Уравнения нейтрального равновесия

Решение. Составляем дифференциальное уравнение нейтрального равновесия для каждого из участков [c.350]

В случае неравномерно сжатого стержня переменного сечения имеем дифференциальное уравнение нейтрального равновесия в следующем виде [c.351]

Дифференциальное уравнение нейтрального равновесия стержня имеет вид [c.353]

Иначе уравнения динамической устойчивости получают из уравнений свободных колебаний упругой системы при отсутствии внешних сил путем добавления параметрических членов, учитывающих параметрические силы, зависящие от времени. Эти члены могут быть взяты из уравнений нейтрального равновесия для соответствующей задачи статической устойчивости. [c.248]

Здесь А и С — инерционный и квазиупругий операторы, введенные в гл. IX О — линейный оператор, учитывающий параметрические силы в уравнениях нейтрального равновесия. Операторное уравнение динамической устойчивости получают путем объединения уравнений (22) и (23) и замены параметров нагрузки в операторе G заданными функциями времени [c.248]

Уравнения нейтрального равновесия в форме (7.9.5) были получены из других соображений Саусвеллом. [c.788]

Уравнения (7.46), (7.47) допускают последовательные упрощения, которые обычно производятся в теории упругой устойчивости [6], Если рассматривать упругую оболочку как жесткую систему, то членами порядка ww, Nj w можно пренебречь. Уравнения нейтрального равновесия принимают вид [c.212]

Переходим к анализу устойчивости. Точное решение уравнения нейтрального равновесия (7.50) затруднительно из-за наличия в правой части (7.50) множителей (7.57). Для построения приближенного решения воспользуемся методом Бубнова —Галеркина. [c.214]

Правила моделирования устойчивости тонкостенных стержней могут быть получены путем анализа уравнений нейтрального равновесия для критического состояния стержня. Указанные уравнения имеют вид [c.160]

Уравнения (4.5.1), (4.4.4) — (4.4.6), (4.5.2), (4.4.9) составляют полную систему зависимостей, на основе которых могут быть получены решения задач об устойчивости равновесия цилиндрической панели (только эта задача и будет рассматриваться) и круговой арки. Решение задачи устойчивости начнем с преобразования уравнений нейтрального равновесия (4.5.1), в которых й, iv [c.124]

Итак, задача устойчивости цилиндрической оболочки сформулирована как краевая задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными (6.4.1) — (6.4.5) при краевых условиях (6.4.6) и условии 2л -периодичности решения по угловой координате. Наименьшее из собственных значений этой задачи определяет критическую интенсивность внешней нагрузки, а соответствующая ему собственная вектор-функция — форму потери устойчивости. Параметрические члены уравнений нейтрального равновесия (6.4.1) в общем случае переменны и определяются путем интегрирования линейной системы уравнений осесимметричного изгиба (6.2.14) при краевых условиях (6.2.9). В выражениях для элементов матриц А, В коэффициентов этой системы (см. параграф 6.2) следует выполнить упрощения, соответствующие принятым допущениям о тонкостенности и пологости оболочки, а вектор-столбец / для рассматриваемого ниже случая нагружения оболочки равномерно распределенным внешним давлением интенсивности Р следует взять в виде [c.185]

Уравнения нейтрального равновесия (6.4.1) при учете соотношений (6.4.2) — [c.185]

Если относить методику Койтера к решению вопроса об устойчивости гладкой оболочки, то начальный осесимметричный прогиб — это возмущение, вносимое для оценки интервала устойчивого нагружения гладкой оболочки. То, что в процессе развития этого возмущения с ростом нагрузки наступает бифуркация, когда симметричная форма равновесия переходит в несимметричную, есть всего лишь обстоятельство, упрощающее. исследование возмущенного (осесимметричного) решения, так как осесимметричное решение описывается линейными ур авнениями, а бифуркация — линеаризованными уравнениями нейтрального равновесия. [c.281]

В работах [39, 40, 53] критический момент времени определяется появлением нетривиальных решений, уравнений нейтрального равновесия для моментного состояния, обусловленного процессом ползучести. В работах [241, 243] рассчитывается время в условиях ползучести, необходимое для накопления критического прогиба, полученного решением упругой задачи по Койтеру. Такой подход к задаче устойчивости в условиях ползучести, как это следует из всего изложенного [c.291]

Здесь — вторая вариация потенциальной энергии системы около невозмущенного состояния равновесия системы, вычисленная в предположении, что вариации перемещений совпадают с действительными возмущениями. Функционал 6 5 вычисляется по формулам типа (4.2) и (4.3) и варьируется далее по всем кинематически допустимым состояниям. Соответствующие уравнения Эйлера — Остроградского представляют собой известные уравнения нейтрального равновесия, которые описывают равновесие системы в состоянии, смежном с невозмущенным. Варьирование функционала (4.2) приводит к уравнению [c.336]

В учебной и технической литературе обычно утверждается, что этот метод годится только для тех задач, в которых потеря устойчивости происходит по типу разветвления форм равновесия. В действительности уравнения нейтрального равновесия могут описывать поведение системы в окрестности предельных точек. Однако при этом необходимо учитывать перемещения и деформации невозмущенного состояния, т. е. исходить [c.336]

Подставляя выражения (720), (721) в уравнения нейтрального равновесия оболочки [c.221]

Уравнения нейтрального равновесия (7), как следует из принципа стационарности 3, выражают формально существование форм равновесия близких к рассматриваемому. [c.351]

Уравнения нейтрального равновесия в объеме и на поверхности записываются в виде [c.354]

Заметим, что выражения (8) и (9) тензора Р отличаются от представления тензора напряжений Т линейной теории упругости только наличием слагаемых, определяемых ротором вектора W. Слагаемыми подобного же происхождения отличается квадратичная форма < ) от удельной потенциальной энергии деформации линейно упругого тела точно так же уравнения нейтрального равновесия (11), (12) переходят в однородные урав- [c.354]

При составлении уравнений нейтрального равновесия это слагаемое следует сохранить. Имеем [c.376]

В 1—3 приводятся исходные соотношения определяющие уравнения, уравнения нейтрального равновесия, принципы стационарности при наложении малой деформации на конечную. Использованы результаты из [2], [10]. Теоремы взаимности (1.15), (1.18) сформулированы в [4.1]. [c.504]

Уравнения нейтрального равновесия для полулинейного материала (11.11) — (11.12) были другим способом получены в [2] они оказались повторением уравнений, найденных задолго до того, как приобрели распространение воззрения и методы нелинейной теории. [c.505]

Применение уравнений нейтрального равновесия к задаче о сжатом продольной силой цилиндре и сфере, сжатой распределенным по ее поверхности давлением, приведено в [2] и в работе [c.505]

Отличный от предложенного способ построения уравнений нейтрального равновесия предложен в работах [c.505]

Система однородных дифференциальных уравнений нейтрального равновесия (2.77) кроме тривиального решения имеет для некоторых значений параметра внешней нагрузки Л, входящего в выражения для компонентов основного состояния, нетривиальное решение, удовлетворяющее на контуре 01 = 01 однородным граничным условиям [c.47]

Рассмотрим уравнения нейтрального равновесия упругого шпангоута. Дополнительные деформации срединной линии шпангоута характеризуются величинами [c.47]

Решение. Для определения критической силы статическим методом—методом неиосредственного интегрирования дифференциального уравнения нейтрального равновесия, вследствие наличия двух участков с различными моментами инерции и /г, необходимо составить дифференциальные уравнения нейтрального равновесия стержня для каждого из участков [c.349]

Общие уравнения динамической устойчивости упругих систем. Пусть соотношение между частотами возбуждения и наименьшей собственной частотой в невозмущенном движении таково, что при нахождении невозмущенного напряженно-деформированного состояния допустимо использовать квазистатическое приближение и пренебречь перемещениями в этом состоянии. Тогда уравнения динамической устойчивости каждой конкретной упругой системы могут быть получены из уравнений нейтрального равновесия для задачи статической устойчивости добавлением далам-беровых сил инерции и заменой усилий (напряжений) невозмущенного состояния соответствующими функциями времени. Если необходимо учитывать диссипацию, то в уравнения добавляют также диссипативные силы. [c.248]

Тензор представляет линейный дифференциальный оператор над вектором w. При отсутствии добавочных массовых и поверхностных сил (k = О, / = 0) ) задача разыскания w сведется к однородной системе линейных относительно w дифференциальных уравнений второго порядка с однородными краевыми условиями. Это —так называемые уравнения нейтрального равновесия. Они допускают, конечно, тривиальное решение и> = 0. Но могут иметь место решения, отличные от тривиального, когдя наряду с рассматриваемым состоянием равновесия У-объема, нагруженного силами К, F, существуют близкие к нему равновесные состояния. Значения параметров нагружения, для которых уравнения нейтрального равновесия имеют нетривиальное решение, называются бифуркационными. Сформулированная однородная краевая задача позволяет найти бифуркационные [c.725]

Применим такой подход для исследования устойчивости сжатой цилиндрической оболочки со случайными начальными неправильностями. Особенность задачи заключается в том, что докри-тическое состояние искривленной оболочки является моментным. Поэтому уравнения устойчивости, т. е. уравнения нейтрального равновесия, должны быть получены с учетом изгиба оболочки в до-критической стадии. [c.210]

Рассмотрим тонкую цилиндрическую оболочку, срединная поверхность которой имеет начальные отклонения от идеальной формы. Предположим, что внешняя нагрузка вызывает в соответствующей идеальной оболочке чисто безмоментное напряженное состояние. Для вывода уравнений нейтрального равновесия воспользуемся вариационным принципом Треффца [6] с учетом нелинейных соотношений теории оболочек. [c.210]

Рассмотрим слоистую изотропную длинную круговую цилиндрическую панель радиуса R и толщины h, несущую поперечную нагрузку. Используем систему координат ip, у, Z, описанную в предыдущем параграфе. Примем, что длина панели достаточно велика, условия ее опирания и нагружения не зависят от координаты у и рассмотрим задачу о выпучивании панели по цилиндрической поверхности. Целесообразно одновременно рассматривать задачу об устойчивости круговой арки единичной ширины, которую будем представлять себе вырезанной" из панели двумя нормальными сечениями у = с, у = с+1 (с = onst). Уравнения этой задачи, как будет видно из дальнейшего, лишь значениями некоторых коэффициентов отличаются от уравнений выпучивания панели по цилиндрической поверхности. Уравнения нейтрального равновесия получим из уравнений (3.5.10), в которых следует учесть, что для обеих рассматриваемых конструкций вариации составляющих тензора напряжений равны нулю. [c.123]

Первое систематическое рассмотрение устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Дж. Брайану Он выяснил пределы применимости теоремы Кирхгофа и показал, что при условии малых деформаций она отпадает, если только один или два размера тела можно считать малыми. При этом явление неустойчивости может иметь место в пределах упругости, если произведение модуля упругости Е на квадрат отношения малого размера к конечному будет того же порядка, что и предел упругости материала. Дальнейшая разработка общей теории устойчивости равновесия упругих тел принадлежит Р. Саусвеллу Он устраняет ограничение относительно малости деформаций и оперирует с идеальным телом бесконечно большой прочности. При этих условиях и тела, у которых все размеры одного порядка, могут оказаться в состоянии неустойчивого равновесия. Исходя из однородного напряженного состояния тела, Р. Саусвелл дает точкам тела весьма малые перемещения и, v, w ) и для этой отклоненной формы пишет дифференциальные уравнения нейтрального равновесия, причем считает начальные деформации конечными. То соотношение между внешними силами и размерами тела, при котором полученные уравнения дают для и, у и w решения, удовлетворяющие условиям на поверхности, определяет критическое значение нагрузки в рассматриваемом случае. Применяя свой общий метод к тонким стержням и пластинкам, Р. Саусвелл нашел, что имеющееся решения задач устойчивости являются лишь первыми приближениями, хотя и вполне достаточными для практических приложений. Мы в дальнейшем ограничимся этими приближенными решениями, отсылая интересующихся теорией вопроса к работе Р. Саусвелла. [c.258]

Значительное число частных задач теории упругой устойчивости решено на основе уравнений нейтрального равновесия типа (4.6) и (4.7). Решение задач сводится к отысканию собственных значений и выбору среди них тех, которые соответствуют переходу от устойчивости к неустойчивости. При этом применяются разнообразные методы — как заимствованные из математической физики, вычислительной математики, теории колебаний, так и более специализированные приемы строительной механики, теории оболочек и т. п. Среди них важное место занимают вариационные методы метод Рейли — Ритца (1873, 1889, 1908 гг.), метод Бубнова (1911 г.) и др. Применение этих методов широко освещено в книгах [c.337]

В настоящей статье излагается теория расчета пластин, гп-ставленных из жестких и мягких слоев в произвольной последовательности. Для вывода уравнений используются вариационные принципы, что позволяет также получить естественные граничные условия и установить, таким образом, систему внутренних усилий, не противоречащих введенным гипотезам. Уравнения равновесия выводятся из принципа Лагранжа, уравнения колебаний — из принципа Гамильтона и уравнения нейтрального равновесия для задачи об устойчивости безмоментного состояния — из принципа Треффца. Обсуждаются частные и предельные случаи. [c.32]

Пусть пластина нагружена таким образом, что в ее жестких слоях возникают тангенциальные усилия Мх х, у), уа х, у) и 1 хуа (х, у), равномерно распределенные по толщине этих слоев, а нормальные прогибы т всюду равны нулю. Исследуем устойчивость этого состояния, для чего, следуя обычной методике, составим уравнения нейтрального равновесия. Уравнения выведем из известного вариационного принципа Треффца [12], согласно которому вторая вариация полной энергии системы б Э принимает для состояния нейтрального равновесия стационарное значение [c.63]

В 18—21 приведено услозие устойчивости равновесия и уравнения нейтрального равновесия несжимае.мого материала (18.12) —(18.14), дано выражение критерия Битти в применении к задачам устойчивости равновесия в неискаженном состоянии (20.4) и сжатого стержня (21.4). См. также [8.15 и [Ц. [c.506]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...