Задача геометрически нелинейная

При выводе уравнений (1.5.2) не сделано различия между величиной и положением до и после деформации тех площадок, напряжения на которых рассматриваются. В случае больших деформаций (круг задач геометрически нелинейной теории упругости) необходимо учитывать различие между первоначальной и деформированной формами параллелепипеда. Однако заметим, что по внешнему виду уравнения (1.5.2) сохраняются и в таком случае, если под координатами х, у, г, по которым выполняется дифференцирование в уравнениях (1.5.2), понимать координаты точек не до деформации, а их окончательного положения. [c.18]

Деформации материала бруса следуют закону Гука компоненты смещений определяем с учетом квадратичных членов, т. е. рассматриваемая задача геометрически нелинейная, физически линейная. [c.156]

Решение задач геометрической нелинейности приводит к перестройке на каждом шаге матрицы производных [В], а решение задачи физической нелинейности требует формирования на каждом шаге итерации матрицы упругих характеристик [/)]. Таким образом, временные затраты на переформирование матрицы жесткости конструкции [/<] окупаются возможностью учета обоих видов нелинейностей. Как показывает опыт, метод последовательных приближений дает хорошие результаты при решении с помощью метода конечных элементов задач температурной пластичности, а также ползучести, когда происходит постепенное накопление пластической деформации в конструкции, находящейся под нагрузкой при повышенной температуре в течение некоторого периода времени. [c.67]

Рассмотренный пример показывает, что установившейся ползучести может не быть даже в простейших задачах при постоянных внешних силах, если задачи геометрически нелинейны. [c.122]

В этой главе будет излагаться геометрически нелинейная теория упругости в прямоугольных декартовых координатах [1—6]. При формулировке задач геометрически нелинейной теории упругости необходимо подчеркнуть разницу между пространственными и материальными переменными. Пока не оговорено противное, будем использовать лагранжев подход, в котором координаты точек деформируемого тела выражаются через координаты точек до деформации ). [c.79]

В работе (2] дается обзор разнообразных методик численного решения задач геометрически нелинейной теории упругости. Они включают методы последовательных приближений, метод Ньютона — Рафсона, метод возмущений и метод начальных значений. Там же обсуждаются основные особенности методов и даются рекомендации по их оптимальному использованию. В этой же работе указывается, что трактовка задачи нелинейной теории упругости как задачи с начальными данными открывает путь к огромному числу новых процедур численного решения. С деталями этих методов и их приложениями к МКЭ читатель может ознакомиться по работам [1—4]. [c.368]

Метод переменной жесткости, используемый в алгоритмах решения деформационных задач, позволяет не только весьма эффективно учесть физическую нелинейность, но и описать геометрическую нелинейность. Примером тому могут служить полученные решения геометрически нелинейных упругопластических задач о потере несущей способности образцов с надрезами. [c.48]

НДС анализировали с помощью МКЭ [43, 77, 102] путем решения упругопластической задачи в геометрически нелинейной постановке на основе теории течения, условия текучести Мизеса, модели трансляционно-изотропного упрочнения [124]. Образец [c.101]

МПа-2 0,87) представлены на рис. 4.12. С помощью полученного решения циклической упругопластической задачи был выполнен в геометрически линейной постановке (геометрически нелинейная постановка не требовалась, так как раскрытие в данном случае оказалось много меньше размера структурного элемента) расчет НДС ближайшего к вершине [c.224]

Рассмотрим задачу об устойчивости простейшей фермы Мизеса (рис. 16.13), позволяющую учесть геометрическую нелинейность и выявить ее влияние на устойчивость. В качественном отношении рассматриваемая ферма отражает поведение арки или пологой оболочки. [c.362]

Для решения нелинейных задач могут быть использованы геометрически нелинейные уравнения В. 3. Власова [68] [c.259]

Для исследования симметричных нелинейных задач устойчивости пологих или локальной устойчивости подъемистых сферических оболочек могут быть использованы геометрически нелинейные уравнения В. 3. Власова [68] [c.262]

ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ [c.37]

При решении задач 1.1 — 1.82 предполагалось, что деформации стержней весьма малы и схема сооружения практически не изменяется вследствие перемещений. В этом случае получаются линейные соотношения между внешними нагрузками, внутренними усилиями и перемеш,ениями. Ниже приводится ряд задач, в которых необходимо использование нелинейных зависимостей. Во всех задачах материал стержней считается линейно-упругим. Характерные осо-бенности.задач состоят в том, что при их решении а) должны использоваться более точные, чем линейные, соотношения между перемещениями и удлинениями стержней и б) при составлении условий равновесия необходимо учитывать изменение расчетной схемы, вызванное перемещениями. Такие расчеты называются расчетами по деформированному состоянию (по деформированной схеме, деформационными). В следующем параграфе приводятся задачи, связанные с расчетом гибких нитей, относящихся тоже к классу геометрически нелинейных систем. [c.37]

Для системы, показанной на рисунке, по линейному решению усилия в стержнях будут = Р, N2 = 0. Оценить точность зтого результата, вычислив отношение усилий NJN , найденных в геометрически нелинейной постановке задачи. Принять такое [c.38]

Развитие техники за последние десятилетия связано с применением новых материалов и широким использованием в конструкциях различного рода гибких элементов и вызвало необходимость решения задач, которые являются предметом нелинейной теории упругости. Эти задачи могут быть либо геометрически нелинейными (когда тела не обладают достаточной жесткостью, например гибкие стержни), либо физически нелинейными (когда тела не подчиняются закону Гука), а также геометрически и физически нелинейными (когда детали изготовлены из резины или некоторых пластмасс). Во всех этих задачах непременными свойствами модели являются сплошность и идеальная упругость, а возможность других свойств, конкретизирующих ее, определяется особенностями абстрагируемого твердого тела. Нелинейная теория упругости, таким образом, имеет еще более общий характер и решает весьма широкий круг задач, постоянно и неизбежно выдвигаемых современной техникой. Это не принижает фундаментального значения линейной теории упругости и не обязывает получать зависимости последней как частный случай значительно более сложных соотношений нелинейной теории упругости. Напротив, познания теории упругости должны начинаться с изучения исторически первой и наиболее разработанной линейной теории упругости, которая в этом отношении должна носить как бы пропедевтический характер. [c.5]

Геометрически нелинейные задачи [c.234]

ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ 235 [c.235]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

Если задача решается в геометрически нелинейной постановке (при этом пластина считается гибкой, а ее прогибы достаточно велики, и необходимо учитывать взаимное влияние прогибов и усилии в срединной поверхности), то в уравнении энергии следует учитывать не только энергию изгиба, но и энергию срединной поверхности. Энергия срединной поверхности ТУ<, вычисляется по уравнению (6.35). Однако для вычисления ее необходимо знать выражение функции напряжений ср. [c.196]

Если зависимости (7.1) в конкретной задаче нелинейны, ее называют физически нелинейной. Термин физическая нелинейность отражает то, что нелинейность заключена в физических уравнениях, дающих связь между напряжениями и деформациями. В отличие от этого, как уже было показано в главе VI ( 6.9), нелинейность может возникнуть и из уточненного рассмотрения геометрической стороны деформации тела. Такого рода нелинейность носит название геометрической нелинейности. [c.495]

При использовании аппарата геометрически нелинейной теории упругости обнаруживается более точная картина деформации круглого цилиндра при чистом его кручении. Если торцы не закреплены против сближения, то первоначально прямолинейные продольные волокна в процессе кручения не испытывают растяжения. Но поскольку прямолинейная ось каждого из таких волокон превращается при кручении в равновеликую по длине винтовую кривую, концы последней должны располагаться в плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра, расстояние между которыми меньше расстояния между плоскостями торцов до деформации. При сопоставлении деформации двух первоначально прямолинейных продольных волокон, находящихся на разных расстояниях от оси цилиндра, обнаруживается, что винтовые кривые, в которые превращаются оси этих волокон, имеют различные кривизны — большую у более удаленного от оси цилиндра волокна. Вследствие этого перемещения в направлении параллельном оси цилиндра точек торцов, находящихся на разных расстояниях от оси цилиндра, различны и торцы, строго говоря, перестают быть плоскими. Если же сближению торцов воспрепятствовать, то при кручении цилиндра первоначально прямолинейные продольные волокна испытывают растяжение. Однако при малых углах закручивания перемещения точек торцов в направлении, параллельном оси цилиндра, оказываются величиной более высокого порядка малости, чем перемещения этих же точек в плоскостях торцов, и описанный эффект почти не проявляется, вследствие чего им пренебрегают. При больших углах закручивания этим эффектом пренебрегать нельзя и задача в таком случае становится геометрически нелинейной. [c.34]

Комбинируя МНП со ступенчатым приложением нагрузки (шаговая процедура), можно решать существенно геометрически нелинейные задачи, в том числе при непростом нагружении (внешние силы изменяются не пропорционально одному и тому же параметру) и при следящих нагрузках. Алгоритм МНП хорошо приспособлен к программированию для ЭВМ. [c.367]

Проводимый анализ в случаях 2 и 3 (т — л, г <С т, Г1 г) (6 и 7) (т < п, г Щ) не позволяет установить отличие изменяемой конструкции от мгновенно изменяемой. Для такого установления необходимо перейти к геометрически нелинейной постановке задачи. [c.540]

Приведем геометрические нелинейные соотношения, которые необходимы для исследования закритического поведения оболочки, и решения задач устойчивости цилиндрической оболочки энергетическим методом. Во-первых, для исследования устойчивости оболочки, находящейся в безмоментном начальном состоянии, удлинения и углы сдвига в срединной поверхности следует выражать с точностью до квадратичных слагаемых относительно бифуркационных перемещений и их производных. [c.245]

Расчетное исследование НДС образцов из стали 15Х2МФА (рис. 1.4), подвергнутых растяжению в области низких температур, было проведено с целью анализа параметров, характеризующих сопротивление хрупкому разрушению материала [131]. Подробно результаты расчета и эксперимента будут изложены в подразделе 2.1.4. В настоящем разделе мы хотим продемонстрировать работоспособность метода решения упругопластических задач в части учета геометрической нелинейности. Дело в том, что перед разрушением испытанных образцов при Т = —100 и —10°С происходила потеря пластической устойчивости (зависимость нагрузки от перемещений имела максимум). Очевидно, что расчетным путем предсказать потерю несущей способности конструкции можно, решая упругопластическую задачу только в геометрически нелинейной постановке. При численном моделировании нагружение образцов осуществляли перемещением захватного сечения образца от этапа к этапу задавалось малое приращение перемещений [131]. При этом анализировали нагрузку, действующую на образец. Механические свойства стали 15Х2МФА, используемые в расчете, представлены в подразделе 2.1.4. На рис. 1.4 представлены зависимости нагрузки от перемещений захватной части образца. Видно, что соответствие экспериментальных данных с результатами расчета хорошее. Наибольшее отличие расчетной максимальной нагрузки от экспериментальной составляет приблизительно всего 3 % различие в среднеинтегральной деформации при разрушении образца е/ = —1п (1—i j) (i ) — перечное сужение нет- [c.32]

В то же время учет геометрической нелинейности показывает, что максимальные нормальные напряжения, входящие в усталостное уравнение (2.111), имеют одно и то же для всех структурных элементов ограничение сверху. Такой вывод следует из полученного в разделе 4.2.2 решения упругопластической задачи при статическом нагружении тела с трещ иной (к сожалению, при циклическом решении идентичного решения тюлучить не удалось). Выходом из создавшейся ситуации может служить ограничение максимальных нормальных напряжений, полученных в результате решения циклической задачи, величиной, соответствующей наибольшим напряжениям, которые получены при решении статической задачи в геометрически нелинейной постановке. [c.216]

Отметим один характерный частный случай упрощенных геометрически нелинейных уравнений деформаций. Представим себе мембрану в плоскости ху. При действии на нее поперечной нагрузки она получает прогибы w, во много раз превосходящие перемещения и, V в плоскости ху. В подобных задачах, решаемых в геометрически нелинейной постановке, можно учитывать лишь нелинейные слагаемые относительно больших перемещений wvivix производных по х и и Z/. В этом случае с учетом допущения е 1 и sin 7 л 7 (из 2.17), (2.18) получим [c.33]

Мы предполагаем, что углы достаточно малы таким образом, задача рассматривается как геометрически линейная. Одновременный учет физической и геометрической нелинейностей существенно усложняе г исследование, хотя позволяет обнаружить новые эффекты. Исключая М из (4.5.7) и [c.126]

Необходимо подчеркнуть, что теорема единственности доказана нами для геометрически линейной постановки задачи теории упругости. Если условие (8.4.8) не выполнено, единственности может не существовать. Это может означать одно из двух о либо принятая модель сплошной среды некорректна, либо материал неустойчив. При- Рис. 8.4.1 мером такого неустойчивого материала служит материал с падающей диаграммой растяжения, подобной изображенной на рис. 8.4.1. Видно непосредственно, что одному п тому же значению напряжения на этой диаграмме соответствуют два разных значения деформации. Вопрос о действительном существовании таких неустойчивых упругих материалов остается открытым диаграммы вида изображенной на рис. 8.4.1 наблюдаются при описании пластического поведения и представляют зависшюсть условного напряжения, т. е. растягивающей силы от деформации. Пример неустойчивости такого рода был рассмотрен в 4.13. Для геометрически нелинейных систем теорема единственности несправедлива нарушение единственности соответствует потере устойчивости упругого тела. Рассмотрению подобного рода задач в элементарной постановке была посвящена вся четвертая глава. [c.247]

Здесь варьируются независимо напряжения о и перемещепи>1 щ. Функционал Лагранжа, записываемый через и деформации ij, выраженные через Ut по формулам (12.2.1), послужил отправной точкой для всех выводов. Прямое распространение на геометрически нелинейные задачи вариационного принципа типа Кастильяно невозможно. Действительно, в линейной теории было использовано то обстоятельство, что беу выражается через Ьщ по тем же формулам, по которым б ,- выражаются через Uu Поэтому преобразование объемного интеграла можно было произвести до варьирования функционала. В нелинейной теории этого сделать нельзя. [c.392]

Полученное здесь решение обладает той особенностью, что амплитуда А отклонения стержня от прямолинейной формы при F = Fkp,5 осталась неопределенной,однако онадолж-на быть достаточно малой для того, чтобы были справедливы использованные нами уравнения. Если рассмотреть задачу в более точной постановке, где учитываются геометрические нелинейности и более точное значение кривизны в деформированном состоянии, то амплитуда отклонения оказывается зависящей от значения силы и график этой зависимости имеет вид ветвящейся линии ОАВ и ОАС (рис. 15.11). Пока F < fкр,а. у = 0 как только F>fKp,3. так появляется отличный от нуля прогиб, который определяется положением точки D, соответствующей значению F>F p,. Равновесные состояния при F > f кр-э- называются закритическими, и [c.348]

Деформированное состояние оболочки компенсатора определялось на основе метода [140] решения задачи о длительном циклическом нагружении данной конструкции. Задача решалась в ква-зистациоиарной несвязанной постановке путем численного интегрирования на ЭВМ Минск-32 системы нелинейных дифференциальных уравнений, определяющих напряженно-деформированное состояние неупругих осесимметрично нагруженных оболочек вращения. Решение линейной краевой задачи производилось на основе метода ортогональной прогонки [52]. Рассматривалась только физическая нелинейность. Учет геометрической нелинейности при расчетах сильфонов, работающих как компенсаторы тепловых расширений в отличие от сильфонов измерительных приборов [193], обычно не производится [32, 150, 222], как не дающий существенного уточнения при умеренных перемещениях. Предполагалось, что все гофры сильфона деформируются одинаково. Поэтому расчет производился только для одного полугофра. Эквивалентный размах осевого перемещения полугофра, вызывающий те же деформации, что и полное смещение концов сильфона, определялся по формуле [c.200]

Рассмотрены основы моделирования задач в области прочности машиностроительных конструкций и их элементов с использованием газовых и моноимнульсных лазеров, голографии, высокоскоростной регистрации волновых полей напряжений и перемещений в моделях из. прозрачных оптически чувствительных материалов. Приведены способы и приемы моделирования физически и геометрически нелинейных задач. Определены основные направления и перспективы развития современных экспериментальных методов моделирования машиностроительных задач. [c.174]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...