Краевой задачи постановка математическая

Как уже отмечалось, нелинейные краевые задачи намного сложнее линейных. Практически никогда не удается до решения задачи доказать существование и единственность ее решения. И тут помогает представление о существовании и единственности того физического процесса, который описывает решаемое дифференциальное уравнение. Следует иметь в виду, что в процессе математической постановки задачи могут быть отброшены некоторые детали процесса, которые, на первый взгляд, кажутся несущественными, но на самом деле влияющими на свойства решения. [c.114]

При строгой постановке задач теории упругости встречаются значительные математические трудности и решение может быть доведено до расчетных формул, пригодных для технических приложений, в ограниченном числе случаев. Поэтому широкое применение находят различные приближенные методы решения краевой задачи прикладной (технической) теории упругости, которым и посвящается настоящая глава. [c.7]

Математические модели и средства решения краевых задач в настоящее время позволяют оперативно решать задачи для тел произвольной конфигурации в наиболее полной постановке стационарные и нестационарные, двухмерные и пространственные, с подвижными границами, с учетом нелинейностей I и И рода и т.д. [c.118]

На современном научном уровне в прямоугольных декартовых и общих криволинейных координатах изложены основы математической теории пластичности специальные вопросы математики, кинематика и динамика деформируемой среды, основные законы механики сплошной среды применительно к обработке металлов давлением, реологические уравнения, постановка и методы решения краевых задач теории пластичности. [c.2]

В прикладной теории пластичности на основе методов решения краевых задач, разрабатываемых в математической теории пластичности, производится постановка и решение конкретных задач обработки металлов давлением — прокатки, волочения, прессования, ковки, штамповки и др. Граница между прикладной и математической теориями пластичности является весьма условной. К прикладной теории пластичности можно отнести разработку численных методов решения краевых задач и способов их реализации с помощью ЭВМ. [c.7]

Излагаемые в данной главе метод исследования закономерностей изменения предельных нагрузок и теория расчета элементов композитных конструкций по их обобщенным характеристикам опираются в основном на представления, вытекающие из постановки и методов решения краевых задач математической физики. [c.15]

При представлении определяющих соотношений деформационной теории пластичности через скорости при нейтральном деформировании материальной частицы (предельный случай как активного нагружения, так и разгрузки) скорости компонент тензора напряжений изменяются с разрывом, что делает невозможным корректную математическую постановку краевой задачи, сформулированной относительно скоростей. [c.86]

Р-поле - реальное (действительное) поле, удовлетворяющее всем граничным условиям и замкнутой системе уравнений в математической постановке краевых задач [c.11]

Понятие о математической постановке и решении краевых задач [c.18]

Как осуществляется математическая постановка краевой задачи МСС [c.20]

Математическая постановка краевых задач [c.130]

Венана (1.2.88) или (1.2.166). Этим объясняется отсутствие последних уравнений в приведенных математических постановках краевых задач. [c.136]

Если в математической постановке краевой задачи все параметры движения сплошной среды записаны через статические параметры, то это означает, что сформулирована статическая постановка краевой задачи. [c.140]

В чем суть математической постановки краевых задач и какова роль в ней определяющих уравнений [c.177]

Итак, создание математических моделей процессов пластической деформации металлов и сплавов, включение их в соответствующие пакеты прикладных программ предусматривают глубокое изучение и практическое использование математического аппарата линейной алгебры, теории отображений, проекционно-сеточных методов, теории аппроксимаций. Необходимо также уметь записывать основные зависимости механики деформируемого твердого тела, в матричной форме, наиболее удобной для постановки и решения краевых задач с применением ЭВМ. [c.14]

Как будет показано в гл. IV, для решения проблемы прочности хрупкого тела нужно уметь находить решение соответствующей математической задачи теории упругости для тела с разрезами нулевой толщины. Эти задачи относятся к так называемым сингулярным краевым задачам, т. е. к граничным задачам с особыми точками. Такими точками являются, например, бесконечно удаленная точка, угловая точка, коническая точка, точка разрыва граничных условии, точка приложения сосредоточенной силы и т. д. Появление таких точек обычно связано с некоторой идеализацией исходной физической задачи. При этом в линейных задачах решение (или его производные, начиная с некоторого порядка) стремится к бесконечности при приближении к особой точке. Поскольку граничная задача в особой точке не определена, встает вопрос о формулировке физически осмысленного дополнительного условия в такой точке, т. е. о постановке корректной сингулярной краевой задачи. [c.51]

В монографии представлены результаты теоретических и численных исследований, выполненных авторами в области механики и вычислительной математики слоистых тонкостенных анизотропных оболочек, а также неклассическая математическая модель нелинейного деформирования тонкостенных слоистых упругих композитных пластин и оболочек, отражающая специфику их механического поведения в широкой области изменения нагрузок, геометрических и механических параметров, структур армирования. Предложен и реализован эффективный метод численного решения краевых задач неклассической теории многослойных оболочек, основанный на идеях инвариантного погружения. Получены решения задач начального разрушения, устойчивости, свободных колебаний слоистых конструкций распространенных форм — прямоугольных и круговых пластин, цилиндрических панелей, цилиндрических и конических оболочек. Дана оценка влияния на характеристики напряженно-деформированного состояния и критические параметры устойчивости таких факторов, как поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали, моментность основного равновесного состояния, докритические деформации. Проведены систематические сравнения полученных решений с решениями, найденными при использовании некоторых других известных в литературе неклассических моделей, в том числе и в трехмерной постановке. [c.2]

Анализ математической постановки линейных задач позволил доказать некоторые общие теоремы и установить ряд точных соотношений. В э гом случае нет необходимости рассматривать каждую новую зависимость кинематических параметров от времени и решать для нее все краевые задачи. Можно ограничиться решением задач для ступенчатых зависимостей от времени, а переход к любым другим зависимостям производить при помощи интегральных представлений [2.6]. [c.57]

Оглавление дает достаточное представление о структуре- и содержании учебника. Для многих сплошных сред и тел с простыми и сложными физическими свойствами изучающий узнает полные замкнутые системы разрешающих уравнений, типичные граничные условия и условия на волновых фронтах, постановки краевых задач, простые методы их анализа на основе теории размерностей и подобия и получит доступ к свободной проработке и активному использованию любого из перечисленных выше разделов МСС но что, пожалуй, более важно — изучающий научится методам построения фундаментальных математических моделей механики сплошных сред, познакомится с методом построения полных систем уравнений МСС, особенно уравнений состояния среды, т. е. в определенной мере научится переводить на язык математики и ЭВМ интересующие естествознание и практику новые явления природы, процессы в новых материалах и средах с заранее неизвестными физико-механическими свойствами. Поэтому автор придает значение гл. III и V, в которых разъясняются особенности взаимодействия термомеханических и электромаг- [c.4]

Сделаем в заключение одно замечание. Нелинейная теория волн представляет собой, вообще говоря, математическую дисциплину, которая изучает некоторый конкретный класс краевых задач. Однако эти задачи возникли в физике, и поэтому они особенно интересны. Они очень просты в своей постановке и легко доступны математику, не занимающемуся специальными вопросами гидродинамики. Наконец, такого рода задачи существенно нелинейны и доставляют удачный объект отработки соответствующих методов анализа. [c.62]

Движение грунтовых вод не отличается принципиально от других движений несжимаемой жидкости в пористых средах. Выделение в обзоре раздела, посвященного грунтовым водам, объясняется отчасти традицией, а также определенной спецификой краевых задач безнапорного движения грунтовых вод. Основные же гидрогеологические задачи напорного притока к скважинам и неустановившегося движения грунтовых вод общи в равной мере, в их математической постановке, и подземной гидродинамике нефти и газа. [c.600]

На основании изложенной выше полной постановки задачи сверхзвукового обтекания затупленных тел легко понять, что здесь исследователи имеют дело с одной из самых сложных задач математической физики. Это краевая задача для нелинейных уравнений в частных производных. Дополнительная трудность состоит в том, что часть границы, а именно головная часть ударной волны заранее не известна и должна быть определена в процессе решения. Кроме того, задача по существу является трансзвуковой, т.е. область течения содержит как дозвуковое течение, так и сверхзвуковой поток, в которых закономерности распространения возмущений, формирующих течение, существенно различны. В современной математике не существует точных аналитических методов решения таких задач. Действительно, основной прогресс в решении этой задачи был достигнут с использованием численных методов. Бурное развитие этого научного направления с применением быстро прогрессирующей вычислительной техники относится ко второй половине XX века. [c.173]

Основное уравнение (1-11) относится к бесконечно малому элементу температурного поля и, взятое само по себе, ничего не говорит о развитии теплопроводности во всем пространстве, охваченном процессом, и за все время, в течение которого он протекает. Для получения полной картины, отражающей качественные и количественные признаки конкретной задачи, нужно математически поставить эту задачу, после чего найти решение основного уравнения. При постановке задачи необходимо фиксировать определенную геометрическую форму теплопроводящего тела, его физические свойства (коэффициенты тепло- и температуропроводности) и, кроме того, задать так называемые краевые условия. В состав краевых условий входят начальное распределение температуры (временное краевое условие) и условия на границах (пространственные краевые условия). Перечисленные условия в совокупности определяют одно единственное явление и в этом смысле могут быть названы условиями единственности, а задача, решаемая с их помощью, краевой задачей. [c.23]

Постановка краевой задачи. Своеобразие обычных краевых задач теории упругости для тел с математическими разрезами состоит в том, что на контуре разреза оказывается необходимым задавать дополнительное граничное условие (условие на ребре). Если же последнего условия не требовать, то число решений, удовлетворяюш,их всем другим граничным условиям, оказывается бесконечным. [c.261]

При воздействии внешних сил, температурного расширения и др. в деформируемом твердом теле возникает напряженно-деформированное состояние (НДС). Кроме напряжений и деформаций оно характеризуется такими физическими параметрами, как температура, интенсивность электромагнитного поля, доза радиоактивного облучения и т. д. Со временем эти параметры могут изменяться. В связи с этим вводится понятие процесса нагружения. Напряженно-деформированное состояние в точках тела в конечном счете определяется не только заданными значениями параметров внешнего воздействия, но и историей процесса нагружения. В главе описываются законы связи между напряжениями, деформациями и другими параметрами, характеризующими механическое состояние тела с учетом истории процесса его нагружения в случае произвольного неупругого поведения. Дается математическая постановка краевых задач МДТТ. [c.78]

Книга содержит нетрадиционное изложение курса теории упругости, базирующегося на специальных разделах теории дифференциальных уравнений в частных производных и математического анализа. В первой главе в достаточно компактной форме дается конспективное изложение тех математических дисциплин, которые уже с успехом используются и могут быть использованы в дальпейи1ем при решении на современном уровне различных задач теории упругости. Две следующие главы посвящены концентрированному, по вместе с тем достаточно полному изложению собственно предмета теории упругости, включая такие сравнительно новые разделы, как. злектромагнитоупругость и механика хрупкого разрушения, постановке краевых задач, а также изложению некоторых приемов сведения краевых задач теории упругости к классическим задачам математической физики, В остальных главах книги (главы VI—VIII) конкретные математические методы, указанные в заглавии, применяются к решению определенных классов задач теории упругости. В ряде случаев эффективность того или иного метода демонстрируется на примерах таких задач, решение которых было получено только в последнее время. Большое внимание уделяется как вопросам строгого математического обоснования тех или иных алгоритмов, так и приемам их численной реализации. [c.2]

Система дифференциальных уравнений (14.3) — (14.6) совместно с условиями однозначности (14.7) — (14.9) представляет собой формулировку краевой задачи конвективного теплообмена. Следует отметить, что вследствие больщих математических трудностей общее решение системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена получить не удается. Поэтому с целью поиска возможных путей решения поставленной задачи проанализируем структуру предполагаемой функциональной зависимости для температурного поля. На основе постановки краевой задачи можно утверждать, что поле скорости и поле давления есть результат решения уравнений гидродинамики — уравнений (14.4) — (14.6), ибо рассматривается несжимаемая жидкость, физические свойства которой не зависят от температуры. Например, значение вектора скорости в какой-либо точке рассматриваемой области определяется координатами этой точки, коэффициентами дифференциальных уравнений и параметрами, входящими в граничные условия [c.319]

Анализ корректной разрешимости контактных задач при использовании различных теорий оболочек проведен в [13, 84, 214]. Применительно к осесимметричной контактной задаче для круговых цилиндрических оболочек математические аспекты использования моделей Кирхгофа — Лява, Тимошенко и учета трансверсального обжатия, выяснение условий кор->ектности задач, способы-их регуляризации рассмотрены в 130]. Для строгого изучения этих вопросов применены теория обобш,енных функций и методы решения некорректных задач. Приведены сведения из теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэ1 )фици-ентами и основные понятия теории обобш,енных функций. С помош,ью фундаментальной системы решений дифференциального оператора построены функции Грина и функции влияния для оболочек Кирхгофа — Лява и Тимошенко. Даны постановки задач о контакте оболочек между собой и с осесимметричными жесткими штампами. Методом сопряжения построены обобщенные решения, поскольку классическое существует только для моделей, учитывающих трансверсальное обжатие. Найдены обобщенные решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода, рассмотрены методы их аппроксимации классическими (методы регуляризации). [c.11]

Совокупность начальных и граничных условий назьшается краевыми условиями. Определение параметров движения материальных объектов, соответствующих на любой стадии движения t>to заданным краевьш условиям, является сутью краевой задачи МСС. Задание краевых условий является лишь необходимьш, но не достаточным, этапом математической постановки краевой задачи, без которой немыслимо решение самой задачи. [c.19]

Математическая постановка краевых задач МСС состоит в записи замкнутой относительно неизвестных параметров движения сплошной среды системы уравнений и краевых условий для этих параметров, обусловливающих это движение. Результатом реализащш математической постановки является решение краевой задачи МСС, удовлетворяющее замкнутой системе уравнений и краевым условиям. [c.19]

В соответствии с определением в п. 1.1.4 математическая постановка краевых задач МСС включает запись замкнутого множества уравнений и краевых условий. Для вьшолношя первой части постановки задачи необходимо сначала установить перечень независимых параметров, которые определяют НДС деформируемого тела. В эйлеровых координатах такими параметрами являются лагранжевы координаты [c.130]

Приведенная выше математическая постановка краевых задач является общей, если учесть, что, как отмечалось ранее, к основному замкнутому множеству уравнший с необходимьши краевыми условиями всегда, когда требуется, можно добавить уравнения с соотвегст-вующими краевыми условиями без нарушения замкнутости получаемого при этом множества уравнений. [c.135]

Академик Ю. Н. Работнов отмечает, что хотя нельзя всю механику разрушения сводить только к теории трещин, однако изучение тех условий, при которых в среде распространяется трещина или система трещин, несомненно, является чрезвычайно важной и интересной стороной проблемы разрушения. В математической теории разрушения можно выделить два основных направления. Одно направление состоит в изучении различных непрерывных распределений поврежденной среды. Это изучение осуществляется посредством введения функций, определяющих степень повреж-денности. Указанные функции добавляются к традиционным характеристикам сплошной среды. Другое научное направление, к которому и относится настоящее псследование, заключается в изучении напряженно-деформированного состояния среды в окрестности изолированных особых точек. Следует, однако, отметить, что строгое решение краевых задач при наличии в области нерегулярных точек связано с определенными математическими трудностями. В линейной постановке существует решение модельной задачи [c.5]

Изучение методов математического моделирования процессов обработки металлов давлением предусматривает приобретение комплекса знаний и практических навыков в таких разделах прикладной математики и механики, как линейная алгебра, теория отображений, теория аппроксимаций, термодинамика и механика деформируемого твердого тела, обладающего сложными реологическими свойствами. Этот материал включен в лекционный цикл, читаемый проф. Г. Я. Гуном в Московском институте стали и сплавов с 1965 г. В указанный цикл входят лекции по курсам Дополнительные главы высшей математики , Механика сплошных сред , Теория обработки металлов давлением . К основной особенности этих лекций следует отнести последовательное и достаточно строгое изложение механикоматематических основ специальности, сочетание корректных методов постановки и решения на ЭВМ краевых задач пластического течения с инженерным подходом к указанным задачам. , [c.5]

Одной из ключевых и принципиальных проблем динамики систем с движущимися границами и нагрузками была корректная математическая постановка краевых задач в частных производных. Еще со времен С.П. Тимошенко движущуюся нагрузку заменяли некоторой эквивалентной сосредоточенной силой. Однако такой подход был некорректен, и при больших отно сительных скоростях движения нагрузок приводил к неправильным выводам. В результате многолетних поисков была разработана универсальная процедура постановки с амосогласованных задач динамики упругих систем с движущимися по ним объектами на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Возникающие при этом вариационные задачи оказались неклассическими, что потребовало проведения дополнительных разработок по вариационному исчислению. Новыми оказались и получаемые таким путем краевые задачи математической физики. Их принципиальное отличие от классических задач состоит в наличии дополнительного существенно нелинейного краевого условия, описывающего взаимовлияние движущегося объекта и колебаний упругой направляющей. Физический смысл последнего условия состоит в том, что при взаимодействии распределенной системы с движущимся со средоточенным объектом возникают силы вибрационного давления. На существование таких сил впервые обратили внимание еще Рэлей (1902 г.) и Е.Л.Николаи (1912-1925 гг.), изучавшие колебания струны с движущимся вдоль нее кольцом. Предложенный подход позволил по-новому взглянуть на проблемы динамики упругих систем, несущих подвижные нагрузки, и вскрыть новые, ранее не учитываемые явления. [c.9]

Научной базой для расчета композитных пьезоэлементов является теория электромагнитоупругости структурно неоднородных сред, одна из центральных задач которой — построение адекватных математических моделей и разработка методов решения связанных краевых задач электро-и магнитоупругости композитов с учетом связности электрических, магнитных и деформационных полей, неоднородности этих полей, анизотропии и особенностей взаимодействия элементов структуры. Нерегулярный характер реальных структур пьезокомпозитов приводит к необходимости решения этой задачи в вероятностной постановке. Сложность решения краевых задач для микронеоднородных областей со случайными структу- [c.4]

Если взаимодействие на основной части тела не является слабым, то градиент давления, который индуцируется при обтекании внешним потоком эффективного тела, образованного толш,иной вытеснения пограничного слоя, влияет на течение в пограничном слое уже в первом приближении. Таким образом, распределение давления на внешней границе пограничного слоя нельзя считать заданным и его необходимо определять при совместном интегрировании уравнений для невязкого гиперзвукового потока и пограничного слоя. При этом математическая постановка краевой задачи на всей длине тела аналогична ее постановке в локальных областях течений со свободным взаимодействием для режима умеренных сверхзвуковых скоростей [18]. Поэтому можно было ожидать появление эффектов передачи возмуш ений вверх по потоку на всей длине тела, т. е. зависимости решения от краевых условий, заданных вниз по потоку. [c.258]

Известно, что решения уравнений Эйлера обладают свойством обратимости. Смена направления скорости на противополонгное (вообще говоря, и знака времени, по здесь рассматриваются стационарные течения) не выводит нас из класса решений. Однако граничные условия в случае вихревых течений уже не обладают такой симметрией. Для однозначной разрешимости обычно па участках втекания требуется дополнительно к нормальной компоненте скорости задать завихренность [147] или касательпые компоненты скорости [63]. Для обращения движения в такой постановке ужо необходимо ие только изменить знак скорости, но и переформулировать краевую задачу. С формально математической точки зрения дополнительные граничные условия могут быть поставлены па участках как втекания, так и вытекания. Предпочтение первых основывается па соображениях физического характера и является по сути дополнительным постулатом в рамках теории идеальной жидкости. Приведенный пример показывает, что этот постулат может рассматриваться как следствие предельного перехода в течении вязкой жидкости. Хотя в пределе вязкость равна пулю ее воздействие проявляется в раз,личии краевых условий на участках втекания и вытекания. [c.116]

Ряд исследований был посвящен так называемой обратной задаче о построении профиля по заданному теоретическому распределению скоростей на его поверхности. Исходные предпосылки для решения обратной задачи были сформулированы немецким ученым В. Манглером. При решении обратной задачи используется связь между плоскостью годографа скорости и физической плоскостью течения. Трудности широкого практического применения обратной задачи связаны с тем, что произвольно заданному распределению скоростей не всегда соответствует контур, имеющий реальный смысл. Необходимо, во-первых, выполнить условие замкнутости контура и, во-вторых, избежать такого распределения скоростей, при котором получается самопересекающийся контур. В работе Л. А. Симонова (1947) приводится решение обратной задачи для профиля, близкого к данному. В ней задается деформация известной эпюры скоростей. теоретического профиля и находится соответствующее изменение контура. Формулы, приведенные в этой работе, могут быть использованы не только для решения обратной, но и для решения прямой задачи. В работе В. М. Шурыгина (1948) при произвольном предварительном задании распределения давления на поверхности искомого профиля предлагается приближенный прием коррекции этого распределения с целью устранения упомянутого выше самопересечения. Подробное рассмотрение обратных краевых задач для стационарных и нестационарных течений несжимаемой и сжимаемой жидкости, а также для других задач математической физики содержится в работе Г. Г. Тумашева и М. Т. Нужина (1955). (Первые публикации Тумашева по данному вопросу относятся к 1946 г.) Наряду с общей математической постановкой ряда обратных краевых задач в этой работе обсуждаются вопросы корректности и единственности их решения, формулируются условия, которые нужно наложить на заданное распределение скоростей для получения замкнутого контура, сопоставляются способы задания распределения скоростей по дуге искомого контура и по хордовой координате. [c.87]

Поэтому при построении феноменологической теории ползучести для стареюш,их материалов (в частности бетона) очень важно, чтобы исходные уравнения, достаточно правильно отражая основные свойства явлений ползучести этих материалов в наиболее важных случаях их нагружения, в то же время в конкретных приложениях приводили к постановке определенных краевых задач математической физики, допускаюш,их эффективное решение. [c.170]

Для полной математической постановки конкретных краевых задач к уравнению (XXIV.7а) должны быть присоединены необходимые граничные условия. Однако в случае пространственного движения жидкости соответствующие математические задачи обычно очень сложны. [c.468]

Задачу отыскания решения уравнения (18), удовлетворяющего уравнению (20), называют краевой задачей для уравнения (18) при условиях уравнения (20). Известно, что не при всяком краевая задача для уравнения (18) при условиях уравнения (20) имеет решение. Однако доказано, что при единственном условии а = О, что соблюдается во вЬех случаях математической постановки реальных задач теплопроводности, существует бесконечное множество значений для которых задача допускает решение. Каждое значение р, для которого краевая задача допускает решение, отличное от 0 =0, называют собственным значением, а соответствующее этому р , решение Хь — собственной функцией. Каждому собственному значению р отвечает лишь одна собственная функция (с точностью [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...