Понятие группы

Такая группа представляет с логической точки зрения соединение двух основных математических понятий — группы и топологического пространства. Если при рассмотрении группы мы изучаем в наиболее чистом виде алгебраическую операцию умножения, то при изучении топологического пространства изучаем операцию предельного перехода. [c.905]

В качестве примера И. И. Артоболевский анализирует особенности структуры кинематических цепей открытого типа. Здесь дается также точное определение одному из основных понятий теории структуры — группе. Группой называется такая кинематическая цепь, которая после ее присоединения крайними свободными элементами пар к стойке будет обладать нулевой степенью подвижности и которая не может быть расчленена на самостоятельные кинематические цепи нулевой степени подвижности. Напомним, что Ассур не различает понятий группы и цепи, одинаково пользуясь ими обоими. [c.198]

Такая двойственность классификации является нежелательной и может быть устранена введением в классификацию понятий. группа" и подгруппа" на основе того факта, что детали, различные по назначению, обычно несколько различаются и в отношении технологии. Например, шпиндели станков можно объединить в одну подгруппу шпинделей, которая входит в группу ступенчатых валов класса валов. [c.74]

Поэтому в теории подобия вводится особое понятие группы явлений это понятие уже понятия класса, но шире понятия единичного явления. Группа объединяет все явления, на которые возможно распространение результатов единичного опыта. Остается теперь выяснить, как выделить из целого класса явлений такую группу. [c.96]

Здесь и далее понятие группы совпадает с математическим термином группа множество объектов или совокупность элементов, удовлетворяющих определенным положениям математической теории групп [I—3] в данном случае этими элементами являются элементы симметрии. Математически строго выводятся в кристаллографии для трехмерного пространства 14 трансляционных групп. 32 точечные группы и 230 пространственных групп. [c.95]

В гл. 1 дается краткое, но систематическое изложение используемых в механике твердого деформируемого тела соображений симметрии. Разъясняется понятие группы симметрии конечной фигуры. Выявляются ограничения на возможные виды симметрии, связанные е наличием у среды пространственной кристаллической решетки. Перечисляются кристаллические классы и текстуры. Формулируется принцип Неймана. [c.7]

Понятие группы симметрии [c.12]

Книга адресована читателю, серьезно изучающему молекулярную спектроскопию, и хотя предполагается, что он знаком с основными постулатами квантовой механики, теория групп рассматривается здесь из первых принципов. Идея группы молекулярной симметрии вводится в начале книги (гл. 2) после определения понятия группы, основанного на использовании перестановок. Далее следует рассмотрение точечных групп и групп вращения. Определение представлений групп и общие соображения об использовании представлений для классификации состояний молекул даны в гл. 4 и 5. В гл. 6 рассматривается симметрия точного гамильтониана молекул и подчеркивается роль перестановок тождественных ядер и вращения молекулы как целого. Чтобы классифицировать состояния молекул, необходимо выбрать подходящие приближенные волновые функции п понять, как они преобразуются под действием операций симметрии. Преобразование волновых функций и координат, от которых волновые функции зависят, особенно углов Эйлера и нормальных координат, под действием операций симметрии подробно описывается в гл. 7, 8 и 10. В гл. 9 рассматриваются определение группы молекулярной симметрии и применение этой группы к различным системам. В гл. 11 определяется приближенная симметрия и описывается применение групп приближенной симметрии (таких, как точечная группа молекул), а также групп точной симметрии (таких, как группа молекулярной симметрии) для классификации уровней энергии, исследования возмущений, при выводе правил отбора для оптических [c.9]

В ЭТОЙ главе вводятся операции перестановок и определяется результат умножения (или сочетания) перестановок. Определяется также понятие группы, в частности полной группы перестановок ядер молекулы. Эти понятия иллюстрируются на примере молекул фтористого метила и этилена. Объясняется действие перестановок ядер на координаты ядер и на функции координат. [c.15]

С понятием группы волн неразрывно связана регулярность их появления во времени tor —схэ к +оо. Групповая скорость является функцией о) или k. Она может быть больше, равной или меньше фазовой скорости. Так, например, для длинных океанских [c.147]

Основным признаком для объединения изделий в группы является общность обрабатываемых поверхностей или их сочетаний при обработке или выполняемых соединений или работ при сборке. Поскольку из одних и тех же поверхностей могут быть образованы различные детали, то в состав группы включают детали различной конфигурации. В этом смысле понятие группы значительно шире понятия типа деталей для типового технологического процесса. [c.404]

Наша цель — уменьшить этот разрыв путем критического исследования проблемы в целом с обеих точек зрения. Мы начнем с теории моделирования, подчеркивая при этом связь с понятием группы. [c.118]

В гл. IV было показано, что понятие группы ценно для гидромеханики в трех отношениях. Во-первых, это понятие помогает математически обосновать моделирование с помощью инспекционного анализа, который более соответствует сути дела, чем обычно применяемый анализ размерностей. Во-вторых, с помощью понятия группы можно проверять справедливость математических теорий гидромеханики даже в тех случаях, когда невозможно проинтегрировать теоретически выведенные уравнения в частных производных. И наконец, как и анализ размерностей (но более общим образом), оно часто дает средство снизить число подлежащих рассмотрению параметров тем самым понятие группы вносит значительные упрощения. [c.159]

Теперь мы обсудим возможности применения этого понятия к интегрированию дифференциальных уравнений гидромеханики и, конечно, уравнений математической физики вообще. Большая часть того, что мы намерены высказать в связи с этим, в том или ином виде уже имеется в других работах. Но если, как мы полагаем, применение понятия группы в теории дифференциальных уравнений только начинается, то, по-видимому, целесообразно свести воедино относящиеся к этому вопросу соображения. [c.159]

Просматривая снова гл. IV и V, мы начинаем понимать, какое большое значение имеет для гидродинамики понятие группы. [c.195]

В качестве нашего главного положительного достижения мы укажем на применение в механике жидкостей понятия группы. Так, в четвертой главе обнаруживается, что это понятие является ключевым в теории моделирования (теории подобия ). Не- [c.233]

В этой связи нужно подчеркнуть, что классификация деталей по технологическим рядам на основе строго определенных критериев должна быть противопоставлена классификации по группам. Это объясняется тем, что внутреннее содержание понятия группа является неопределенным, так как это понятие не имеет четко очерченных признаков. И действительно, когда речь идет о группе станков, например токарных, то в эту группу могут входить токарные станки с чрезвычайно широкими интервалами размеров — с расстоянием между центрами от 750 до 6000 мм и выше. Таким образом, понятие группа не содержит никаких габаритных границ, в то время как при технологической классификации размерные границы имеют решающее значение. [c.254]

Распространить результаты единичного опыта на все явления класса в целом невозможно, так как внутри любого класса имеются явления, весьма непохожие одно на другое. Так, например, явление теплопроводности в стене здания практически нечто совсем иное, чем явление теплопроводности в металлической заготовке, прокатываемой на блуминге (хотя эти явления принадлежат к одному и тому же классу). Поэтому в теории подобия вводится особое понятие группы явлений, которая по объему уже класса и шире единичного явления. Группа объединяет все явления, на которые возможно распространение результатов единичного опыта. Остается теперь выяснить, как выделить из целого класса явлений такую группу. [c.285]

Расширение понятия группы симметрий. Вернемся к системе [c.234]

Это другая важная скорость. Таким образом, в данном нелинейном случае существуют цве характеристические скорости и скорость распространения энергии, причем одну из них мы должны приписать групповой скорости. Иначе говоря, понятие группа волн , которое обсуждалось в гл. 1, должно быть уточнено, поскольку все три скорости одинаково важны. Возможно, что мы все же можем называть групповой скоростью скорость распространения энергии. [c.124]

Можно предложить более удобный способ определения типов термов, получающихся при расщеплении конфигурации в результате взаимодействия к эквивалентных электронов между собой. Этот способ основан на использовании понятий группы перестановок . [c.7]

Поясним понятие группы на примере операций симметрии для равностороннего треугольника. Нетрудно проверить, что существует 6 операций симметрии, переводящих треугольник в себя. Это легко увидеть, сделав треугольник из кусочка бумаги. Поворачивая бумажный треугольник на 120°, мы, очевидно, переводим его в эквивалентное положение. (Если бы мы имели дело с молекулой в форме треугольника, то при таком повороте ее гамильтониан не изменился бы.) Чтобы сохранить след произведенного преобразования, можно поставить на бумаге какую-нибудь метку, например точку , как указано на фиг. 12. Поворот переводит метку в положение, отмеченное буквой С,. (Повороты обычно обозначаются буквой С.) Другие операции симметрии переведут нашу метку в другие положения, отмеченные на фиг. 12. Заметим, что положения, отмеченные буквой 0, получаются лишь при переворачивании или отражении треугольника. (Отражения обычно обозначаются буквой о.) На диаграмме фиг. 12 каждая операция симметрии представлена одной из эквивалентных позиций, в которую попадает наша метка при действии соответствующего преобразования. [c.30]

Введем понятие о группах Ассура. [c.53]

ГОСТ 5290—60 аналогичные понятия (деталь, узел, группа) рассматривает только как составные части изделия, хотя в узел и в группу могут, в свою очередь, входить детали и другие узлы и группы. Как видно из определений узла и группы, по ГОСТ 52Ш—60 узел переходит в группу в том случае, когда для него целесообразна самостоятельная организация производства. А поскольку эту целесообразность устанавливал конструктор, одна и та же составная часть изделия в одном случае могла быть узлом, в другом случае— группой, т. е. это зависело от субъективных особенностей конструктора и от конъюнктурных соображений в отдельном конкретном случае. А если при изготовлении изделий принималось решение по организации производства, отличное от принятого конструктором, приходилось перерабатывать отдельные конструкторские документы, так как группа в соответствии с ГОСТ 5295—60 должна была иметь сводную спецификацию, которую узел не имел. [c.156]

Проектирование сводится к решению группы задач, которые относятся к задачам синтеза и анализа. Понятие синтез технологического процесса в широком смысле этого слова близко по содержанию к понятию проектирование . Однако здесь есть раз- [c.108]

Кроме класса и единич1юго явления, в теории подобия введено особое понятие группы явлений. Группой явлений называется совокупность физических процессов, описываемых одинаковыми по форме и содержанию дифференциальными уравнениями и одинаковыми по форме и содержанию размерными условиями однозначности. Различие между отдельными физическими процессами, отнесенными к данной группе явлений, будет состоять только в разли- [c.410]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

В этой и предыдущей главах определены полная группа перестановок ядер (ППЯ) и полная перестановочно-инверсионная группа ядер (ППИЯ) молекулы. Введено понятие группы молекулярной симметрии (МС). Рассмотрено действие элементов этих групп и их произведений на пространственные координаты ядер и электронов и на функции этих координат. [c.38]

В этой главе вводятся и поясняются понятия группы приближенной симметрии и приближенного квантового числа. Важными группами приближенной симметрии являются молекулярная точечная группа и молекулярная группа вращений, которые дают нам весьма полезный приближенный способ классификации уровней по типам симметрии группа молекулярной симметрии (МС) и пространственная группа К(П) обеспечивают точную классификацию уровней. Далее рассматриваются взаимодействия уровней энергии молекулы, а группа точной симметрии используется для определения отличных от пуля членов возмущения и правил отбора для взаимодействия уровней. Приближенные квантовые числа и приближенную классификацию уровней по симметрии можно использовать также для выявления сильных возмущений уровней. Затем мы выведем правила отбора для однофотонных электрических дипольных переходов с использованием классификации уровней по квантовым числам и по приближенным и точным типам симметрии. Далее мы обсудим запрещенные переходы, а в конце этой главы кратко рассмотрим магнитные дипольные переходы, электрические квадрупольные переходы, многофотоиные процессы (включая комбинационное рассеяние света) и эффекты Зеемана и Штарка. [c.294]

Прошло пятьдесят лет с тех пор, как в математике утвердились понятия группы и алгебры Ли. Термин алгебра Ли введен Г. Вейлем в 1934 г. [ 1, с. 467]. На языке групп Ли [ 2] и их инвариантов формулируется одна из основных задач аналитической механики, связанная с интегрированием уравнений движения. Понятие алгебраических инвариантов введено Дж. Сильвестром в 1851 г. и использовано Ф. Клейном для классификации различных геометрий. В работе [ 3], известной под названием Эрлангенской программы , Ф. Клейн предлагает любое многообразие задавать системой инвариантов относительно группы преобразований. В 1872—1876 гг. опубликована серия работ С. Ли [4], в которой устанавливается глубокая внутренняя связь симметрия — законы сохранения , свойственная задачам аналитической механики [5. 6]. С. Ли показал, что первые интегралы движения гамильтоновых систем являются следствием существования группы контактных преобразований фазовых переменных. [c.70]

Можно построить математическое представление упругого поля с помощью так называемого обратного описания деформации тела, развитого в работах Маженна (G. А. Маи-gin), которые подытожены в монографии [2] (см. также обзорную статью [23]). Обратное описание деформации сплошной среды и соответствующая вариационная формулировка нелинейной теории упругости (когда действие для упругого тела представлено на основе эйлерова описания и варьированию подвергается обратное отображение = Х х , t)) неожиданно оказываются удобными для исследования сингулярного упругого поля и позволяют, в частности, с иных позиций взглянуть на энергетические соотношения нелинейной механики разрушения. Сам автор этого подхода называет обратное описание деформации описанием Пиола (G. Piola) и отмечает, что обратная вариационная формулировка в сущности совпадает с использованной Пиола еще в XIX в. [24] (затем забытой и никогда на деле не применявшейся). Ясно, что и два традиционных способа описания деформации сплошного тела (в духе Лагранжа и Эйлера), и возможность расширения понятия группы инвариантности функционала действия и обобщенного варьирования — следствия универсального принципа двойственности и полной равноправности отсчетной и актуальной конфигураций тела в состоянии его деформации, пронизывающих механику деформируемых тел как единую теорию. [c.674]

Для исследования единичного конкретного явления необходимо сузить понятие группы подобных явлений до единичного конкретного явления. В теории подобия доказывается, что решение задачи для единичного конкретного явления можно получить, если в условия однозначности ввести конкретный числовой материал, определяющий размеры тел, их физические и механические характеристики, значение температуры в начальный момент времени и конкретные условия на границе взаимодействующей системы тел. При нагреве кузнечных слитков запись в качестве условий однозначности конкрет1 ых размеров слитков, их свойств, начальной температуры слитков и печи и ее фактического режима нагрева дает систему уравнений, решение которой применимо для единичного явления нагрева данного слитка в данной печи по данному режиму нагрева. [c.144]

Для того чтобы при тех или иных расчетах можно было оперировать не только результатами расчетов по конкретным видам, но и результатами по нескольким видам расчетов, объединенных по определенному принципу, служит понятие групп расчетов. В системе может быть определено неохраниченное число групп расчетов, примерами которых могут служить начисления, облагаемые налогом , входящие в расчет средней зарплаты , облагаемые исполнительным листом и другие. [c.28]

Гоуппы расчетов. Понятие группы расчетов имеет в системе 1 С Предприятие вспомогательное значение. Единственное нредна-зиачение групп расчетов — упорядочивание и классификация видов расчета для тех областей применения программы 1С Предприятие, [c.319]

Упомянем еще кратко три типа проблем, в которых алгебраические методы оказались весьма полезными. Первая из этих проблем связана с так называемой теоремой Голдстоуна. По существу ее можно рассматривать как приложение теории разложения, о которой речь шла в гл. 2, 2, п. 6 и о которой мы говорили также по поводу теоремы 3. Чтобы дополнить картину, необходимо ввести понятие группы внутренней симметрии , относительно которой состояние ср также инвариантно. Эта группа симметрии С коммутирует с эволюцией во времени [c.374]

Фазовая скорость данной нормальной волны зависит от частоты волноводное распространение происходит с дисперсией. Для данного номера нормальной волны можно ввести понятие группы волн, так же как и для других одномерных волн, как суперпозиции нормальных волн одного и того же номера, но разных (близких) частот. Если спектр нормальной волны узкий, то волна имеет вдоль оси х вид длинного цуга и можно следить за его огибающей, скорость и которой и явится групповой скоростью данной нормальной волны. Согласно 27, = daldl. Дифференцируя обе части дисперсионного уравнения (70.2), найдем [c.234]

Сам автор этого подхода называет обратное описание деформации описанием Пиола (G. Piola) и отмечает, что обратная вариационная формулировка в сугцностп совпадает с использованной егце в XIX в. (и затем забытой) формулировкой [ ]. Ясно, что и два традиционных способа описания деформации сплошного тела (в духе Лагранжа и Эйлера), и возможность расширения понятия группы инвариантности функционала действия и обобгценного варьирования — следствия универсального принципа двойственности и тотальной равноправности отсчетной и актуальной конфигураций тела в состоянии его деформации, пронпзываюгцпх всю механику деформируемых тел. [c.23]

Вторая группа уравнений представляет запись определенных физических законов, описывающих поведение конкретных материалов. Вид этих уравнений зависит от класса рассматриваемых материалов значения параметров, появляющихся в уравнениях, зависят от конкретного материала. Имеются в основном четыре уравнения этой группы. В недавнем весьма общем подходе Коле-мана [1—3]рассматриваются уравнения, в точности определяющие следующие четыре зависимые переменные внутреннюю энергию, энтропию, напряжение и тепловой поток. Этот подход будет обсуждаться в гл. 4. На данном этапе мы предпочитаем значительно менее строгий подход, в котором используются понятия, взятые из классической термодинамики. При таком упрощенном подходе по-прежнему используютсячетыреуравнения, описывающие поведение рассматриваемых материалов термодинамическое уравнение состояния, которое представляет собой соотношение между плотностью, давлением и температурой реологическое уравнение состояния, связывающее внутренние напряжения с кинематическими переменными уравнение для теплового потока, связывающее тепловой поток с распределением температуры уравнение, связывающее внутреннюю энергию с существенными независимы- [c.11]

Способ построения группы явлений можно пояснить на примере геометрических фигур. На рис. 26-5 изображены различные прямоугольники. Понятие прямоугольник определяет целый класс плоских фигур, объедине1Н1ых общим свойством, что все четыре угла прямые. Чтобы выделить из целого класса фигур (рис. 26-5, а) единичную фигуру, необходимо задать численные значения сторон h и /а, которые являются условиями од- [c.411]

Рассмотрим основные понятия и определения. Твердые тела, входящие в состав механизма и обладающие относительной подвижностью, называют звеньями механизмд. Звенья могут состоять и.ч одной или нескольких жестко связанных между собой частей, н,1зываемых деталями. На рис, 1 изображена схема передаточного механизма измерительного прибора. Звено 2 механизма (шатун) имеет приспособление, позволяющее изменением длины этого звена установить стрелку прибора по нулевой отметке шкалы 4. На рис. 2 показано конструктивное оформление звена 2 (см. рис. 1) оно состоит из двух стержней, двух цилиндрических втулок, соединительной муфты и двух гаек. При движении шатуна указанные детали перемещаются как единое целое, и следовательно, образуют одно звено механизма. Каждую деталь или группу деталей, образующих неизменяемую систему, называют подвижным звеном, а неподвижные детали механизма—с/пой/сой. Все элементы, образующие стойку, на схеме механизма отмечены штриховкой. Места соединения (соприкосновения) звеньев друг с другом являются их геометрическими элементами. Шатун (см. рис. I) имеет два таких элемента, представляющих собой цилиндрические поверхности. Одним геометрическим элементом шатун соединен с кривошипом (звеном <3), а вторым — с ползуном (звеном /). [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...