Вариационная задача решение

Понятие о прямых методах решения вариационной задачи. Решение вариационной задачи о минимуме функционала может быть выполнено не только классическим путем, описанным выше, согласно которому она сводится к краевой задаче для некоторого дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, но и так называемым прямым методом. Последний состоит в представлении искомой функции (экстремали), минимизирующей функционал, в виде ряда [c.449]

Иначе дело обстоит с решением вариационных задач газовой динамики и с точными решениями уравнений Навье—Стокса. Эти результаты своеобразно и тесно переплетены с численными и экспериментальными исследованиями. Решение краевых задач при оптимизации формы тел в сверхзвуковом потоке газа первоначально проводилось численно, итерационным путем. Обращение в нуль одной из рассчитываемых функций подсказало путь аналитического решения и открыло путь к исследованию необходимых условий минимума и к получению новых решений. При использовании этих результатов для практики в потоках внутри сопел рассчитывался пограничный слой, а результирующая сила тяги была проверена на специальной опытной установке. Расхождение между расчетной силой тяги и ее экспериментальной величиной не превысило 0,1%. [c.5]

Рассматриваемые здесь вариационные задачи заключаются в определении формы тел, обладающих минимальным волновым сопротивлением в плоскопараллельном или осесимметричном сверхзвуковом потоке газа, и контуров сопел, реализующих максимальную силу тяги при некоторых ограничениях. Силы, действующие на тела при течениях невязкого газа, определяются давлением на стенки. Величина давления находится из рещения граничных задач для нелинейных уравнений газовой динамики. Такие задачи в настоящее время решаются численно. Нахождение решения вариационных задач со связями в виде уравнений с частными производными приводит к сложным численным процессам. О таком прямом подходе к оптимизации формы тел будет сказано в послесловии к этой главе. Здесь будет рассмотрен подход, который в плоскопараллельном и осесимметричном случаях допускает точную одномерную постановку ряда вариационных задач и их простое решение. [c.45]

В большинстве случаев вариационные задачи механики оказываются вырожденными. Это приводит к тому, что их решение частично или полностью совпадает с границами области допустимых функций. Метод решения таких задач был разработан и опубликован в ряде статей Охоцимским. Первой из них была работа [2]. [c.45]

Именно такой подход будет использован здесь для решения вариационных задач газовой динамики в точной постановке. [c.65]

Для решения вариационной задачи 1 воспользуемся методом множителей Лагранжа. Составим сумму [c.71]

Полученное решение представляет, с одной стороны, осесимметричное течение, в котором подъемная сила ( обязательно равна нулю, с другой стороны — плоское течение, в котором подъемная сила может быть задана. Таким образом, здесь нельзя говорить о самой общей вариационной задаче. В связи с этим рассмотрим различные конкретные случаи. Порядок расчета при Лз(1 — i/) = 0. Этот случай представляет либо плоское течение, в котором величина подъемной силы не задается, либо осесимметричное течение. [c.80]

Вариационная задача, связанная с функционалом (3.1), снова является вырожденной. Попытка отыскания двустороннего экстремума опять приводит к неразрешимости задачи. Поэтому решение будем отыскивать (рис. 3.14) в виде аналогичном рассмотренному в 3.2.4. Функционал Г перепишем в виде [c.89]

До сих пор рассматривались вариационные задачи с независимой переменной у. Введем в качестве независимой переменной гр, сформулируем вариационную задачу, найдем необходимые условия экстремума, а затем сравним оба вида решений. [c.95]

Из (3.49) следует, что только неравенство б<р < 0, противоречащее условию (3.32), ведет к уменьшению сопротивления х- Таким образом, как и в 3.3.2, заключаем, что решение задач 1 и 3 является одновременно решением задач 2 и 4, если экстремаль лежит в области (3.20) или (3.48). Сопоставление решений. Итак, найдены необходимые условия экстремума вариационных задач в двух вариантах. В одном случае независимой переменной является у, в другом — величина i>. Обе формы решения обладают своими преимуществами и недостатками. [c.101]

Исследование областей, в которых реализуются те или иные решения, удобнее всего производить в плоскости а, в. Ta oe исследование связано с трансцендентными системами уравнений, например, с системой (4.23)-(4.25) или (3.57), (3.58), (3.44), (3.45) и с решениями краевых задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений, например, (1.20), (2.40)-(2,43). Анализ областей существования различных решений в общем виде здесь не представляется возможным. Некоторые необходимые результаты могут быть получены при помощи вычислений. Ряд заключений может быть получен на основании уже имеющихся сведений о решениях вариационных задач. [c.124]

Может оказаться, что при некоторых исходных данных вариационная задача имеет два решения, например, разрывное безударное и разрывное решение с ударными волнами, Предпочтение, конечно, следует отдать тому из этих двух относительных минимумов, который дает меньшую величину волнового сопротивления. [c.127]

Основная разница между решениями вариационных задач для внешних и внутренних течений заключается в поведении экстремалей на [c.137]

Из сказанного видно, что при схеме течения, изображенной на рис. 3.41, функция а(ф) выражается через (р ф) независимо от полного решения задачи 6, что сокращает количество свободных функций на единицу. Видоизменение задачи б может быть произведено добавлением уравнений (3.37)-(3.39), (3.43) в качестве дополнительных связей. Такое преобразование является правомерным в силу независимости определения связи между функциями а ф) и ф ф) от условий задачи 6. Подчеркнем, что это преобразование не относится к инволюционным преобразованиям, правомерность которых для вырожденных вариационных задач в настоящее время не изучена. [c.151]

Итак, установлено, что количество свободных функций в задаче 6 может быть уменьшено на единицу. Самого преобразования вариационной задачи производить не будем, а упомянутые связи получим при ее решении. [c.152]

Задача оптимального проектирования, сформулированная выше, относится к наиболее общим и сложным типам вариационных задач, которые рассматриваются в теории оптимальных процессов [56]. Это обусловлено тем, что часть аргументов целевого функционала зависит от времени, а другая часть неизменна во времени. Обычно для решения подобных задач предлагается исходную формулировку преобразовать к формулировке чистых вариационных задач, у которых все аргументы являются функциями времени. Для этого необходимо векторы Z и К рассматривать в качестве новых векторов-функций времени, производные которых по времени тождественно равны нулю. Это увеличивает размерность и объем задачи и создает дополнительные трудности для применения вариационных методов решения. [c.72]

Задача Б представлена в форме общих задач вариационного исчисления. В зависимости от вида функционала Яо и компонентов вектор-функционала Н задачи вариационного исчисления имеют различные формы и различные методы их решения [60]. Выбор той или иной формы задачи во всех случаях обусловлен удобством и эффективностью решения. Методы решения вариационных задач делятся на две большие группы аналитические и прямые (численные). [c.76]

Анализ различных аналитических методов решения вариационных задач показывает, что применительно к задачам проектирования ЭМП следует использовать наиболее усложненные методы в виде принципов максимума и динамического программирования. [c.76]

Из теоремы II. 1 приложения II следует существование и единственность решения задачи (2.463) — (2.464) в Ю Q,), из теоремы И.2 —ее эквивалентность задаче минимизации функционала (2.461) на V = /7 (Q), из теоремы 11.3 —задаче решения вариационного уравнения (2.462) на Н 0.). [c.118]

Вариационный метод решения краевых задач физически нелинейной теории упругости [c.272]

Таким образом, вариационная задача свелась к нахождению экстремальных точек функции многих переменных, т. е. к решению системы уравнений [c.200]

При этом имеем дело уже не с функционалом, а с функцией и + 1 переменных, в качестве которых рассматриваются ординаты точек о, И ,. . ., Таким образом удается свести исходную вариационную задачу к известной задаче поиска экстремума функции л + 1 переменных, методы решения которой были рассмотрены в 5.2. [c.223]

Решение. Уравнение (1) является решением вариационной задачи для функционала [c.268]

Полученное из принципа минимума потенциальной энергии условие Ji = U—2А = т п является очень эффективным для приближенных решений задач статики стержней. Дифференциальные уравнения, получающиеся при исследовании вариационных задач (например, уравнение равновесия стержня), интегрируются в конечном виде лишь в частных случаях. Поэтому возникает необходимость в разработке методов приближенного решения вариационных задач с использованием исходных функционалов [например, (4.217)], не переходя к дифференциальным уравнениям. Такие методы решения вариационных задач принято называть прямыми методами. [c.180]

Два отмеченных принципа являются широко используемой базой для построения вариационных методов решения задач теории упругости. При этом возможная схема построения решения заключается в задании либо перемещений в исследуемой области с точностью до некоторого числа параметров, либо напряжений. На основе приведенных выше выражений можно [c.117]

Краткие сведения некоторых основных понятий вариационного исчисления приведены с целью напомнить, что решение вариационной задачи эквивалентно решению граничной задачи д.ля дифференциального уравнения, которое является уравнением Эйлера или уравнением Эйлера—Остроградского для данного функционала. [c.97]

Обычно дифференциальные уравнения вариационных задач интегрируются в конечном виде лишь р исключительных случаях. Поэтому возникает необходимость решения вариационных задач непосредственными или прямыми методами, т. е. без решения соответствующих дифференциальных уравнений. [c.97]

Вариационная задача двойлвеиная 282 Вариационное исчисление 267 Вариационной задачи решение прямое 281 [c.311]

При решении вариационных задач газовой динамики необходимо знать предельные (определяемые граничными условиями) свойства сверхзвуковых течений. Исследование таких свойств для осесимметричных течений разреженияпроведено в ft3f, а для течений сжатия — в [14]. [c.46]

Совершенно иной подход к постановке вариационных задач газовой динамики предложил в 1950 г. Никольский [1]. Решая вариационную задачу для осесиммефичных течений в линейной постановке, Никольский вводит конфольный контур из характеристик первого и второго семейств, проходящих, соответственно, через переднюю и заднюю точки искомого контура. При этом характеристика первого семейства полностью известна, а вариационная задача ставится для функций на характеристике второго семейства. Сама вариационная задача оказывается одномерной, а исследуемый функционал относится к хорошо изученному типу. После определения искомых функций на характеристике второго семейства течение около искомого контура находится решением задачи Гурса. Искомый контур является линией тока найденного течения. Таким образом, подход Никольского избавляет от необходимости предварительного решения задачи обтекания произвольного контура и приводит лишь к необходимости решения конкретной задачи Гурса. [c.65]

Гудерлей и Хантш в работе [3] изучали вариационную задачу об оптимальном сопле Лаваля в плоском и осесимметричном случаях для равновесных изэнтропических течений реального газа. Решение бьшо сведено к краевой задаче для дифференциальных уравнений, аналогичных уравнениям (2.15), (2.28)-(2.30) при С = 0- [c.74]

Осесимметричный случай. Рассмотрим экстремали в плоскости г, а. Покажем, что условию (4.8), при котором Г = 0, соответствует равенство dy/da = о при v — . Стернин [7], рассматривая границу области непрерывных решений вариационной задачи при v = I, вывел условие для dy/da = о, совпадающее с Г = 0. [c.113]

Пусть точка Л расположена так, как это показано на рис. 3.22, и принадлежит области (4.12). Это означает, что в плоскости а,б, точка Л расположена ниже кривой УЗи, определяемой равенством (4.8) при п = 0. На рис. 3.23 точку Л отметим символом Ло в соответствии с индексацией 3.1.2. Очевидно, что из точки Ло для получения решения вариационной задачи необходимо перейти некоторым путем ЛоЛд в область (4.11) так, что точка Лд будет принадлежать этой области. При всяком допустимом непрерывном переходе по крайней мере часть кривой ЛдЛд принадлежит (рис. 3.24) области (4.12). Это означает, что участок ЛдЛд может быть проварьирован так, что величина х уменьшится. Остается использовать разрывный переход из одной области в другую. При безударных течениях допустим только изэнтропический разрыв (3.1.2), обусловленный фокусировкой характеристик первого семейства аНк в точке к (рис. 3.22). Такой переход в плоскости а,1 (рис. 3.23) производится по характеристике второго семейства ЛдЛ] и характеристике первого семейства [c.119]

Во всех рассмотренных до сих пор осесимметричных потоках азимутальная составляющая вектора скорости отсутствовала. Это являлось отраничением в постановке вариационных задач, но отказ от ограничений может только улучшить решение. Обратимся к закрученным осесимметричным течениям и покажем на простейшем примере, что закрутка потока действительно может увеличить силу тяги сопла при прочих равных условиях. При этом азимутальная составляющая скорости не будет рассматриваться как свободная функция, она просто будет задаваться. [c.143]

Пусть головная часть тела, поверхность которого может пропускать газ, ограничена прямоугольником 0<х<Х,0 у К, гдеЛГ,К — заданные числа. Выберем контрольный контур следующим образом. Обозначим через ta линию Маха равномерного набегающего потока, приходящую в некоторую точку а. Если схема тела отвечает рис. 3.48, то точкой а является передняя точка заостренного профиля. Из нее могут исходить присоединенные ударные волны. Если тело вызывает отошедшую ударную волну, то в качестве точки а выбирается точка на пересечении ударной волны и линии тока, отделяющей массу газа, которая попадает вег внутренние полости тела. Остальную часть контура, которая может пропускать газ, обозначим через ah. Вместо линии ta может быть взята линия за. Контур sah замыкается осью симметрии и образующей поверхности тела hd. Если окажется, что для получения максимального сопротивления на тело должен воздействовать газ, не прошедший через ударную волну, то результаты решения вариационной задачи позволят сделать дальнейшие выводы об оценке величины сопротивления. [c.168]

Среди прямых методов решения вариационных задач наиболее широкое применение получили методы Рэлея—Ритца, Бубнова— Галеркина. [c.127]

Рассмотренный способ позволяет привести к гамильтоновой форме системы уравнений, полученные феноменологически и не являющиеся экстремалями какой-либо вариационной задачи. Особый интерес представляют уравнения, описывающие химические реакции, различные экономические или экологические систсмы. После приведения к гамильтоновой форме решение уравнении может быть получено па основе мощных методов теории КП. [c.314]

До сих пор речь шла о решении задач деформационной теории пластичности как о решении обобщенных уравнений Ляме или Бель-трами — Митчелла. Однако те же задачи могут рассматриваться как вариационные задачи, для решения которых могут быть привлечены вариационные принципы. [c.306]

Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы,например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за последнее время широкое применение метод конечных элементов. В некоторых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана. [c.81]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...