Колебания струны

Концы струны закреплены в неподвижных точках Л и В, расстояние между которыми равно /. Считая, что натяжение 7 струны одинаково во всех точках, определить действие по Гамильтону для малых колебаний струны. [c.377]

Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского и результатами решения предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение колебаний струны. [c.377]

Характер колебаний, которые струна совершает в действительности, зависит от начальных условии. Например, струна будет колебаться только в основном тоне, если при t = О она имела форму первой кривой (п = 1) и все ее точки были в покое. Если же начальная форма струны иная, то кроме основного тона появляются и обертоны, так как колебания струны представляют совокупность налагающихся друг на друга отдельных колебаний. Уравнение движения примет в этом случае такой вид [c.567]

Поэтому формулы, полученные при рассмотрении колебаний струны, могут быть автоматически использованы для расчета продольных колебаний стержней. ( + д -При этом только потребу-ется подставить соответствующее значение для коэффициента а. [c.570]

Поэтому и в данном случае формулы, выведенные при рассмотрении колебаний струны, остаются в силе. [c.571]

Действие силы упругости может вызывать возникновение гармонических колебаний. Примером гармонических колебаний, возникающих под действием силы упругости, могут служить колебания груза, подвешенного на стальной пружине, колебания струны. [c.217]

Определить частоты собственных колебаний струны (длины /). Решение, Уравнение движения струны [c.141]

В системе, состоящей из трех тел, второе из нормальных колебаний таково (рис. 424, б), что при этом колебании масса т. все время остается в покое. Точно так же и в сплошной системе каждому из нормальных колебаний соответствуют определенные точки, которые при этом колебании остаются в покое. Этн точки называются узловыми точками данного нормального колебания. Расположение узловых точек для различных типов нормальных колебаний также можно выяснить на основании аналогии с системой, состоящей из отдельных масс. В системе, состоящей из трех масс, при первом нормальном колебании с наиболее низкой частотой (рис. 424, а) остаются в покое только крайние точки, в которых закреплены пружины, эти точки и являются узловыми точками соответствующего нормального колебания струны. При втором нормальном колебании, соответствующем [c.652]

Амплитуды каждого из нормальных колебаний струны распределяются вдоль струны по закону синуса. Узловые точки — это точки, в которых этот синус обращается в нуль. Для основного тона на всей длине струны укладывается только один полупериод синуса (одна полуволна ). Для обертонов распределение амплитуд таково, что на длине струны укладываются две, три и т. д., вообще целое число полуволн. [c.654]

Все сказанное о колебаниях струн при известных условиях справедливо и для продольных колебаний упругого стержня. Если оба конца стержня закреплены, то они находятся в таких же условиях, [c.654]

НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ [c.671]

Нормальные колебания струны [c.671]

Параметрическое возбуждение колебаний происходит и в упомянутом выше случае периодического изменения натяжения струны, прикрепленной к ножке камертона (рис. 443). Если частота колебаний камертона вдвое больше частоты основного тона колебаний струны, то в струне возбуждается колебание, которому соответствуют два узла на концах струны (рис. 443, а). Если уменьшать натяжение струны, то частота колебаний камертона оказывается вдвое больше второго обертона, затем третьего и т. д. В струне возбуждаются колебания соответственно с узловой точкой посередине струны (рис. 443, б), с двумя узловыми точками (рис. 443, в) и т. я. [c.675]

Мы предполагали, что скорость распространения бегущей волны совпадает со скоростью распространения отдельного импульса. Основанием для этого предположения служило то обстоятельство, что в рассматриваемых простейших случаях продольных колебаний стержня и колебаний струны скорость распространения импульса не зависит от формы и характера и.мпульса и для импульсов любого типа оказывается одной и той же. Поэтому мы могли считать, что скорость распространения бегущей волны, которая представляет собой од у из разновидностей импульса, совпадает со скоростью импульса. Однако это справедливо не всегда. В некоторых случаях скорость распространения бегущей волны не совпадает со скоростью импульса. Поэтому, вообще говоря, следует различать скорость распространения импульса и скорость распространения гармонической волны. Эту последнюю называют фазовой скоростью, с этой скоростью движется фаза распространяющегося колебания. [c.682]

Как мы убедились, под действием внешней силы в случае резонанса в системе возбуждаются стоячие волны, по характеру распределения амплитуд близкие к тому из нормальных колебаний системы, частота которого совпадает с частотой внешнего воздействия. В других случаях возбуждения интенсивных колебаний в сплошной системе дело обстоит аналогичным образом. Так, в случае параметрического возбуждения колебаний ( 152) интенсивные колебания возникают, когда частота колебаний ножки камертона вдвое больше одного из нормальных колебаний струны, и распределение амплитуд колебаний будет такое же, как для соответствующего нормального колебания струны на струне укладывается половина синусоиды , целая синусоида , полторы синусоиды и т. д. [c.692]

Третье нормальное колебание струны изображено на рис. 161, в. В этом случае колебания струны происходят так, что в средней части струны уже две точки остаются в покое. [c.198]

При переходе к каждому последующему нормальному колебанию число узловых точек струны увеличивается на единицу. Поэтому чем выше частота нормального колебания струны, тем больше узловых точек соответствует этому нормальному колебанию. [c.198]

В общем случае колебания струны пли стержня не являются гармоническими, но их всегда можно представить как результат сложения возбужденных в них тех или иных нормальных колебаний, происходящих по гармоническому закону. [c.198]

Способ струнного створа прост и не требует высокой квалификации исполнителей. Однако его точность существенно зависит от колебаний струны, амплитуда и частота которых обусловлена длиной струны, вибрацией несущих конструкций и другими внешними факторами. Колебания струны возрастают с увеличением стрелы провисания и составляют обычно 0,1 ее величины. Следовательно, в случае необходимости регистрации положения оси рельса с точностью 1 мм, стрела провисания не должна превышать 10 мм Поэтому, при наличии неблагоприятных факторов приходится ограничивать длину струны до 40-50м. [c.42]

Для определения основных величин, характеризующих колебательное движение, решим задачу о колебаниях струны. [c.26]

Это и есть уравнение продольных колебаний струны. [c.27]

Рис. 10.6. Формы собственных колебаний струны, нагруженной пружиной.

Рис. 10.9. Формы собственных колебаний струны, нагруженной массой,

Рис. 10.11. Форма собственных колебаний струны, нагруженной Пружиной на расстоянии //3 от края струни.

Величину к можно выразить через параметры струны и пока еще неизвестную частоту системы ю. Для этого, предполагая, что процесс носит гармонический характер, подставим ро(0 = = Д ехр [/((о/ +ф)] в уравнение колебаний струны (10.4.1). В результате получается следующее соотношение [c.343]

Для генератора можно записать 2(() = Д exp (/о)(). Колебания струны происходят с фазой, отличной от фазы генератора, и по-зтому i/o (0 = В ехр [/ (соУ + ф)]. [c.344]

Перейдем к изложению расчетной схемы. При этом возникает весьма важный вопрос о переходе к конечной области. Предлагается задавать некоторую область (ее сечение в меридиональной плоскости ограничено контуром Г1 (см. рис. 77), а именно (2 = 2о, г = Я)) достаточно больших размеров так, чтобы влияние возмущения, вызванное переходом к конечной области, можно было устранить (в некоторой степени) выбором краевых условий. Исходным моментом являются рассуждения, приведенные в [68], при рассмотрении задачи о колебаниях струны ограниченных размеров, где показано, что при определенных граничных условиях не существует отраженных волн. Получаемое тогда рещение будет совпадать с решением для бесконечной струны. [c.643]

Поперечные колебания струны. Выведем дифференциальное уравнение поперечных колебаний струны. Для этого рассмотрим отклонение струны, закрепленной в точках Л и Б (рис. 541, а). Первоначальное ее натяжение пусть будет Р. Будем считать отклонение незначительным, а изменением усилия натяжения Р при этом пренебрежем, т. е. Р = onst. Длина струны I. [c.564]

II. Задача о фильтре низких частот аналогична задаче о колебаниях струны с бусинами, имеющими одинаковую массу и находяшимися на равных расстояниях между собой. [c.274]

Все, что ЛИ)1 можем сказать относительно колебаний большого числа масс, связанных пружинами, в равной мере относится и к колебаниям стержня пли струмы. Стержень и струна обладают множеством нормальных частот. Подобно тому как частоты рюрмальных колебаний системы, состоящей из отдельных масс, зависят от числа и величин этих масс и упругости пружин, нормальные частоты сплошной системы зависят от размеров сплошного тела, его плотности п упругости. В стержне упругие свойства определяются упругостью самого материала, При поперечных колебаниях струны зависимость возникающей силы от величины отклонения определяется натяжением струны. Поэтому для данного стержня нормальные частоты имеют определенные фиксированпые значения. [c.652]

Первое нормальное колебание, соответствующее наиболее низкой частоте и двум узловым точкам (на концах струны), является основным тоном собственных колебагшй струны. Все остальные гюрмальные колеба1Н1я, соответствующие более высоким частотам, являются обертонами собственных колебаний струны. [c.653]

Конечно, колебания струны вследствие сопротивления воздуха и внутреннего третш в резине постепенно затухают. При этом не только уменьшается амплитуда колебаний струны, но изменяется и форма колебаршй. Это объясняется тем, что, оттягивая струну в одной точке, мы возбуждаем в пей не одно нормальное колебание, а ряд нормальных колебаний (все, для которых эта точка ire является узловой). Но частоты этих колебаний различны и затухают эти колебания с разной скоростью ---тем быстрее, чем выше частота колебаний. Поэтому и изменяется форма колебаний к концу в струне остается только одно [гормальпое колебание, соответствующее наиболее низкой частоте, и колеблющаяся струна принимает форму синусоиды (рис. 425). Отдельные точки струны колеблются с одной и той же частотой, но с разными амплитудами, причем эти амплитуды распределяются по закону синуса. [c.653]

Синусоидальное распределение амплитуд нормальных колебаний является весьма распространенным, но все же не общим законом распределения амплитуд в сплошных системах. Чтобы распределение амплитуд нормальных колебаний было синусоидально, прежде всего необходимо, чтобы сплошная система была однородна, т. е. ее плотность и упругость во всех точках брлли одни и те же. Если, например, мы нарушим однородность резиновой струны, насадив на нее три свинцовых грузика, то при колебаниях струна до самого конца будет сохранять форму ломаной линии (рис. 426 и 427), а не приближаться (как в случае однородной струны) к синусоидальной форме. Вследствие неоднородности распределение амплитуд нормального колебания становится несинусоидальным. [c.654]

Рассмотренные нами типы колебаний представляют собой различные случаи собственных колебаний сплошных систем. Вследствие наличия трения эти колебания всегда будут затухающими, В сплоптых системах, также как и в системе с одной степенью свободы, можно создать условия, при которых те или иные из норма.льных ко-л( баний системы поддерживаются за счет постороннего источника энергии. Из этого источника колеблющаяся система пополняет потери энергии. В этом случае мы получим автоколебания в сплошной системе. Типич <ым примером таких автоколебаний является возбуждение струны смычком. Потери энергии пополняются за счет ряботы силы трения, действующей между смычком и струной. В рояле и в щипковых музыкальных инструментах (балала11кя, гитара) происходят затухающие собственные колебания струны. В смычковых инструментах (скрипка, виолончель) происходят автоколебания, т. е. незатухающие колебания. Этим, главным образом, и объясняется различие в звучании щипковых и смычковых инструментов. [c.657]

Так как угловые частоты нормальных колебаний струны м/ = kiiv/l, то для обертона струны номера к имеем [c.672]

Легко видеть, что гармоничность обертонов системы тесно связана с равномерным распределением узловых точек вдоль системы. Действительно, например, для второго обертона (второго нормального колебания) однородной струны, кроме двух у.зловых точек на концах струны, появляется еще узловая точка в середине струны. Эгу узловую точку можно закрепить мы этим не нарушим второго нормального колебания струны, которое при этом превран1ается в первое нормальное колебание (основной тон) для каждой из двух половин струны. Но основной тон для половины струны должен быть ровно вдвое выше основного тона для всей струны. Поэтому второй обертон для всей струны должен быть ровно вдвое выше ее основного тона, т. е. должен быть гармоническим. Гармоничность обертонов как раз связана с тем, что узловые точки делят однородную колеблющуюся систему на равные части. [c.672]

Так же обстоит дело и в случае возбуждения автоколебаний в сплошной системе Рассуждая упрощенно, можно считать, что механизм, обусловливающий возникно вение автоколебаний в системе, компенсируя потери энергии в системе, поддерживает нормальные колебания этой системы. Например, в смычковых музыкальных инстру ментах (скрипка и др.) характеристика силы трения между смычком и струной та кова, что часть работы, совершаемой этой силой, идет на пополнение потерь энергии происходящих при колебаниях струны ). При автоколебаниях в большинстве слу чаев возбуждается колебание, частота которого близка к основному тону системы однако в некоторых специальных случаях возможно возникновение автоколебаний, близких к одному из обертонов системы. [c.692]

Нормальные частоты стержня зависят от его размеров, плотности и упругих свойств материала, из которого он изготовлен. Поэтому для данного стержня его пор.чальные частоты имеют вполне определенные значения. Нормальные частоты поперечных колебаний данной струны зависят, кроме того, еще и от ее силы натяжения. Выбирая соответствующим образом на-чал1)Иые условия в стержне, можно возбудить те или иные свойственные им нормальные колебания. Например, если струну, закрепленную по концам, слегка оттянуть в средней ее точке, а затем отпусппь, то мы возбудим в ней первое нормальное колебание. При этом все точки струны, кроме крайних, колеблются в одинаковых фазах, а отклонения различных точек от по.чожения равновесия находятся в определенном отношении, которое все время сохраняется и равно отношению их амплитуд (рис, 161, а). Такое колебание струны происходит с наиболее низкой нормальной частотой п является основным тоном собственных колебаний струны (см. 49). Как мы видели, второе нормальное колебание связанной системы из трех маятников происходит так, что средний маятник все время остается в покое, а крайние колеб.тются в противоположных фазах. Подобное нормальное колебание (рис. 161, б) можно возбудить и в струпе. Для этого нужно оттянуть средние точки каждой половины струны па одинаковое расстояние, но в противоположные стороны, и затем их одновременно отпустить. Тогда струна начнет колебаться так, что ее средняя точка будет все время находиться в покое, а точки одной половины струны колебаться в противофазе по отношению к точкам другой половины струны. [c.198]

Колеблющаяся струна вызывает сжатие воздуха, с одной стороны, и в то же время разрежение — с другой. Так как выравнивание давления в воздухе происходит со скоростью звука, то эти сжатия и разрежения в значительной мере компенсируют друг друга. При этом осноинаи часть энергии колебания струны затрачивается не на возбуждение звуковой волны в воздухе, а на перекачку прилегающего к струне воздуха с одной ее стороны на другую. [c.233]

Продольные колебания струны. Рассмотрим продольные одномерные колебания струны, т. е. будем считать, что каждый элемент струны может перемещаться только вдоль ее длины. Если XI—координата какого-либо элемента струны, а и — смещение этого элемента от положения равновесия, тогда относительная деформация (относительное изменение длины) 8 = (1и/с1х. Если деформация происходит под действием силы Е, то отношение Е/8 = с опредляет упругую постоянную струны. [c.26]

Если струна имеет бесконечную длину, то по ней могут распространяться колебания любой длины. Колебания струны, закрепленной на обоих концах, описываются стоячими волнами синусоидального вида. Наибольшая длина волны, отвечающая минимальной частоте (vmin), равна удвоенной длине струны (2L). Узлы стоячей волны расположены в точках закрепления струны. Это так называемый основной тон струны и частота его равна v. Наряду с ним возможны колебания с более высокими частотами, кратные v,— обертоны, т, е. частоты 2v, 3v и т. д. Частота 2v (первый обертон) соответствует появлению одного узла посредине струны, так что обе половины струны влево и вправо от него колеблются в противоположных фазах. [c.27]

Плоокая продольная волна. Пусть массовые силы отсутствуют, поперечный потенциал яр тождественно равен нулю, а продольный потенциал ф зависит только от Х и t. Тогда уравнение (10.6) превращается в уравнение колебаний струны [c.250]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...