Необходимые условия экстремума

Если X — точка максимума, то линейные члены в (6.40) равны нулю, тогда равны нулю составляющие вектора — градиента функции f(X). Следовательно, необходимым условием экстремума является условие [c.278]

Уравнения (13.84) — необходимое условие экстремума функции и. Легко видеть, что этот экстремум является минимумом. В самом деле, согласно формуле (13.79), вторые производные функции и по Хз [c.392]

На основе необходимых условий экстремума найдена [26, 27] величина максимального сопротивления одной осесимметричной конфигурации, обтекаемой сверхзвуковым потоком. [c.47]

Необходимые условия экстремума [c.75]

Теперь, когда выяснена возможность удовлетворения необходимых условий экстремума, вернемся к рис. 3.8 и выясним условия, при которых достигается минимум сопротивления х- [c.77]

Допустим, что необходимые условия экстремума удовлетворены. На кривой Ьк имеем Ф = 0. Пусть над кривой Ьк (при 6а > 0) [c.77]

Вместе с тем желательно убедиться в том, что характеристика ЛЬ, построенная на основе необходимых условий экстремума, удовлетворяет хотя бы каким-то необходимым условиям минимума. С этой целью в 3.3 и 3.4 будут выведены некоторые необходимые условия минимума. [c.81]

Свойства решений. Вспомним, что необходимыми условиями экстремума при непрерывном решении задачи 1 являются уравнения (2.11), (2.15), (2.28)-(2.30), определяющие функции а(у), Цу), 2 у), As(y), ij> y), и граничные условия (2.12), (2.18), (2.24), (2.34). После проведенного интегрирования необходимые условия экстремума сводятся к уравнениям (2.30), (2.35)-(2.37), (2.43) и граничным условиям (2.12), (2.18). [c.84]

В этом разделе рассмотрены такие течения, которые не содержат ударных волн в области, ограниченной контрольным контуром ab . Выведены необходимые условия экстремума. Построены схемы, при которых вариационная задача разрешима. [c.88]

Необходимым условием экстремума, как это следует из (3.4), является условие трансверсальности [c.90]

До сих пор рассматривались вариационные задачи с независимой переменной у. Введем в качестве независимой переменной гр, сформулируем вариационную задачу, найдем необходимые условия экстремума, а затем сравним оба вида решений. [c.95]

Необходимые условия экстремума. Для решения задачи 4 составим сумму [c.97]

Из (3.49) следует, что только неравенство б<р < 0, противоречащее условию (3.32), ведет к уменьшению сопротивления х- Таким образом, как и в 3.3.2, заключаем, что решение задач 1 и 3 является одновременно решением задач 2 и 4, если экстремаль лежит в области (3.20) или (3.48). Сопоставление решений. Итак, найдены необходимые условия экстремума вариационных задач в двух вариантах. В одном случае независимой переменной является у, в другом — величина i>. Обе формы решения обладают своими преимуществами и недостатками. [c.101]

Итак, при условии 1р ф) > Ро ф) необходимыми условиями экстремума X являются уравнения (3.39), (3.44), (3.45), (3.54), определяющие функции у, а, <6, (р, и граничные условия (3.57), (3.58), (3.30). Величины Л2, Лз определяются условиями (3.25), (3.26). [c.106]

Рй)ьс к величинам оль, дм, <Рм, причем все шесть величии уже определены необходимыми условиями экстремума. [c.106]

В разделах 3.2 и 3.3 были рассмотрены необходимые условия экстремума величины волнового сопротивления в тех случаях, когда исходная характеристика не разрушается. Определены области, в которых течения с ударными волнами не допустимы. В задачах этого типа полезно дополнительно исследовать необходимое условие минимума волнового сопротивления. Следующий раздел будет посвящен этому вопросу. [c.107]

Возвратимся снова к задаче 1. Пусть для этой задачи удовлетворены все необходимые условия экстремума. Это означает, в частности, что найдены постоянные Аз, А4, а также функции а(у), д у), ф у), Х2(у), удовлетворяющие уравнениям (2.11), (2.30), (2.36), (2.37) при А5(у) = 0. В решении задачи эти функции определяются на характеристике ЬЛ. [c.108]

Выведем теперь еше одно из возможных необходимых условий минимума. Такие условия позволяют отбрасывать непригодные решения из полученных на основе необходимых условий экстремума. [c.109]

Необходимые условия экстремума при схемах решения, изображенных на рис. 3.14 и 3.22, отличаются только тем, что два условия (2.18) первого случая заменяются двумя условиями (4.23), (4.24) во втором случае. Следовательно, при схеме рис. 3.22 количество произволов в определении функций равно количеству условий, как и при схеме рис. 3.14. [c.121]

При обращении 61 в нуль сумма, стоящая в скобках, также должна равняться нулю. Использование необходимых условий экстремума на характеристике ЛЬ в точке Ь позволяет преобразовать эту сумму и получить равенство [c.141]

Итак, необходимыми условиями экстремума х задаче 7 с учетом последней оговорки являются шесть уравнений (6.10), (6.30), (6.38)-(6.40), определяющих функции у ф), а ф), а ф), Цф), ,4 ф), ,5 ф), [c.158]

Необходимое условие экстремума этого интеграла [c.402]

Необходимые условия экстремумов функций Q к На совпадают при удовлетворении Hj=0 (j=, , т). Поэтому задачу оптимизации Wo(Z) с ограничениями-равенствами можно заменить эквивалентной задачей отыскания стационарной точки функции Q(Zig) без ограничений. Ее можно решить численными методами, рассмотренными выше. Однако для перехода к более простой формулировке задачи надо расширить размерность задачи за счет введенных новых переменных Bi.....gm. [c.252]

Проводя те же рассуждения, которые имеют место при выводе необходимых условий экстремума функций, мы придем к заключению, что необходимое условие для экстремума функционала J состоит в том, чтобы [c.418]

Э1И равенства, так же как и (47), выражают необходимые условия экстремума потенциальной энергии в положении равновесия системы. [c.322]

Уравнения Лагранжа второго рода являются необходимыми условиями экстремума вариационных принципов динамики. [c.229]

Это значит, что первая вариация энтропии равна нулю, а вторая меньше нуля. Равенство нулю первой вариации является лишь необходимым условием экстремума и не обеспечивает того, чтобы энтропия имела именно максимум. Достаточным условием максимума энтропии является отрицательное значение ее второй вариации, которое и обеспечивает устойчивость равновесия. Если же при 65 = 0 вторая вариация энтропии положительна (минимум энтропии), то соответствующее состояние системы будет равновесным, но совершенно неустойчивым , так как благодаря флуктуациям в ней начнутся неравновесные процессы, которые и приведут ее в равновесное состояние с максимумом энтропии. Так как дальше энтропия расти не может, то это равновесие будет устойчивым. [c.122]

Неизвестные значения свободных параметров определяются в результате решения задачи на поиск минимума функции 5. Необходимыми условиями экстремума функции являются [c.98]

Необходимым условием экстремума функционала является равенство нулю его первой вариации 6J, т. е. главной части приращения функционала, которая линейна по отношению к вариации функции бы. [c.96]

Ограниченность Я при оо означает, что Я-функция имеет минимум при оо. Необходимое условие экстремума [c.47]

Первое необходимое условие экстремума принимает вид [c.44]

В самой математике уже издавна разрабатывались методы определения максимума или минимума функции одной или нескольких переменных. Как известно, необходимое условие экстремума определяется из простого условия в искомой точке экстремума все первые производные функции по каждой переменной должны равняться нулю. Однако если точка удовлетворяет этим условиям, то это еще не означает, что именно в ней достигается экстремум. Эти условия являются лишь только необходимыми условиями экстремума, но далеко не всегда достаточными. Правда, если заранее известно, что точка экстремума наверняка существует и она единственная, то необходимые условия экстремума выделяют именно эту искомую точку. Даже если мы и не уверены заранее, что точка максимума (или минимума) единственна, то необходимые условия помогают нам выделить некоторую ограниченную совокупность точек, нз которых нетрудно даже простой поочередной проверкой каждой точки из этой совокупности установить, в какой же именно точке достигается абсолютный максимум (или минимум — в зависимости от того, что, мы ищем). [c.146]

Необходимое условие экстремума этой функции [c.557]

Общее решение. Необходимым условием экстремума одной из сумм (9.15), (9.16),.. . при данной формулировке задачи является удовлетворение требованиям теоремы правила множителей и, как следствия ее, соблюдение уравнений Эйлера — Лагранжа. Согласно теореме правила множителей и ее следствию [111] при наличии экстремума одной из сумм (9.15), (9.16),.. . необходимо, чтобы между узловыми точками соблюдались уравнения Эйлера — Лагранжа [c.179]

Равенства (118) или (119) выражают необходимые условия экстремума функции нескольких переменных. Следовательно, система, на которую действуют потенциальные силы, в тех положениях, для которых силовая функция или потенциальная энергия системы имеет экстремум (в частности, минимум или максии ум), находится в равновесии. Вопрос об устойчивости этих положений равновесия будет рассмотрен в 147. [c.376]

Результаты работ [5, 6] несколько позже были получены Pao [8] для несовершенного газа. Подход Pao отличается от использованного в работах [3-6]. Его обоснование было дано Гудерлеем [9], а объяснение причины удачи Pao — в статье [10]. В работе [9] приведено также решение задачи в случае вихревых течений, когда плотность и давление представимы в виде произведений функций от энтропии на функции от энтальпии. Определению оптимальной формы сопла с учетом веса его стенок посвящена статья Стернина [11]. Один вариант задачи о наилучшей форме тела вращения рассмотрен Pao [12]. Перечисленные результаты получены на основе необходимых условий экстремума. [c.46]

Отсутствие азимутальной составляющей вектора скорости в рассмотренных вариационных задачах при осевой симметрии является ограничением, которое может, например, снизить силу тяти оптимального сопла. В работах [19, 20] на примере присутствия потенциальной закрутки потока вокруг оси симметрии выведены необходимые условия экстремума и продемонстрировано увеличение силы тяги. Дальнейшие исследования в этом направлении проведены Гудерлеем, Табаком, Брей-тером и Бхутани [21]. Систематическое сравнение оптимальных сопел этого типа выполнено Тилляевой [22]. [c.47]

По поводу последнего условия необходимо сделать следующее замечание. Если рассматриваемое течение является изэнтропическим, то вместо дифференциальной связи (2.11) с граничными условиями (2.12) можно использовать одно изопериметрическое условие (2.7). о показывает, что соответствующий множитель Лагранжа Л2 будет постоянен, а его величина определяется из условия (2.7). В этом случае равенство (2.23) является условием трансверсальности. Если же течение неизэнтропично, то величина Л2 переменна, а равенство (2.23) можно рассматривать как граничное условие для Xj. Последнее означает, что условие (2.23) выполняется на всех функциях сравнения. Это различие в смысле равенства (2.23) при изэнтропических и неизэнтропических течениях несущественно при рассмотрении необходимых условий экстремума, но оно должно быть использовано при выводе необходимых условий минимума. [c.72]

Пусть найдено решение некоторой задачи (рис. 3.9). Выберем произвольную характеристику первого семейства qt и линию тока ij, лежащие в треугольнике abh. Будем считать характеристику it и точку j, лежащую на характеристике bh, заданными. На характерйстике второго семейства jt выполняются все необходимые условия экстремума. Действительно, на jt выполняются уравнения 2.11), (2.15), (2.28)-(2.30), поскольку jt есть часть характеристики bh, в точке t, как отмечалось в 3.2.4, выполняется условие (2.34), а в точке j — условие (2.24). Выполнены и прочие условия, поскольку треугольник ijt является частью треугольника abh, в котором построено течение. Следовательно, если величины X, yj, Х , для отрезка линии тока ij считать заданными вместе с характеристикой it, то контур ij обладает минимальным волновым сопротивлением. [c.84]

Равенство (144.9) является необходимым условием экстремума действия S. Из этого следует, что из всех возмоэшых движений изображающей точки от ее положения в момент ii до ее положения в момент i-2 действительным является то движение. при котором интеграл (144.6) имеет экстремум максимум или минимум, или стационарное значение, отличное от экстремума. [c.398]

Это значит, что первая вариация энтропии равна нулю, а вторая меньше нуля. Равенство нулю первой вариации является лишь необходимым условием экстремума и не обеспечивает того, чтобы энтропия имела именно максимум. Достаточным условием максимума энтропии является отрицательное значение ее второй вариации, которое и обеспечивает устойчивость равновесия. Если же при 65 = 0 вторая вариация энтропии положительна (минимум энтропии), то соответствующее состояние системы будет равновесным, но совершенно неустойчивым , так как благодаря флуктуациям в ней начнутся неравновесные процессы, которые и приведут ее в равновесное состояние с максимумом энтропии. Так как дальше энтропия расти не может, то это равновесие будет устойчивым. Таким образом, равенство б5 = 0 определяет общее условие равновесия, а неравенство 6 5<О — общее условие устойчивости равновесия изолированных термодинамических систем. Эти условия являются достаточными, так как если бы система, имея максимальную энтропию, не находилась в устойчивом равновесии, то при приближении к нему ее энтропия начала бы расти, что противоречит предположению о ее максимальности. Доказать необходимость максимальной энтропии при устойчивом равновесии изолированной системы исходя из основного неравенства (6.3) нельзя, так как из него не следует, что равновесие невозможно при немаксимальной энтропии. Однако принимая во внимание молекулярную природу термодинамических систем и наличие обусловленных ею флуктуаций внутренних параметров, видим, что состояние равновесия без максимума энтропии невозможно, так как благодаря этим флуктуациям в системе возникают неравновесные процессы, сопровождающиеся ростом энтропии и приводящие систему к равновесию при максимальной энтропии. [c.101]

Из формул (3.8) видно, что значения а . и Xv зависят не только от Ог, но и от ориентации площадки, т. е. они являются функциями параметра а. При этом безусловно убывает с ростом угла а от П дп я./2, тогда как т., обращается в нули при а = О и а = л/2. Следовательно, в интервале 0<а<п/2 напряжение Tv принимает экстремальное значение. Необходимое условие экстремума (Tv)a = О, т. е. os 2а = 0. Корни этого уравнения а = я/4 rizkn, k = О, 1, 2,. ... Нас интересуют главные значения j = = я/4, 2 = —я/4, из которых следует, что касательные напряжения достигают наибольших значений на площадках, составляющих угол я/4 с осью продольно нагруженного стержня [c.56]

Определим те направления, для которых нормальные сечения имеют экстремальные кривизны. Положим == os б, т) = sin 9 и тем сдмым удовлетворим условию + т) = 1. Тогда необходимое условие экстремума приведет к уравнению [c.421]

Полученная система (9.21) является необходимым условием экстремума функционалов (9.15), (9.16). Однако для суждения о максимуме или минимуме экстремума необходимо знать знак второй вариации. Для этого используются условия Лежандра — Клебша и Вейерштрасса, которые являются дополнительными необходимыми условиями экстремума и определяют его вид. [c.180]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...