Методы дискретизации

Для решения на электронных АВМ задач, описываемых уравнениями в частных производных (каковым, например, является дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, см. п. 1.3.1), применяется метод дискретизации по пространственной переменной, т. е. в рассматриваемой задаче по координате X. Это означает, что в процессе решения определяется температура лишь в конечном числе точек, которые называются узлами сетки (см. п. 1.3.5). [c.216]

На практике используются следующие методы дискретизации дифференциальных уравнений переноса [c.151]

С появлением ЭВМ громоздкие графические и табличные расчеты уступили место различным численным методам решения дифференциальных уравнений — методу конечных разностей [16], численному интегрированию с помош,ью стандартных процедур. Методы дискретизации, которые также используются наряду с предыдуш,ими, переводятся на язык программ с использованием матричных схем, как это было показано в 3. [c.24]

Осесимметричное нагружение дисков рассмотрим как наиболее типичное при оценке статической прочности. В качестве расчетного метода использован метод конечных элементов (МКЭ). Это не единственный возможный метод расчета известно применение и других методов дискретизации пространственной задачи к расчету дисков (метод конечных разностей, вариационно-разностный [2, 43, 100]). МКЭ наиболее широко применяют в прикладных задачах 47]. Можно отметить простоту формулировок основных принципов, ясность физической интерпретации, свободу размещения узловых точек, симметрию матриц жесткости элементов и системы уравнений, облегчающую контроль расчетов. При выборе в качестве неизвестных узловых перемещений матрица разрешающей системы будет симметричной, положительно определенной (при исключении перемещения диска как жесткого целого) и иметь ленточную структуру. Это способствует быстрому решению системы разрешающих уравнений прямыми или итерационными методами. Методу конечных элементов посвящено большое число работ [3, 46, 53, 114, 119]. Приведенные в гл, 4 результаты получены ДЛЯ простейшего кольцевого элемента треугольного сечения, однако основные соображения, использованные в решении, имеют достаточно общий характер и применимы как для плоской задачи, так и при более сложных элементах в осесимметричном случае. [c.153]

Третий фактор — экстремальные свойства функционала. Для функционала, имеющего экстремум или минимакс, в отдельных случаях могут быть применены континуальные варианты методов математического программирования (оптимизация в гильбертовых пространствах [1.1, 1.5]). Чаще же всего применяются различные методы дискретизации при этом экстремальные свойства выбранного функционала переносятся на дискретный функционал, и это помогает при решении задачи (см. 5). Исторически сложилось так, что экстремальные функционалы появились раньше и больше разрабатывались. Однако есть примеры, показывающие, что минимаксные функционалы используются и дают хорошие результаты. [c.171]

Выбор метода дискретизации тесно связан с выбором функционала. В частности, вариационно-разностные схемы могут быть построены на основе общей идеи расчленения сложной системы на элементы. При этом возникает понятие метода конечных элемен-70в (МКЭ). С математической точки зрения расчленение означает выбор определенного частного функционала и дополнительных условий к нему, т. е. расчленение всей разрешающей системы уравнений на две части, одна из которых (дополнительные условия) должна выполняться предварительно, до использования другой. Расчленение обычно сопровождается механической трактовкой, которая выражается в выборе так называемой основной системы (длд которой дополнительные условия выполнены) и неизвестных (отыскиваются с помощью частного функционала). [c.171]

Вариационно-разностные методы дискретизации отличаются большей универсальностью, чем аналитические . Они заключаются в том, что искомая функция и, доставляющая стационарное значение используемому функционалу F u), приближенно задается своими значениями в конечном числе точек области интегрирования, а значения в промежуточных [c.175]

Комбинированные методы. Методы дискретизации, основанные на совместном применении аналитических и численных методов, будем называть комбинированными. Одним из примеров может служить метод прямых для задач с частными производными, в котором используется разностная аппрокси- [c.176]

Пусть выбран какой-либо метод дискретизации для приближенного решения поставленной задачи тогда функционал Э зависит от п переменных Иь 2, > я и может быть представлен в виде [c.178]

Эйлера — Лагранжа 15 Методы дискретизации 172 [c.286]

Третье издание книги разбито на две части, часть А и часть В. Содержание части А, озаглавленной Формулировка вариационных принципов в теории упругости и пластичности , практически не отличается от первого издания, за исключением некоторых новых тем в гл. 5 и 7. Содержание части В, озаглавленной Вариационные принципы как основа методов конечных элементов , мыслится как улучшенное изложение приложения I второго издания. В этой части систематически излагаются классические вариационные принципы и модифицированные вариационные принципы со смягченными (ослабленными) требованиями непрерывности применительно к задачам статической теории упругости (теория малых перемещений и теория конечных перемещений) и динамической теории упругости, а также к теориям геометрической и физической нелинейности и теории изгиба упругих пластин. Последняя глава посвящается методам дискретизации и содержит вновь добавленное введение в метод граничных элементов. [c.8]

Некоторые замечания о методах дискретизации [c.431]

Сделаем некоторые общие замечания о методах дискретизации. [c.431]

Было показано, что МВН, который содержит в качестве частных случаев некоторые методы дискретизации, такие, как метод коллокации и метод Галеркина, является основой методов дискретизации и позволяет разъяснить свойства отдельных методик. МВН можно предложить для решения почти любой инженерной задачи, и, следовательно, он обладает универсальностью при решении практических проблем. Дальнейшие детали обсуждаются, например, в работах [1—5]. Можно добавить, что в механике деформируемого твердого тела МКЭ, основанный на принципе виртуальной работы, можно рассматривать как вариант метода Галеркина и также условно отнести к МВН. [c.431]

Главная цель нашей книги — ввести читателя в круг важнейших задач (в порядке возрастания их сложности), которые могут быть эффективно решены с помощью МГЭ. Усложнения обусловлены либо размерностью задач и видом основных уравнений, либо использованием при численной реализации метода дискретизации более высокого порядка. [c.53]

В данном методе дискретизации используются линейные граничные элементы, характеризуемые координатами их средних [c.60]

Для прямого метода дискретизация граничного интеграла приводит к соотношению [c.147]

Хотя описанный выше метод интегральных представлений дает изящный подход к решению любой нестационарной динамической задачи, вычислительные усилия, необходимые для полного решения такой задачи с граничными и начальными условиями, весьма значительны, несмотря на то что методы дискретизации по пространству и времени довольно похожи на методы, описанные в гл. 9 для задач о нестационарном потенциальном течении жидкости. [c.292]

Следует отметить эффективность использованного в программе типа конечного элемента и метода дискретизации. С помощью произвольных четырехугольников, топологически регулярных сеток можно описывать довольно сложные объекты, что позволяет обойтись без матрицы индексов и существенно упростить реализацию алгоритма МКЭ на ЭВМ. Полуавтоматическая дискретизация дает возможность исследователю легко управлять сгущением сетки в местах ожидаемых градиентов напряженного состояния при незначительной трудоемкости составления исходной информации. [c.46]

Приближенные решения интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода (5.21) могут быть получены любым методом дискретизации, например методом ортогональных многочленов, изложенным в работе [13]. [c.50]

Поэтому этот класс методов наиболее эффективен при расчете простых по структуре индукционных систем [74, 75] или при расчете поля в замкнутых ограниченных областях. Наибольшее распространение при решении дифференциальных уравнений в частных производных, когда аналитические методы расчета неприемлемы, получили методы дискретизации МКР и МКЭ. МКЭ первоначально использовался только при решении задач строительной [c.96]

Другим критерием определения режима эволюции системы является сечение Пуанкаре [8, 10]. При построении сечения в фазовом пространстве исследуемой системы выбирается плоскость, на которой фиксируются координаты точек пересечения фазовой траектории отдельного вихря (или маркера) в заранее выбранном направлении. В результате появляется последовательность точек, которые являются своеобразным протоколом движения рассматриваемой системы. Для периодических систем в качестве метода дискретизации фазовой траектории можно выбрать эквидистантные интервалы времени, соответствующие периоду движения. [c.447]

В рамках примера 1 из 1 ограничимся рассмотрением двух общих методов дискретизации. [c.16]

В дальнейшем будет рассматриваться только метод дискретизации Б. Рассмотрим для простоты билинейную форму вида а где 7 —линейное пространство [c.23]

В главе 6 на конкретных примерах показаны возможные пути обобщения результатов для нелинейных уравнений и систем. Два первых параграфа посвящены изложению общих результатов по сходимости метода конечных элементов для нелинейных задач с операторами монотонного типа и решению двух типичных нелинейных задач, распространенных в приложениях, с помощью многосеточных итерационных алгоритмов. Решение плоской задачи упругости демонстрирует возможность обобщения построенных алгоритмов и их обоснования для эллиптических систем зфавнений. Среди многих известных методов дискретизации бигармонического уравнения рассмотрена смешанная формулировка метода конечных элементов, приводящая к системе двух уравнений Пуассона с зацепленными краевыми условиями. В итоге обобщенная формулировка содержит только первые производные и отпадает необходимость использования сложных базисных функций из класса С (И ). Смешанная формулировка использована также для дискретизации стационарных задач Стокса и Навье — Стокса. Здесь применялись комбинации простых конечных элементов — линейные для скоростей и постоянные для давления. [c.12]

Запись соотношений в методе конечных элементоз, методе конечных разностей и некоторых других методах дискретизации континуальных задач теории упругости можно упростить, используя понятия векторов и матриц [c.552]

Задачи термопрочности по своей сложности не позволяют получить решение в замкнутой аналитической форме. Поэтому для их решения наиболее перспективными являются методы, основанные на дискретизации расчетной области и сведении нелинейной задачи к последовательности линейных задач, решаемых при помощи алгоритмов линейной алгебры [80]. Наибольшее распространение получили методы дискретизации с использованием конечных разностей [75], кокечшых элементов [33, 72] и граничных элементов [50, 89, 101]. [c.255]

С эгими двумя частями расчета связаны два ос-нова1П1Я для классификации вариационных методов расчета по используемому функционалу и по методу решешш вариационной задачи. Этот подход отражен на рис. 5.11, на котором радиусы разделяют методы, связанные с выбором функционала, а окружности — методы решения вариационной задачи (методы дискретизации). Выбор метода расчета приводи- к одному из криволинейных прямоугольников 1. 1 этой [c.169]

Методы дискретизации. Вариационная задача состоит в отыскании точки стационарности функционала, определенного в бесконечномерном евклидовом пространстве (см. гл.1). Для отыскания бесконечного множества координат точки стационарности в подавляющем большинстве случаев требуется бесконечное количество вычислений, а значит, и бесконечное время счета. Поэтому задачи расчета континуальных систем решают приблнжснно, ограничиваясь конечным числом вычислений, выполняемых в ограниченное время. [c.172]

Термин методы дискретизации (dis rete analysis), похоже, охватывает широкий спектр численных методов, в которых система с бесконечным числом степеней сюбоды аппроксимируется [c.425]

Метод дискретизации. Существует множество методов получения дискретного аналога из уравнения (2.98). Три из них следующие явный, Кранка—Николсона и полностью неявный. Не будем детально их рассматривать. Они приведены во многих книгах по численным методам. Кроме того, можно обратиться к [6], где они подробно описаны в контексте метода контрольного объема. В представленной книге будет использоваться только полностью неявный метод, так как он единственный (среди трех упомянутых), который позволяет использовать любые значения Д , не получая физически нереальных результатов. Даже метод Кранка—Николсона, который часто описывается как безусловно устойчивый, может демонстрировать нефи-зичное поведение, когда Д превыщает некоторое значение (за более подробной информацией по этой теме можно обратиться к [6, 9]). Действительно, для малых значений Al метод Кранка—Николсона может быть более точным, чем полностью неявный. Однако для наших целей более важно гарантированное получение реалистичных результатов при любых значениях Дл [c.60]

Речь идет также о методе дискретизации, который появился в последнее время наряду с методом конечных элементов и успешно применяется для решения задач теории упругости. Суть метода состоит в том, что основные уравнения теории упругости, которые описывают поведение неизвестных функций внутри и на границе рассматриваемой области, сводятся к интегральному уравнению. Неизвестные граничные значения связаны с известными значениями на контуре области через граничное интегральное уравнение. Впервые этот подход был применен к решению задачи кручения с помощью так называемых прямых методов теории потенциала (см. [46]) °). Развитием этой работы явился метод интегральных уравнений Риццо [47] для плоских задач теории упругости, который позднее был распространен Крузом [48] на пространственные задачи. [c.141]

Сходимость изложенного метода дискретизации с ростом числа i узлов коллокации наблюдается при всех Я, причем при заданной, точности приблпжонного решения геличина i не превосходит некоторого значения , ( о = 3 — 5). [c.239]

Замечание 4. Для задачи, допускаюш,ей полусла-бую формулировку с положительно определенной симметричной билинейной формой, метод дискретизации по Ритцу дает следующие существенные преимущества. [c.22]

В 1.2 рассмотрена общая схема метода Бубнова - Галёркина для решения обобщенных задач. Среди нескольких подходов к дискретизации, применяемых в методе конечных элементов (метод Ритца метод наименьших квадратов и др.), мы остановились на этом одном, но зато наиболее распространенном подходе. Применение полученных вьпислительных результатов к доугим методам дискретизации может быть осуществлено либо непосредственно, либо по тесной аналогии между этими методами. [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...