Функционал Лагранжа

Для составления функционала Лагранжа I используются равенства (5.12), (5.2)-(5.4). Это дает [c.141]

Итак, пусть у и и — независимые функциональные аргументы, уравнение (5.413)— ограничение на эти аргументы. Составим функцию (функционал) Лагранжа [c.302]

Для нахождения седловой точки можно применить следующий прием. Будем двигаться к решению по направлению наибыстрейшего убывания функционала Лагранжа по у и наибыстрейшего роста по q. При этом ограничение на р ( 0) будем учитывать с помощью алгоритма (12.101), описанного выще. Таким образом, вначале следует положить 0, а дальше минимизировать функционал S(у, р°) по у. В результате придем к элементу и°. На третьем этапе максимизируем функционал S (m ,р) по р и приходим к новому значению р . Теперь оператор Рк проектирования строится предельно простым образом — он либо тождественный, либо обращается в нуль. Далее процесс повторяется. [c.161]

Функционал (8.7.5) называется функционалом Лагранжа, он зависит только от вектора перемещения ы поскольку фигурирующие в выражении (8.7.5) компоненты деформации предполагаются выраженными через перемещения. Приравняем нулю вариацию функционала Лагранжа [c.256]

Функционал Лагранжа (8.7.5) принимает вид [c.262]

Поскольку мы наложили геометрические ограничения на характер деформации балки и предопределили заранее ноле деформаций, заданное формулой (12.1.2), содержащей две неизвестные функции одной только переменной z, для получения уравнений изгиба естественно применить вариационный принцип Лагранжа. Построим функционал Лагранжа но формуле (8.7.5) [c.388]

Здесь F — площадь сечения, I — момент инерции площади сечения относительно оси х (см. 3.3), / = J г/ dF. Вариация функционала Лагранжа должна обращаться в нуль при варьировании независимых аргументов w ж v. Варьируя w, получим I [c.388]

Эти условия относятся к балке со свободными концами. Они изменятся, естественно, если на конце балки приложена сосредоточенная сила или момент. Тогда соответствующие члены необходимо включить в функционал Лагранжа как работу внешних сил. Если на деформацию балки на ее концах наложены некоторые кинематические ограничения, например, г (0) = 0 (конец [c.389]

В нелинейной теории остальные компоненты деформации уже не обращаются все в нуль, но они малы по сравнению с вц. Предположим теперь, что стержень сжимается продольной силой Р, как это было показано на рис. 4.1.1, концы стержня для простоты будем считать шарнирно опертыми. Составим функционал Лагранжа так же, как это делалось в 12.1, но с учетом выражения (12.3.1) для деформации ец [c.393]

Функционал Лагранжа. Из общей формулы (8.7.5) вследствие кинематической гипотезы (12.4.3) следует [c.409]

Функционал Рейсснера (15.116) получен из функционала Лагранжа, в котором отсутствует член, содержащий интеграл по 5 , поскольку функционал Лагранжа варьируется лишь по перемещениям, а вариация перемещений на 5 , где они заданы, равна нулю, вследствие чего указанный член в (и) не был существенным и был опущен. В принципе же Рейсснера варьирование выполняется и по напряжениям, поэтому на варьирование по а может быть выполнено. В приведенном выше функционале Рейсснера на варьирование по а не производилось, поскольку член с интегралом по не был использован. Если бы этот член был включен в функционал, то по а следовало бы варьировать и его. [c.524]

Функционал Лагранжа и уравнения равновесия упругого тела [c.75]

Механическую систему, состоящую из упругого тела и действующих на него объемных и поверхностных консервативных сил, называют консервативной. Для такой системы можно ввести понятие полной потенциальной энергии (функционала Лагранжа) [c.76]

В положении равновесия системы функционал Лагранжа принимает стационарное значение. В этом нетрудно убедиться, если подсчитать первую вариацию функционала Лагранжа бЭ = 6J/ + 8П. [c.76]

Условие стационарности функционала полной потенциальной энергии (3.16) для линейно упругого тела позволяет достаточно просто получить разрешающие дифференциальные уравнения и граничные условия, записанные через перемещения. Для этого в функционале потенциальной энергии деформации (3.19) следует заменить деформации е их кинематическими выражениями. В случае малых перемещений эти выражения имеют вид (3.4). Тогда функционал Лагранжа, выраженный через перемещения, определится как [c.78]

Функционал Лагранжа данной задачи [c.65]

Далее, (4.4.19) подставляют в функционал Лагранжа Фв(и1) и отыскивают его минимум из условий [c.214]

Условие стандартности функционала Лагранжа (9.4.18) после преобразований с привлечением формул Грина и с >четом независимости вариаций 8 ,8v,5w на поверхности /"и 8и ,5и,,5и, 8Фу на контуре Г приобретает вид [c.140]

Система уравнений (9.14.1) - (9.14.3) яв- ляется полной (она содержит 21 уравнение и включает столько же неизвестных функций Т, М, Q, , аг, , у, и, v, tv) и имеет десятый порядок по переменным а и ji. Соответствующий вариационный функционал Лагранжа, лежащий в основе многих прикладных методов расчета, имеет следующий вид [c.226]

Впервые получены функционалы относительно физических соотношений упругости, ряд функционалов граничных условий, функционал Лагранжа, не содержащий перемещений, функционалы физико-геометри-ческого и физико-статического характера и другие. Эти [c.9]

Приведем пример построения функционала (21). Функционал Лагранжа и дополнительные условия для задачи изгиба плиты (см. гл. 4) в пространстве Е функций, определенных в плоской области S и принимающих любые значения на границе, имеют вид [c.24]

Все функционалы обозначены буквой Э с индексом, которым, как правило, служит первая буква названия например, 5д — функционал Лагранжа, Эк — функционал Кастильяно, 3, — полные функционалы. Наиболее важные, с нашей точки зрения, функционалы и их дополнительные и естественные З словия размещены в табл. 3.1—3.5. Между их аргументами установлено соответствие [c.53]

Различные варианты функционала Лагранжа (табл. 3.1). [c.54]

Данный функционал может быть преобразован путем расщирения пространства состояний за счет замены переменных е(и) е, о(е)=о и искусственного введения соответствующих дополнительных условий в другие разновидности, имеющие различные особенности. Некоторые из полученных таким путем вариантов функционала Лагранжа (наиболее интересные с точки зрения авторов) представлены в табл. 3.1. [c.54]

Как видно из табл. 3.1, условия стационарности различных вариантов функционала Лагранжа — уравнения равновесия, но в различной форме, выражен- [c.54]

При преобразовании Фридрихса (12) дополнительные условия (геометрические уравнения) и условия стационарности (статические уравнения) функционала Лагранжа переходят соответственно в условия стационарности и дополнительные условия функционала Кастильяно. См. также 3.2г, в котором схема (12) дополнена обратным преобразованием Фридрихса, и 3.2в, где дана аналогичная схема для функционалов Лагранжа в деформациях и Кастильяно в функциях напряжений. [c.59]

Функционал Эк2 является промежуточной ступенью при преобразовании Эка (о) в Эк1(ф). В то же время Эк2 имеет большие возможности, чем Экь как исходный пункт для преобразований, подобно аналогичному ему функционалу Лагранжа Эл2(и,е). Из 5к2(ф. о) можно получить полный функционал Э, (ф, а, е) и функционал Лагранжа Элз е). [c.60]

Заметим, что использование 5пз( , ф) можно рассматривать как инструмент для установления зависимости между напрян(ениями н функциями напряжений, т. е. для получения общего решения уравнений равновесия. Иными словами, преобразование функционала Лагранжа Элз(е) в Эпз(е,ф) фактически привело к преобразованию условий стационарности Эдз [c.65]

Для решения этой задачи применимы все описанные в 12 гл. I методы. В частности, если вводить функционал Лагранжа (алгоритм Эрроу — Гурвица) [130] [c.628]

Здесь варьируются независимо напряжения о и перемещепи>1 щ. Функционал Лагранжа, записываемый через и деформации ij, выраженные через Ut по формулам (12.2.1), послужил отправной точкой для всех выводов. Прямое распространение на геометрически нелинейные задачи вариационного принципа типа Кастильяно невозможно. Действительно, в линейной теории было использовано то обстоятельство, что беу выражается через Ьщ по тем же формулам, по которым б ,- выражаются через Uu Поэтому преобразование объемного интеграла можно было произвести до варьирования функционала. В нелинейной теории этого сделать нельзя. [c.392]

Здесь бар представляют собою компоненты деформации срединной плоскости 2бар = и-а, s + а. Формулы (12.4.3) достаточны для построения общей теории. Составляя функционал Лагранжа и приравнивая нулю его вариацию, мы получим некоторые дифференциальные уравнения для м и ц с соответствующими граничными условиями, т. е. построим техническую теорию изгиба пластин, заранее предполагающую выполнение известных кинематических ограничений. Но мы будем пользоваться вариационным принципом Рейснера и зададимся следующим законом распределения напряжений по толщине [c.397]

Принадлежность к энергетическому пространству оператора А устанавливается существованием компонентов напряжеяно-деформированного состояния, которые входят в соответствующий функционал. Так, для трехмерного и плоского напряженного состояния дифференциальный оператор А имеет второй порядок, в функционал Лагранжа входят первые производные по перемет щениям. Поэтому для их существования необходимо обеспечить непрерывность перемещений по области системы. Из тех же соображений при решении задач изгиба плиты или оболочек (порядок дифференциального оператора —4) необходимо обеспечить непрерывность как перемещений, так и их первых производных. [c.9]

Например, функционал Рейсснера (гл. 3) является полным в пространстве перемещений и напряжений и частным в пространстве перемещений, деформаций и напряжений (по отношению, например, к полному функционалу Ху —Вашицу). Функционал Лагранжа Эл2(и, е)—частный в любом пространстве, содержащем поля перемещений и деформаций. [c.30]

Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 2 (1978) -- [ c.487 , c.518 , c.523 , c.524 ]

Машиностроение Энциклопедия Т I-3 Кн 2 (1995) -- [ c.214 ]

Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек (1978) -- [ c.54 , c.70 , c.77 , c.90 , c.103 , c.111 , c.151 , c.220 , c.246 ]

Механика сплошных сред (2000) -- [ c.180 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...