразу же, как только задана форма линии пересечения этой поверх ности плоскостью t = 0. Не умаляя общности, будем считать, что движение слабого разрыва определяется уравнением [c.91]

На основании этого правила можно переходить от дисперсионного соотношения к исходному дифференциальному уравнению и наоборот. В ряде случаев, если известно дисперсионное уравнение, то исходное дифференциальное уравнение уже не представляет интереса. С таким обстоятельством мы встретимся при построении дисперсионного уравнения для турбулентного движения в п. 6.4. В табл. 3 представлен сопоставительный анализ уравнений (6.13) и (6.15) для двух форм колебаний балки. По данным таблицы ид = йа йк для уравнений (6.13) и (6.15) не меняет знака при изменении волнового числа и составляющая групповой скорости уравнение (6.10)-удовлетворяет условию Д1/ < что свидетельствует о слабой дисперсии для обоих колебательных процессов и применимости уравнения (6.7) для определения групповой скорости. [c.194]

Для решения некоторых классов задач можно также эффективно использовать вариационные формулировки уравнений. В функционалах, с помощью которых получаются вариационные формулировки, также ослаблены требования на гладкость варьируемых функций по сравнению с исходной дифференциальной формой. В настоящей книге приводятся вариационные принципы тйлько относительно скоростей неизвестных функций, требуемые для применения МКЭ (часть II) и для качественного исследования поведения решения нелинейных уравнений в особых точках (гл. 4). Более полное представление слабых форм уравнений движения и вариационных принципов нелинейной механики можно найти, например, в [36, 49, 62, 67, 88, 98, 119, 122]. [c.109]

Из вида слабых форм уравнений движения (3.1), (3.3) и (3.5) следует, что используемые в них поля напряжений не требуют дифференцируемости, а требуют только интегрируемости подын- [c.111]

В книге приводится методологически последовательная постановка геометрически и физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, в том числе задачи о потере устойчивости и контактных взаимодействиях тел. Уравнения формулируются относительно скоростей или приращений неизвестных величин. Приводятся слабые формы уравнений и вариационные формулировки задач. Рассматривается применение метода конечных элементов к решению квазистатических и динамических задач. Используются следующие модели материалов изотропная линейно-упругм, несжимаемая нелинейно-упругая Муни — Ривлина, упругопластическая, термоупругопластическая с учетом деформаций ползучести. Приводятся процедуры численных решений нелинейных задач, основанные на пошаговом интегрировании уравнений равновесия (движения). Рассматриваются особенности процедур численного решения задач о потере устойчивости и контакте тел. [c.2]

Так как Ф принадлежит к первому классу, то [Ф, Ф ] равна нулю слабо и, следовательно, сильно равняется линейной форме от Ф. Отсюда С. П. для Ф первого класса слабо равна нулю. Аналогично второй член правой частя равенства (43) слабо равен нулю, что и требовалось доказать. Пусть имеется А независимых Ф первого класса и М независимых Ф любого класса. В фазовом пространстве (2М-мерное пространство переменных и р ) имеется (2N — М)-мерное подпространство, в котором удовлетворяются все Ф-урав-нения. Назовем его (2N — М)-пространством. Состояние динамической системы для некоторого т задается точкой р в (2N — 7И)-пространстве, в. которой удовлетворяются все Ф-уравнения. Движение системы задается кривой в (2N — М)-пространстве, выходящей из точки р. Так как А и Ра произвольны, то кривая может принимать любое направление в малом Л-мер-ном объеме, окружающем точку р. Такие малые окрестности измерений окружают каждую точку в (2N — М)-л1ерном пространстве. Покажем, что эти малые окрестности интегрируемы. Предположим, что для интервала т, дг = все V, кроме равного единице, равны нулю. То же самое предполагается относительно интервала 6г = в котором от нуля отлично только также равное единице. Тогда любая функция от р и д примет при замене т на т + е вид [c.716]

В заключение данного пункта остановимся на некоторых результатах, относящихся к модификациям рассматриваемой задачи. Слабые эффекты типа зависимости параметров жидкости от температуры, порождающие квадратичные члены в амплитудных уравнениях, приводят к конкуренции двух форм конвективных движений - валов и гексагональных ячеек. Для валов, помимо перечисленных ранее типов возмущений, становятся существенными резонансно взаимодействующие возмущения с волновыми векторами, составляющими углы 60° и 120° по отношению к волновому вектору основного течения ( гексагональная неустойчивость). С этими возмущениями связано появление новой границы неустойчивости, что приводит к сокращению области Буссе для двумерных валов (рис. 162). Область устойчивости правильных гексагональных ячеек ( / il = к - 1А з1 = к) лежит внутри замкнутой кривой максимальное и минимальное значения числа Рэлея соответствуют к = к - Упомянем здесь также работы, посвященные исследованию устойчивости конвективных движений в горизонтальном слое с внутренними источниками тепла [67] и при наличии термокапиллярного эффекта [68]. [c.268]

Нет необходимости исследовать слабо демпфированные системы таким сложным способом, особенно с учетом того обстоятельства, что еще недостаточно известна сама природа явления демпфирования в физических системах. Простейшим является подход, основанный на предположении, что уравнения движения приводятся к несвязанному виду с помощью матрицы форм колебаний, полученной для системы без демпфирования. Другими словами, матрица Хм считается ортогональнои не только матрицам М и S [см. выражения (4.23) и (4.24)1, но также и матрице С [c.305]

Будем считать физические свойства среды р, Ср и X постоянными параметрами, определяемыми видом вещества среды. В действительности они зависят от температуры и давления, а поскольку здесь идет речь о полях температуры t x, у, г, т) и давления р[х, у, г, т), то физические параметры в общем случае являются функциями координат и времени. Зависимостью от давления можно пренебречь по двум причинам во-первых, физические параметры слабо зависят от давления (за исключением плотности газовой среды) и, во-вторых, исходные допущения, при которых получены уравнение (12.4) и являющееся его следствием уравнение (12.7), в совокупности своей эквивалентны предположению об изобарности процесса теплообмена. Учет переменности плотности газовой среды зависит от изменения давления при движении газа с большой скоростью градиент давления в потоке может быть весьма значительным и в этом случае используется уравнение энергии в форме (12.6) с учетом переменности плотности. Таким образом, физические параметры среды зависят в основном от температуры, которую приходится учитывать. [c.269]

Авторы работы [9], однако, полагают, что зависимость вида (3.40) может достаточно точно описать упрочнение поликристаллов только в области относительно однородного распределения дислокаций и слабо-разориентированных ячеек, когда границы ячеистой структуры оказывают сопротивление движению дислокаций по типу дислокаций леса. Тогда упрочнение, вносимое границами слаборазориентированной ячеистой структуры, может быть рассчитано по уравнению Хольта (3.30). Если же на некотором этапе пластической деформации форми- [c.125]

Существование и единственность решения задачи для нелинейных уравнений осесимметричного движения газа в турбомашине в общем виде не доказаны. Однако можно высказать некоторые соображения в пользу положительного решения этого вопроса. Прежде всего существование решения очевидно из физических соображений даже для самой обшей (трехмерной) постановки. Единственность решения линеаризованных (в отношении производных) уравнений очевидна, так как они сводятся к квазилинейному эллиптическому уравнению типа уравнения Пуассона. Нелинейность уравнений существенно связана с множителем р в уравнении неразрывности, а также с производными от р (т. е. с и 7 ) в уравнении вихрей. Для частного случая линейных уравнений с р = onst up — onst, который отвечает течению несжимаемой жидкости только через неподвижные решетки (ш = 0), существование и единственность решения следуют из тех же свойств, доказанных для более общей задачи трехмерного движения. Нелинейность, зависящая от производных от р, вообше очень слабая. Она связана со смещением линий тока (вдоль которых р постоянно или является известной функцией). В предположении непрерывной зависимости формы линий тока от значений р у задаваемых в виде гладкой функции поперек входного сечения, а также от величины угловой скорости ш (такая зависимость, безусловно, должна быть непрерывной в силу эллиптичности уравнений с гладкими коэффициентами) можно определенно утверждать единственность решения нелинейных уравнений, по крайней мере, для достаточно малых областей А или для достаточно малых [c.303]

Приведенные выше расчеты были основаны на предположении, что вся энергия, приходящаяся на колебания по симметричной форме, сохраняется без потерь в процессе передачи энергии изгйбным колебаниям независимо от числа циклов движения, необходимого для передачи энергии. В случае наличия затухания повышение напряжений будет уменьшаться, особенно при слабой неустойчивости (при малых значениях р), когда для передачи энергии требуется много циклов. Учесть затухание невозможно, не прибегая к помощи численного инт-егрирования связанных дифферен-ц иальных уравнений (19) и (20). Примеры изменения деформаций во времени, полученные в результате такого интегрирования, приведены на рис. 3. [c.40]

Таким образом, новые уравнения (4.1) будут описывать движения твердого тела в слабом потенциальном поле. Заметим, что форма jtiTi имеет смысл потенциальной функции силы тяжести, а ее коэффициенты можно интерпретировать как произведения веса тела на координаты центра тяжести в главных осях инерции. [c.71]

Если движение фигуративной точки имеет то же самое число измерений, что и потенциальная поверхность (как нарисовано), движение по фигурам Лиссажу будет заполнять каждую точку потенциальной поверхности, которая имеет энергию меньше, чем энергия системы (и которая не отделена барьером от минимума). Поэтому, как только энергия выше, чем самая низкая точка хребта пересечения (предполагая, что она должна быть выше диссоциа-ционного предела), может наступить предиссоциация. Однако, если энергия молекулы как раз достаточна, чтобы достигнуть самой нижней точки хребта, предиссоциация возможна только в одной частной конфигурации, и вообще (согласно представлениям классической механики) она требует значительного времени перед тем, как достигнется эта конфигурация во время движения по фигурам Лиссажу. Когда энергия возрастает, большая часть хребта доступна для фигуративной точки, и, следовательно, для предиссоциации требуется меньше времени. Постепенному уменьшению (классического) времени жизни соответствует увеличение ширины линии [см. уравнение (IV,11) ], и, таким образом, диффузность полос поглощения снова будет постепенно возрастать. В зависимости от формы потенциальной поверхности увеличение диффузности может быть очень слабым. Примером может служить уже упоминавшаяся первая предиссоциация H N в этом случае, как и в случае СЮг, диффузность начинается постепенно, но (в противоположность СЮг) по крайней мере два колебания выделяются в спектре, и поэтому движение фигуративной точки более сложное. [c.480]

Чтобы быть более конкретными, рассмотрим случай чистой механики, хотя развиваемый здесь подход в следующих главах будет применяться к более широкой области физики сплошных сред. В этом случае определяющее уравнение является соотношением между силами и перемещениями (например, в пружине). Проще говоря, силы, приложенные к телу, являются причиной его движения и это результирующее движение имеет разный характер в зависимости от природы вещества тела. Тапример, большинство твердых материалов под действием слабого внешнего давления лишь слегка деформируется, тогда как жидкости начинают течь и более или менее быстро, в зависимости от их вязкости, принимают форму заключающих их емкостей. Интересующие нас силы в механике сплошных сред [c.104]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...