Вариационной обратное

Любое решение задачи (5.241) — (5.243) удовлетворяет, таким образом, интегральному тождеству (5.244) обратно, любой элемент а, удовлетворяющий интегральному тождеству (5.244) (которое называется также вариационным уравнением) и обладающий вторыми производными, представляет собой решение задачи (5.241) — (5.243). Таким образом, не всякое решение вариационного уравнения (5.244) — решение исходной задачи (5.241) — [c.272]

Доказанное позволяет строить регуляризующий оператор непосредственно, минуя вариационную постановку для сглаживающего функционала. Как известно [55], неустойчивость решения уравнений первого рода объясняется тем, что их собственные значения сгущаются к нулю и поэтому обратный оператор становится неограниченным. Сдвиг же спектра на по- [c.602]

Действие этого постулата не ограничивается областью статики. Он приложим также и к динамике, где принцип виртуальных перемещений соответствующим образом обобщается принципом Даламбера. Так как все основные вариационные принципы механики — принципы Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона — являются всего лишь другими математическими формулировками принципа Даламбера, постулат А есть в сущности единственный постулат аналитической механики и поэтому играет фундаментальную роль Принцип виртуальных перемещений приобретает особое значение в важном частном случае, когда приложенная сила Fi моногенная, т. е. когда она получается из одной скалярной функции — силовой. В этом случае виртуальная работа равна вариации силовой функции LJ qi,. .., ( ). Так как силовая функция равна потенциальной энергии, взятой с обратным знаком, то можно сказать, что состояние равновесия механической системы характеризуется стационарностью потенциальной энергии, т. е. условием [c.100]

Обратно, если для некоторого движения М справедливо вариационное условие (24) по отношению ко всем асинхронно-варьированным изоэнергетическим движениям, то достаточно провести в обратном [c.409]

Наконец, в 7 вместо скоростей вводятся количества движения, что дает новую форму вариационной задачи, а также, наряду с уже известными измененными представлениями сил, дает другой закон взаимности прямого и обратного движений. [c.435]

Точное решение задачи об определении оптимальной формы тела, при обтекании которого потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью полный тепловой поток будет минимальным, связано как с вычислительными, так и с принципиальными трудностями. Поэтому в настоящее время широко используется обратный метод, основанный на сравнении тепловых потоков для разных тел заданной формы [1, 2]. Результаты таких расчетов не могут заменить решение вариационной задачи. Поэтому представляется целесообразным рассмотреть вариационную задачу об определении формы тела с минимальным тепловым потоком, используя приближенную формулу Ньютона для нахождения газодинамических параметров на границе пограничного слоя. Такой подход использовался для нахождения формы тела минимального сопротивления в идеальном газе [3-5] и с учетом силы трения [6], а также для определения формы тонкого плоского профиля с минимальным тепловым потоком при заданных аэродинамических характеристиках [7]. [c.520]

Это уравнение, которое называют вариационным уравнением Лагранжа, в отличие от уравнения в вариациях (1.29) справедливо только для консервативных систем. Из уравнения Лагранжа следует, что в положении равновесия полная потенциальная энергия консервативной системы имеет стационарное значение. Справедливо и обратное утверждение если полная потенциальная энергия имеет стационарное значение, то система находится в положении равновесия. [c.24]

Далее рассмотрим, какого рода уравнения могут быть получены из принципа виртуальной работы, если принять, что этот вариационный принцип справедлив для произвольного допустимого перемещения. Проводя все рассуждения в обратном порядке, можно получить (1.28) из уравнения (1.32). Поскольку бы, 6v, 6w произвольны в V и на Sj, требуется, чтобы все коэффициенты в (1.28) были равны нулю. Отсюда мы получаем уравнения (1.26) и (1.27). Таким образом, принцип виртуальной работы эквивалентен уравнениям равновесия в V н граничным условиям в напряжениях на Si- Стоит отметить, что принцип виртуальной работы выполняется безотносительно к конкретному выбору зависимостей напряжений от деформаций. [c.31]

До еих пор мы выводили принцип виртуальной работы и связанные е иим вариационные принципы для различных упругих задач. В последующих пяти главах эти принципы будут применяться к различным задачам стержней, балок, пластин, оболочек и дискретным конструкциям. В этих приложениях материал тела будем считать изотропным и однородным и будем пользоваться теорией малых перемещений, если обратное не оговорено. Далее в этих задачах мы будем использовать обычные обозначения. В гл. 7—9 вместо будут применяться обозначения и, [c.154]

Вьшолняя преобразования в обратном порядке, приходим ко второй форме записи вариационного уравнения Лагранжа. [c.112]

Проводя проделанные выше преобразования в обратном порядке, получаем вторую форму записи вариационного уравнения Лагранжа [c.176]

Справедлива и обратное утверждение из вариационного принципа виртуальных скоростей вида [c.57]

Здесь и и 5 — локальные координаты, которые обозначают направления соответственно по нормали и касательной к границе L. Отметим, что Т1 и Т2 — значения касательного напряжения Тлг соответственно на нижней и верхней поверхностях слоя. Никаких ограничений на характер граничных напряжений и/или перемещений на остальной части границы слоистого композита не накладывается. Подстановка (44), (45), (47)—(49) и уравнения, обратного (I), в вариационное уравнение (43) приводит к соотнощению [c.45]

Сведем решение задачи теплопроводности шпинделя к решению обратной вариационной задачи, т. е. к поиску экстремали по функционалу Ф. Для этого будем считать уравнение (105) тождественным уравнению (102) [c.140]

Рассматривается задача синтеза системы активного силового управления для нового класса усовершенствованных гидроопор на при-мере простейшей линейной модели с одной степенью свободы. При интегральном квадратичном ограничении на интенсивность искомого управляющего воздействия решение получено на основе процедуры, включающей применение метода гармонической линеаризации и вариационных методов. В качестве критерия оптимальности используется минимум величины коэффициента передачи усилия в установившемся периодическом режиме. Отыскиваются различные законы управления с обратной связью. Решаются задачи синтеза цепей обратной связи. [c.108]

Исследования, проведенные в последние десятилетия в теории потенциала, теории нелинейных колебаний, теории волновых процессов, теории систем с обратными связями, кибернетике, бионике и различных областях применения электронных счетных машин, неоспоримо выявляют более глубокое значение общих закономерностей механического движения для современного технического прогресса. Стоит указать, что вариационные принципы механики и методология отыскания универсальных динамических характеристик (мер) сложных процессов являются в наши дни исходными методологическими положениями в ряде важнейших разделов современной теоретической физики и их познавательное (эвристическое) значение уже переросло формальные границы простейшей формы движения. Мы с удовлетворением наблюдаем, как надлежащая оценка механических форм движения в физиологических процессах живого организма приводит к нетривиальным открытиям недоступным догматическим глашатаям невероятной сложности (а по существу — непознаваемости) специфики живого . Глубоко был прав гениальный М. В. Ломоносов, который советовал при изучении явлений природы широко использовать арсенал методов и средств, добытых всей наукой. Он писал, например, что химик обязан выспрашивать у осторожной и догадливой геометрии, советоваться с точною и замысловатою механикою, выведывать через проницательную оптику . [c.14]

Чтобы все-таки записать формулу (6.15) в стандартном виде, поступим следующим образом. Введем в рассмотрение понятие вариационного интеграла как математической операции, обратной к операции варьирования функционала (впервые вариационный интеграл был определен в работах автора [330, 337]). [c.180]

Затем при помогци аналога вариационной процедуры Эйлера-Лагранжа найдены необходимые условия оптимальности в виде дифференциальных уравнений для локальных участков оптимального движения цилиндра. Эти уравнения позволили обнаружить все экстремальные решения, два из которых сделали возможным сконструировать оптимальные решения. Одно из них соответствует движению цилиндра с постоянной скоростью и с сохранением вертикальной ориентации. Другое (третье) решение соответствует движению цилиндра в течение некоторого времени А в так называемом режиме скольжения с нулевым углом атаки и с постоянной по величине скоростью центра масс цилиндра и последующему движению с постоянной скоростью и с сохранением достигнутой ориентации до момента i — А tk — заданное время перемещения). С момента — А процесс развертывается в обратном порядке (в режиме скольжения) и в конечный момент цилиндр восстанавливает вертикальную ориентацию. [c.126]

До сих пор, мы изучали частные случаи движения механических систем, писали дифференциальные уравнения движения и на основании их решения получали траекторию движения. В этой главе мы рассмотрим обратную задачу, которая решается в вариационном исчислении. [c.211]

Включение в настоящий обзор раздела о вариационных методах может показаться неожиданным, однако эти методы находят в. теории оболочек со своими сложными соотношениями такое широкое и разнообразное применение, что следует подчеркнуть их значимость. Общая теория оболочек или же ее упрощенные варианты для решения каких-либо конкретных задач, конечно, могут быть построены без использования аппарата вариационных методов, но нужно привлечь внимание и к обратной точке зрения раз некоторая совокупность расчетных соотношений построена, следует проверить, обладает ли данная модель упругой системы потенциалом, допускающим вариационную формулировку рассматриваемой задачи. [c.234]

Так как по закону Гука напряжения можно выразить через деформации (а следовательно, через перемещения и, V, а/) и, обратно, деформации можно выразить через напряжения, то в теории упругости одну и ту же задачу можно решать либо в перемещениях, либо в напряжениях, рассматривая соответствующую систему дифференциальных уравнений. Этим двум подходам отвечают и различные вариационные принципы (принцип минимума потенциальной энергии и принцип Кастильяно). Заметим, что можно исходить из смешанной системы уравнений, но это не всегда удобно. [c.26]

Но при этом следует иметь в виду еще одно обстоятельство. В случае если данный функционал обладает экстремальными свойствами, то предложенные приближенные прямые методы дадут приближенное уравнение или численные данные, определяющие искомую экстремаль. Однако остается невыясненным, будет ли этот экстремум максимум или минимум заданного функционала, так как найденная экстремаль еще ничего не говорит об этом. Во-вторых (что, пожалуй, еще важнее), вполне возможен случай, когда заданный функционал имеет первую вариацию, равную нулю (что и доставляет нам определенную экстремаль / (д )], а экстремума все-тахи не имеет. Вполне строгое с математической точки зрения обоснование и требует исследования второй вариации функционала, как требуется исследование второй (или высших) производной в дифференциальной задаче. Для реальных же случаев применения вариационных методов в задачах вариационного характера при исследовании динамических систем можно избежать этих относительно тяжелых моментов исследования. Обычно решение вопроса о том, имеет ли экстремум характер максимума или минимума, решается легко самим существом задачи, а второе условие достаточности может потребовать после нахождения экстремали дополнительных подсчетов обратного характера, т. е. вычисления значений функционала по найденному виду у (х) в интересующей нас области х, как значений практически реализуемых, и некоторых изменений параметров найденной функции. [c.244]

Таким образом каждое решение предложенной вариационной задачи приводит к некоторому решению уравнений Лагранжа. Обратное высказывание также справедливо( ), потому что выбор р , qi в любой момент f, произволен и приводит к произвольной системе значений д, , д[. [c.63]

Таким образом, даны три эквивалентные математические формулировки динамических контактных задач с односторонними ограничениями для упругих тел с трещинами. Первая свелась к начально краевой задаче (3.1) — (3.3) с односторонними ограничениями, вторая вариационная заключается в нахождении седловой точки граничного функционала (4.56) на множествах допустимых вариаций (4.55) и (4.57), третья предполагает выполнение прямого и обратного преобразования Лапласа и решение бесконечного множества систем граничных интегральных уравнений (5.81) с учетом односторонних ограничений [c.131]

Простая вариационная постановка имеется и в задаче теплопроводности (без обратного влияния деформации) [c.123]

Резюме. При аналитическом подходе существенной величиной в механике является не сила, а работа, совершаемая действующими силами на произвольном бесконечно малом перемещении. Вариационные методы дают особенно полезные результаты в случае сил, определяемых одной скалярной величиной, силовой функцией У. Такие силы можно назвать моноген-ными . Если силовая функция не зависит от времени, мы получаем класс сил, называемых консервативными , поскольку они удовлетворяют закону сохранения энергии. В распространенном случае, когда силовая функция не зависит ни от времени, ни от скоростей, эта функция, взятая с обратным знаком, может быть интерпретирована как потенциальная энергия сила при этом является градиентом потенциальной энергии, взятым с обратным знаком. Силы, не имеющие силовой функции, тоже могут быть охарактеризованы работой, совершенной на бесконечно малом перемещении, но к ним не применима общая процедура нахождения минимума, характерная для аналитической механики. [c.53]

Вряд ли все эти аксиомы можно считать всеобщими аксиомами познания , но для классической механики они безусловно имеют смысл. Это значит, что вариационные принципы механики заключают в себе — в своем содержании и математической форме — указанные аксиомы . Изучение любой области или процессов мира, в которых пространство окажется анизотропным или в которых существует квантованная (элементарная) длина и т. п., потребует изменения — обобщения вариационных принципов. Обобщение принципа причинности также приводит к дальнейшему обобщению принципа действия. Таким образом, исключается какая-либо возможность телеологической точки зрения. Впрочем, телеология должна быть отброшена уже потому, что принципы действия являются не минимальными, а вариационными принципами. Они утверждают только, что вариация интеграла равна нулю в том случае, когда зависимые переменные получают малое изменение, подчиненное некоторым граничным условиям, или, более строго, эта вариация есть величина бесконечно малая второго порядка. Когда выполняются условия минимума, вариационное условие также выполняется, но обратное не имеет места. Действительный минимул интеграла действия получается в том случае, когда взят достаточно короткий участок пути. [c.872]

Обратное утверждение справедливо не всегда, а именно, не всякое дифференциальное уравнение или систему дифференциальных уравнений можно рассматривать как уравнения Эйлера в вариационной задаче для некоторого функционала. Для того, чтобы имелась такая возможность, дифференциальные операторы, входяище в дифференциальные уравнения, должны удовлетворять определенным требованиям. Эти требования сводятся к следующему. Дифференциальные операторы А и А, входящие в различные группы уравнений (каждая из которых составлена относительно своих тензоров и функций), должны быть формально сопряженными, т. е. такими, что [c.450]

Изложенная здесь методика решения вариационной задачи обладает одним недостатком, который проявляется при знакопеременном характере степенного ряда (3.13). Если ряд (3.13) обрывается слагаемым с отрицательным коэффициентом аи, то модуль производной от обратной функции dg (u)/du, входящий в формулу преобразования плотности вероятности (3.17), прини- [c.65]

Принцип минимума дополнительной энергии был выведен в 2.2 из принципа Дополнительной виртуальной работы. Легко проверить, что принцип минимума потенциальной энергии можно вывести из принципа минимума дополнительной энергии, проводя в обратном порядке рассуждения этого и предыдущего параграфов. Эквивалентноегь этих двух подходов очевидна, так как речь идет о теории упругости при малых перемещениях. Однако особо отметим тот путь, который ведет от принципа виртуальной работы к принципу минимума потенциальной энергии и другим связанным с ним вариационным принципам, потому что этот метод имеет больше преимуществ при систематическом решении задач в механике твердого тела. [c.59]

Широко известно, что одним из первых математиков, принимавших участие в становлении МКЭ, был Курант. Он представил приближенный метод решения задачи кручения Сен-Венана с помощью принципа минимума дополнительной энергии, используя линейную аппроксимацию функции напряжений внутри каждого из совокупности треугольных элементов [1]. С другой стороны, наиболее важными и исторически первыми среди пионерских работ по МКЭ в задачах расчета конструкций считаются статьи Тёрнера, Клафа, Мартина и Топпа [2] и Аргириса и Келси [3]. После появления этих статей вариационный метод стал интенсивно использоваться в математических формулировках МКЭ. И обратно, быстрое развитие МКЭ сообщило мощный стимул к разработке вариационных методов за последнее десятилетие появились новые вариационные принципы, такие, как вариационные принципы со смягченными условиями непрерывности [4—8], принцип Геррмана для несжимаемых или почти несжимаемых материалов [9, 10] и для задач изгиба пластин [11, 12] и т. д. Цель части В состоит в том, чтобы дать краткий обзор достижений в области вариационных принципов, которые служат основой МКЭ в теории упругости и теории пластичности. С практическим использованием этих принципов при формулировке МКЭ читатель может ознакомиться по работам [5—7]. [c.340]

Можно построить математическое представление упругого поля с помощью так называемого обратного описания деформации тела, развитого в работах Маженна (G. А. Маи-gin), которые подытожены в монографии [2] (см. также обзорную статью [23]). Обратное описание деформации сплошной среды и соответствующая вариационная формулировка нелинейной теории упругости (когда действие для упругого тела представлено на основе эйлерова описания и варьированию подвергается обратное отображение = Х х , t)) неожиданно оказываются удобными для исследования сингулярного упругого поля и позволяют, в частности, с иных позиций взглянуть на энергетические соотношения нелинейной механики разрушения. Сам автор этого подхода называет обратное описание деформации описанием Пиола (G. Piola) и отмечает, что обратная вариационная формулировка в сущности совпадает с использованной Пиола еще в XIX в. [24] (затем забытой и никогда на деле не применявшейся). Ясно, что и два традиционных способа описания деформации сплошного тела (в духе Лагранжа и Эйлера), и возможность расширения понятия группы инвариантности функционала действия и обобщенного варьирования — следствия универсального принципа двойственности и полной равноправности отсчетной и актуальной конфигураций тела в состоянии его деформации, пронизывающих механику деформируемых тел как единую теорию. [c.674]

Принцип максимума и методы классического вариационного исчисления, рассмотренные выше, приспособлены прежде всего для решения задач о программном оптимальном управлении. Соответствующие дифференциальные уравнения, описывающие оптимальное движение и множители Лагранжа Я, (г), или вектор-функцию г) (0> являются уравнениями типа уравнений Эйлера — Лагранжа и Гамильтона. Они определяют управление в виде функции от времени . Во многих случаях, однако, ставится задача о синтезе оптимальной системы, работающей по принципу обратной связи, и тогда требуется, например, определение управления и в виде функции от текущих фазовых координат Хг 1) объекта. Здесь, конечно, возможен следующий естественный путь решения задачи. Для реализовавшегося в данный момент времени 1 х состояния х х х) решается вспомогательная задача о программном управлении (0[т, а (т)] (i>т), которое минимизирует тот же функционал и при тех же концевых условиях и ограничениях, какие заданы в исходной проблеме синтеза. Далее полагается, что [т, д (т)] = (т )[т, я (т)]7 и такие значения и = [т, X (т) ] при каждом = т > о используются в ходе реального процесса управления. В случае, если алгоритм вычисления ( )[г, д (т)] путем решения вспомогательных программных задач можно осуществлять значительно быстрее, чем протекание самого процесса х (т), такой путь может оказаться целесообразным, тем более, что по ходу процесса при т > 0 приходится на деле лишь корректировать величины (т)[т, а не решать в каждый момент = т заново всю программную задачу. Здесь, правда, еще остается нелегкая чисто математическая проблема, < остоящая в доказательстве того, вообще говоря, правдоподобного факта, что найденные таким путем функции [т, х (т)] при подстановке и = = [ , X ( )] в исходные уравнения (2.1) действительно разрешают проблему синтеза оптимальной системы. Это строгое обоснование того факта, что описанный переход [т, а (т) ] = (т)[т, а (т)] действительно дает оптимальный синтез, наталкивается, например, на следующую [c.202]

Равенство вероятностей прямых и обратных процессов при квантово-механическом описании внутренних степеней свободы симметризует интеграл столкновений и поэтому квантовомеханический подход удобен для обш их исследований. Однако для получения численных результатов необходимо знать все вероятности переходов (дифференциальные сечения столкновений), определение которых представляет самостоятельную сложную и далеко не решенную проблему. Поэтому фактическое вычисление коэффициентов переноса пока удается провести лишь для весьма схематизированных молекул. В тех случаях, когда время возбуждения внутренних степеней свободы много больше времени возбуждения поступательных степеней, удается выразить коэффициенты переноса для равновесного и релаксируюш,его газа с внутренними степенями свободы с приемлемой точностью через известные коэффициенты одноатомного газа (В. С. Галкин и М. Н. Коган, 1968). С другой стороны, известно, что процесс столкновений молекул при не слишком низкой температуре удовлетворительно описывается классической механикой. Но при классическом описании симметрия прямых и обратных процессов нарушается, интеграл столкновений, а с ним и все исследование суш ественно усложняются. Однако для определения коэффициентов переноса можно пойти другим путем, минуя непосредственное использование уравнения Больцмана (В. И. Власов, С. Л. Горелов и М. Н. Коган, 1968). Макроскопические связи тензора напряжений и вектора потока тепла с гидродинамическими -величинами можно получить, например, с помош,ью теории необратимых процессов или с помош ью вариационных принципов, предложенных Л. И. Седовым [c.427]

В этой главе рассматриваются итеративные методы решения обратных задач скалярной теории дифракции примешетельно к синтезу ДОЭ. Результаты, которые получаются с помощью итеративных методов, являются квазиоптимальными, так как они приводят к достижению локального минимума функционала-критерия или целевой функции. И сами итеративные методы получаются в результате решения вариационной задачи на экстремум целевой функции. В качестве такой фзшкции, как правило, используется среднеквадратичное отклонение заданной амплитуды светового поля в некоторой плоскости пространства от рассчитанной. Иногда вместо амплитуд сравниваются интенсивности, а вместо среднеквадратичного критерия выбираются критерии более высокого порядка. Итеративные методы, используемые в этой главе, можно разделить на две группы параметрические и градиентные. В параметрических алгоритмах один или два параметра, от которых зависит скорость сходимости алгоритма, остаются постоянными в течение нескольких итераций. В градиентных алгоритмах (сопряженного градиента или наискорейшего спуска) оптимальное значение шага вычисляется на каж/д,ой итерации. Кроме известных однопараметрических методов расчета ДОЭ, рассматриваются также двухпараметрические алгоритмы, полученные на основе минимизации функционала-критерия с регулярпзующим слагаемым. [c.49]

Обобщим рассмотренные методы анализа чувствительности на другие динамические параметры-функционалы. Предварительно отметим, что как прямой, так и вариационный методы анализа чувствительности справедливы при расчете коэффициентов влияния таких динамических параметров, как длительность задержек фронтов и длительность фронтов. Действительно, эти параметры определяются либо как интервал времени, когда выходной сигнал достигает некоторых заданных уровней, либо как разность интервалов времени, когда выходной сигнал достигает некоторых двух других, но опять-таки заданных уровней. При анализе чувствительности вариационным методом количество систем линейных дифференциальных уравнений, которые необходимо интегрировать в обратном времени, возрастает пропорционально количеству динамических параметров. Причем отрезки интегрирования для каждой из систем разные. Это связано с тем, что начальные условия K ti)=0 для каждого выходного параметра задаются в различные моменты времени. В то же время порядок системы линейных дифференциальных уравнений относительно чувствительности переменных состояния к изменениям управляемых параметров, которую необходимо интегрировать в прямом методе анализа, остается прежним при анализе чувствительности перечисленных параметров. В этом случае изменяется лищь отрезок интегрирования. [c.148]

В заключение приведем без доказательства следуюпхее утверждение если 5 удовлетворяет условию р(/С , Ра)<ст, то р(Ро, Ра) < а и р(5о, 5 ) <8 (а), где 8=0(а). Это утверждение гарантирует нам близость полученного решения 5 (как решение вариационной задачи для функционала р на компакте Фм) к точному решению 5о. В дальнейшем будем опускать доказательства подобных утверждений, поскольку работа в целом ориентирована на прикладные исследования и в ней отдается предпочтение неформальному изложению обратных задач. Возможно, это не самый лучший способ изложения обратных задач, но более ясный и доступный. Использованные выше математические понятия в случае необходимости уяснения их смысла можно найти в любом учебнике по функциональному анализу (предпочтение можно отдать элементарному введению в функциональный анализ [10]). [c.45]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...