Смешанные вариационные принципы

Преодолеть этот недостаток можно с помощью матрицы жесткости, получаемой па основе смешанного вариационного принципа, когда вводятся независимые функции перемещений внутри элемента и на границе [350]. [c.81]

Для стержневых систем вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно были уже установлены выше, а именно в 5.2. Там же упоминалось о возможности построения смешанных вариационных принципов, в формулировке которых участвуют как силы, так и перемещения. Способ доказательства был подобен тому, который изложен в 8.8. [c.260]

СМЕШАННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ [c.51]

Книга состоит из 11 глав, Гл. 1 содержит сведения из геометрически нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек типа Тимошенко построенной на основе независимых гипотез относительно характера распределения перемещений и поперечных касательных напряжений по толщине пакета. Путем использования смешанного вариационного принципа получены уравнения равновесия, граничные условия и интегральные соотношения упругости для поперечных касательных напряжений. В случае осесимметричной деформации многослойных анизотропных оболочек вращения выведена нормальная система десяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая в дальнейшем решается численно на ЭВМ. [c.4]

Построение математически обоснованной теории многослойных анизотропных оболочек в рамках принятой в п. 1,1 системы независимых кинематических и статических гипотез требует применения смешанного вариационного принципа [ 1.29]. Смешанный вариационный принцип открывает естественный путь сведения трехмерных задач теории упругости к двухмерным задачам [c.15]

Уравнения равновесия и соответствующие им граничные условия многослойных анизотропных оболочек получим, применив смешанный вариационный принцип [ 1.29] [c.16]

Вернемся к граничным условиям, вытекающим из смешанного вариационного принципа (1.15), и без ограничения общности сформулируем их лишь для граничного контура Г jT [c.20]

Легко устанавливается смешанный вариационный принцип типа Рейсснера [c.123]

Факт достижения потенциальной энергией минимума на решении может быть Использован проектировщиком для оценки некоторых параметров и установления границ для точного решения. Это свойство используется в дальнейшем в гл. 7 при построении решения для всей конструкции. Заметим также, что положительная определенность матрицы [к] позволяет установить минимальные свойства. Для некоторых смешанных вариационных принципов, о которых речь пойдет ниже, основная матрица коэффициентов в конечно-элементном представлении не обладает этим свойством и поэтому нельзя задать границы изменения параметров решения. [c.172]

Формулировки треугольных элементов плоского напряженного состояния в принципе основаны на задании предполагаемых полей перемещений и интеграла потенциальной энергии. В данной главе предложено несколько альтернативных формулировок различной степени сложности для треугольных элементов. Здесь обсуждаются также аспекты практического построения треугольных элементов и, в частности, вопросы интерпретации результатов расчета полей напряжений. Представлены численные решения в зависимости от измельчения сетки разбиения для двух задач, для которых имеются аналитические решения. Приводятся замечания относительно роли смешанных вариационных принципов и принципа минимума дополнительной энергии при построении треугольных конечных элементов. [c.266]

Здесь не приводятся основные соотношения для формулировки смешанных вариационных принципов в случае плоского напряженного состояния в этой главе лишь кратко излагается роль этих принципов при формулировке элементов. В работе [9.11 можно найти подробное изложение вопросов, связанных с функционалом Рейсснера, в случае плоского напряженного состояния. [c.270]

Смешанные вариационные принципы [c.41]

Смешанные вариационные принципы ) [c.41]

Рг, Рз — множители Лагранжа. Независимыми варьируемыми величинами являются три перемещения, шесть деформаций и девять множителей Лагранжа. Из (2.7) можно получить много смешанных вариационных принципов. В частности, если [c.41]

Гл. 5 посвящена получению разрешающих уравнений на основе вариационных принципов. Используются начала виртуальных перемещений и усилий, а также смешанный вариационный принцип. Выводятся формулы для определения узловых перемещений. [c.5]

СМЕШАННЫЙ ВАРИАЦИОННЫМ ПРИНЦИП [c.101]

Выше при выводе разрешающих систем уравнений на основе вариационных принципов варьировались либо узловые перемещения, либо узловые усилия. При этом в первом случае на вектор узловых перемещений налагалось условие равенства его соответствующих компонентов заданным значениям. Во втором случае в качестве дополнительных ограничивающих условий на узловые усилия фигурировали условия равновесия узлов и элементов. Можно сформулировать смешанный вариационный принцип, согласно которому без каких-либо ограничений независимо варьируются несколько векторов. Покажем, что условие стационарности выражения [c.101]

Результаты теоретических и экспериментальных исследований ползучести гибких, шарнирно опертых по краю сферических оболочек под действием постоянного внешнего давления приведены в работе [82]. Численные исследования проведены на основе вариационного уравнения смешанного типа, ползучесть материала описана теорией течения. Силы, моменты, перемещения аппроксимированы полиномами с двумя-тремя искомыми параметрами. Использование вариационного принципа [72] приводит к системе дифференциальных уравнений по времени, которые интегрируются методом Рунге — Кут-та. Время потери устойчивости оболочки определяется ло резкому осесимметричному выпучиванию. Описаны методика и результаты экспериментальных исследований ползучести нейлоновых оболочек. Отмечается большой разброс значений критического времени в дублирующих опытах, значительные расхождения в результатах теоретических и экспериментальных исследований. [c.10]

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА. Для того чтобы рассмотреть основную структуру доказательств вариационных принципов, не прибегая к громоздким выкладкам, упростим краевую задачу. В частности, примем , что участки границы со смешанными механическими граничными условиями отсутствуют. Будем также пренебрегать внешними массовыми силами, инерционными эффектами. Переход к более обш,им условиям не связан с принципиальными трудностями. В результате уравнения движения (111.141) преобразуются в уравнения равновесия [c.146]

Вариационный принцип минимума дополнительной работы (принцип Кастильяно). Как и раньше считаем, что на границе заданы смешанные граничные условия [c.307]

В недавно вышедшей работе [56] исследуется задача о взаимодействии полей деформаций, температуры и химического потенциала, вызывающего процесс диффузии вещества. Сформулирован общий вариационный принцип, из которого следуют уравнения задачи и граничные условия смешанного типа. [c.244]

СМЕШАННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ. ФУНКЦИОНАЛЫ ВАСИДЗУ И РЕЙССНЕРА-ХЕЛЛИНГЕРА [c.51]

В условиях ползучести могут быть сформулированы смешанные вариационные принципы аналогично товиу, как это сделано в теории упругости. Смешанные вариационные принципы, в которых независимо варьируются скорости перемещений и напряжения, составляют основу для разработки различных вариантов МКЭ [33]. [c.124]

Ниже приведены основные соотношения теории многослойных анизотропных оболочек типа Тимошенко, построенной с помощью независимых аппроксимаций поперечных касательных напряжений и тангенциальных пфемещений. Уравнения равновесия и соответствующие им граничные условия получены путем использования смешанного вариационного принципа [ 1.11, 1.12]. [c.7]

Построение уточненной теории многослойных анизотропных оболочек в рамках принятой системы независимых кинематических (2.11) и статических (2.9) гипотез требует применения смешанного вариационного принципа. Смешанный вариационный принцип позволяет разрешить отмеченные выше противоречия, содержащиеся в Исходной системе гипотез, естественно разрешает вопрос об обобщенных удельных усилиях и моментах, дает возможность наряду с уравншиями равновесия оболочки вывести соответствующие им непротиворечивые граничные условия. [c.39]

Рассмотренные подходы обладают одним недостатком. Поперечные сдвиги и, вследствие использования закона Гука, поперечные касательные напряжения распределены равномерно по толщине А -го слоя. В этой главе, следуя работам [2.9, 8.2, 8.3], строится непротиворечивый с точки зрения смешанного вариационного принципа геометрически нелинейный вариант теории многослойных анизотропных оболочек, в котором поперечные компоненты тензора напряжений являются неп-рерьшными функциями поперечной координаты всюду в теле оболочки, в том числе и на поверхностях раздела слоев. При этом на граничных поверхностях они принимают заданные значения. [c.164]

Построение теории многослойных анюотропных оболочек в рамках принятой здесь системы независимых кинемат ческих (8.8) и статических (8.9) гипотез требует применения смешанного вариационного принципа. Как уже отмечалось в гл. 2, такой принцип позволяет разрешить противоречия, содержащиеся в исходной системе независимых гипотез и тем самым дает возможность связать лишние векторы из (8.17) с вектором обобщенных перемещений. [c.169]

Особое внимание уделено смешанным вариационным формулировкам двух типов. Первая соответствует смешанному вариационному принципу Рейссиера, вторая — задачам на экстремум полной потенциальной энергии системы при наличии дополнительных условий в виде дифференциальных уравнений связи между перемещениями и их производными. Для одномерных задач предлагается вариационно-матричный способ вывода канонических систем разрешающих дифференциальных уравнений. Для двумерных задач рассматриваются вопросы реализации решений с использованием проекционных методов типа Рэлея—Ритца и конечных элементов с учетом специфики смешанной вариационной формулировки. [c.5]

Отметим два обстоятельства. Уравнение (7.77) с граничными условиями (7.27) линейно относительно Ч , что облегчает и исследование задачи, и ее приближенное решение. Необходимо далее учитывать, что полученная краевая задача не вполне соответствует смешанному вариационному принципу Алумяэ, ибо мы неоднократно использовали условие пологости оболочки (7.5). [c.57]

Отметим также, что немаловажным фактором в использовании того или иного варианта теории оболочек является возможность введения евклидовой метрики. Условия такой возможности даются теоремой 1.2, Метрику на 5 можно также считать евклидовой, если она близка к развертывающейся. В этом случае уравнения (7.65), (7,77) есть точное следствие смешанного вариационного принципа Алумяэ [4, 5], как это установлено в 7. Очевидно, такие пологие оболочки целесообразно называть развортывающи.мпся. В качестве критерия принадлежности оболочки к типу развертывающихся можно использовать неравенство [c.60]

Ф и Ч " удовлетворяют смешанному вариационному принципу Алумяэ, который, как известно, включает в себя уравнения равновесия и совместности. [c.147]

Этот вопрос был затронут потому, что трудности при выборе допустимых полей перемещений можно обойти, используя смешанные вариационные принципы и вариационные принципы, базирующиеся на рассмотрении функционала дополнительной работы, для которых минимальны требования при выборе полей напряжений, либо с помощью изопараметрических трехмерных элементов, кото- рьле описывают поведение тонких пластин при наложении опреде-ле нных ограничений и выполнении других операций. Изопараметрические элементы изучались в гл. 9 и 10, первый подход обсуждается ниже. [c.344]

Принципы Ху — Васидзу и Рейснера — Хелингера являются смешанными принципами и утверждают стационарность, а не экстремальность значений функционала для реальных состояний. Несмотря на это, в приближенных методах (например, в методе конечных элементов), основанных на смешанных вариационных принципах, достигается примерно одинаковая точность таких величин, как перемещения и напряжения, тогда как при использовании принципа минимума энергии хорошая точность может быть получена либо для перемещений, либо для напряжений, но не для обоих одновременно. [c.42]

Более полное обсуждение смешанных вариационных принципов и полное определение величин, использованных в (2.7) и (2.8), имеется в книге Васидзу (1968) и Табаррока (1973). [c.42]

Любой из приведенных в гл.1.4 функционалов может быть использован для построения конечно-элементных соотношений, т.е. для решения задач механики деформируемого тела с помощью метода конечных элементов. Используя принцип возможных перемещений (1.4.14), придем к построению МКЭ в варианте метода перемещений. Принцип возможных напряжений (1.4.50) приведет к МКЭ в варианте метода сил. При использовании смешанных вариационных принцицов (1.4.58), (1.4.61) получим смешанные формулировки МКЭ. Модифицированный принцип возможных перемещений (1.4.62), допускающий независимую аппроксимацию компонентов перемещений на границе и по объему каждого из конечных элементов, приводит к так назы,-ваемым гибридным формулировкам МКЭ. [c.63]

В предлагаемом подходе при любых положительных весовых коэффициентах тип системы уравнений Э-0 не меняется. Однако, так как при Ар = О, Ао 7 О система становится смешанного эллиптико-гиперболического типа, то и для устойчивости вы-числений при решении уравнений Э-0 весовые коэффициенты выбирались таким образом, чтобы вклад слагаемых, соответсвующих /о, /а, не превосходил /р. В противном случае в дискретной ситуации задача может оказаться неустойчивой. Подробные рекомендации для выбора весовых коэффициентов в вариационных методах, основанных на решении уравнений Э О, на примере уравнений Брекбилла-Зальцмана приведены в [10, 21]. Отметим, что численное решение уравнений Э-0 не единственный путь для реализации вариационных принципов. Более эффективными при построении сеток могут оказаться прямые методы минимизации дискретных функционалов [16, 23]. [c.521]

Вариационные принципы. Большое значение для приближенных решений конкретных задач имеет вариационная трактовка проблемы сопряженной термоупругости. Определению вариационных принципов теории посвящены работы [4, 17а, 18, 34, 37]. В работе [4Ь] для квазистатической задачи сформулирован вариационный принцип, аналогичный принципу Вашизу в классической теории упругости, из которого для данного случая следуют все соотношения термоупругости и смешанные граничные условия. Вместе с тем сформулированы некоторые частные вариационные принципы, вытекающие из общего принципа. В работе [4а] общий вариационный принцип применяется к расчету оболочек. [c.240]

В самой общей постановке вариационная задача сопряженной термоупругости для неоднородного и анизотропного тела сформулирована в работе [17а]. Начальные условия заданы для перемещений, скоростей перемещений и температуры, граничные условия носят смешанный характер и заданы на различных частях поверхности тела для перемещений, напряжений, температуры и теплового потока. При помощи операции свертки со специальными функциями в уравнениях сопряженной термоупру-гости исключены производные по времени, и вариационные принципы сформулированы для произвольного момента времени. Сформулированы общий вариационный принцип, эквивалентный [c.240]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...