Функционал энтропии

Итак, предлагается следующая формулировка вариационной задачи статистической динамики найти совместную плотность вероятности фазовых переменных р (х) для стационарного режима, при которой функционал энтропии S принимает максимальное значение, а уравнение движения удовлетворяется в вероятностном смысле, т. е. выполняются соотношения относительно моментных функций. 5 [c.41]

Очевидно, что моментные соотношения при выбранном типе нелинейных функций имеют рациональную структуру относительно фазовых переменных и образуют бесконечную связанную систему уравнений. С учетом этого расширенный функционал энтропии можно записать б общей форме [c.48]

Потребуем, чтобы функционал энтропии [c.49]

Решение вариационной задачи о максимуме функционала энтропии при дополнительных условиях (2.42) и условии нормировки имеет вид [c.51]

Учитывая условие нормировки и условия (3.8) как дополнительные, введем расширенный функционал энтропии 00 00 [c.59]

Таким образом, условная вариационная задача об экстремуме функционала энтропии сведена к задаче на максимум функции [c.62]

Функционал энтропии (3.15) после подстановки (3.39) становится функцией переменных ао и а [c.68]

Для определения вероятностей гипотез воспользуемся вариационным принципом Гиббса. Функционал энтропии [c.78]

Функционал энтропии состояния принимает вид [c.83]

На рис. 3.14 представлены зависимости безразмерной энтропии состояния S от вероятности а при различных отношениях дисперсий а 1а. Как видно на графиках, функционал энтропии не имеет аналитических максимумов при О < а <1. Это означает, что оптимальная в смысле принципа максимума энтропии композиция нормальных центрированных функций невозможна. Следовательно, неоднозначность полученного стохастического решения в данном случае обусловлена не методическими причинами, а некоторыми мехапическими особенностями поведения системы при узкополосном воздействии. Действительно, как показывают результаты моделирования на ЭВМ [10], практическая реализация одного из двух решений в области неоднозначности зависит от выбора начальных условий. При этом фиксированные начальные условия не допускают смешивания стохастических решений после выхода на стационарный режим. [c.84]

В итоге получается система линейных дифференциальных уравнений типа (4,86) (4.90) относительно корреляционных функций щ (t) йЬ (t + т)), (uo (/) uo (t + т)), uo (t) q t + x)), (Mq (t) q t +t)). Интегралы (4.87), (4.98), через [которые выражаются коэффициенты полученных уравнений, при сложном виде нелинейных функций F (uq), f ( о, о) могут быть определены численно при помощи ЭВМ. Таким образом, моментное соотношение может быть построено корреляционным способом при любом виде нелинейных и аппроксимирующих функций на основе базового нормального распределения. Вычисление функционала энтропии не представляет принципиальных затруднений. [c.110]

Будем трактовать уравнения (5.31) как дополнительные условия в вариационной задаче об экстремуме функционала энтропии [c.148]

Действуя точно так же, можно найти функцию распределения /(ж), которая соответствует максимуму функционала энтропии (1.3.19) при заданных средних значениях [c.51]

Вблизи критической точки необходимо учитывать корреляции между флуктуациями в различных точках пространства а также сохранять члены высшего порядка в разложении функционала энтропии 5[а] по флуктуациям. Нелокальные эффекты обычно учитываются градиентами Vai(i ). В результате получаются так называемые функционалы Гинзбурга-Ландау-Вильсона определяющие распределение вероятностей для критических флуктуаций [43]. [c.74]

Рассмотрим теперь функционал энтропии (2.1.23) для локально-равновесного распределения (2.2.5). Используя опять формулу (2.2.10), где это распределение записано в новых фазовых переменных, находим, что [c.91]

В заключение отметим, что структура уравнения Фоккера-Планка полностью определяется тем обстоятельством, что уравнения движения для базисных динамических переменных а г) имеют форму локальных законов сохранения. Поэтому подход к теории флуктуаций, основанный на уравнении Фоккера-Планка, применим к самым различным системам гидродинамического типа . Специфика рассматриваемой системы проявляется в выборе базисных переменных а (г), а также в конкретной форме функционала энтропии 5(а), локальных потоков jVn(i fl) и кинетических коэффициентов тп(г а). [c.229]

Отметим также, что локальные параметры 7 (r a) в выражении (9.1.68) играют роль множителей Лагранжа и находятся из условий самосогласования (9.1.67). С помощью функции распределения (9.1.68) функционал энтропии гидродинамических флуктуаций теперь записывается в виде [c.230]

Например, функционал энтропии микроканонического ансамбля может быть вычислен методом перевала [14]. Далее можно показать, что разность между S a) и S a) относительно мала, если 1, где п = N/V — средняя концентрация частиц. [c.230]

Определим плотность функционала энтропии S r a) выражением (9.1.75). Тогда, используя формулы (9.2.3), получим [c.232]

Это соотношение для вариаций напоминает обычное локальное термодинамическое равенство. Если функционал энтропии S a) известен, то (9.2.5) позволяет выразить параметры Т(г), /х(г) и v(r) через переменные е(г), (г) и j(r). [c.232]

С учетом (9.1.27) формулу (9.2.5) для вариации плотности функционала энтропии можно записать в виде [c.233]

Соотношение (9.2.8) полностью определяет поле скоростей v(r) как функцию переменных ft (r). Что касается параметров Т г) и /х(г), то их, в принципе, можно найти из (9.2.9), если известен функционал энтропии S a). В общем случае вычисление функционала энтропии представляет собой чрезвычайно сложную задачу. Однако вне критической области, когда S (г а) есть функция переменных (г) и г (г) в той же точке пространства, вычисление параметров Т г) и /х(г) фактически сводится к использованию равновесных уравнений состояния. Действительно, вдали от критической точки соотношение (9.2.9) для вариаций переходит в соотношение для дифференциалов [c.233]

Вблизи критической точки соотношения (9.2.9) и (9.2.11) не эквивалентны, поэтому функционал энтропии S a) приходится строить специально, например, используя модельное выражение (9.1.76) для плотности энтропии. [c.234]

В главе 9 мы отмечали, что статистическая теория крупномасштабных (гидродинамических) флуктуаций служит основой для описания процессов переноса в окрестности критической точки. За последние тридцать лет в теории фазовых переходов и критических явлений был достигнут существенный прогресс, но до сих пор даже наиболее микроскопические методы в критической динамике [30, 82] являются, по существу, феноменологическими. Эти методы, основанные на стохастических уравнениях переноса типа уравнений Ланжевена, которые обсуждались в разделе 9.2.3, позволяют вычислить так называемые динамические критические индексы для наиболее сильно расходящихся коэффициентов переноса. Однако более тонкие эффекты, связанные со слабыми аномалиями , не удается последовательно описать в рамках чисто феноменологического подхода ). По-видимому, здесь требуются новые принципы построения функционала энтропии для нелинейных флуктуаций, основанные на методе статистических ансамблей. [c.281]

Тело называется упругим, если все входящие в табл. 5 и в основное термодинамическое тождество (10.30) функции являются параметрами состояния, причем рассеяние w равно нулю, так что функционал энтропии совпадает с энтропией s (10.20), ri=kS. Любая пара параметров таблицы (я, г, V) из реакции r t) в момент t представляет вместе с функции параметров процесса n t) [c.210]

Теория капиллярно-гравитационных волн хорошо разработана в приближении бесконечно тонкой межфазной границы [1,2]. Если же учитывать структуру межфазной границы, то необходимо распространить гидродинамическое описание на переходную область. Это требует введения дополнительных предположений о свойствах жидкости в области больших градиентов плотности. Последовательное гидродинамическое описание изотермических течений многокомпонентной смеси с учетом фазовых переходов, структуры межфазных границ и поверхностных слоев возможно на основе представления свободной энергии смеси в виде функционала плотности [3]. Теории, основанные на функционалах подобного типа, рассматривались ранее в [4-6] в основном для описания однокомпонентных систем. В [7] метод функционала плотности применялся к расчету поправок к решению Пуазейля для течения в капилляре. Для неизотермического случая метод обобщен посредством введения функционала энтропии [8]. [c.145]

Поэтому Q в том виде, как эта величина определена уравнениями (33) и (34), не является функцией Ляпунова. Это означает, что, исходя из законов классической или квантовой механики, функционал Ляпунова, который играл бы роль энтропии, по-видимому, вывести нельзя. По этой причине часто утверждают, что понятие необратимости можно [c.146]

В задачах статистической физики распределение р (х , Xg /), по существу, постулируется в зависимости от особенностей термодинамической системы. Так, для адиабатических процессов принимают микроканоническое распределение Гиббса, для изотермических систем вводят каноническое распределение. Особенность задач статистической динамики заключается в том, что фазовая плотность вероятности априори не известна, р (х, /) является искомой функцией. При этом энтропия S приобретает смысл функционала. [c.41]

Для определения вероятностей гипотез а/ воспользуемся вариационным принципом максимума энтропии. Потребуем, чтобы композиция (7.25) обеспечивала максимум энтропии состояния для всей генеральной совокупности. С учетом условия нормировки введем расширенный функционал [c.205]

Другим важным примером может служить энтропия. Эта величина определяется как в равновесии, так и в отсутствие равновесия. Но и в этом случае опять-таки энтропия не является свойством отдельной частицы, а описывает состояние беспорядка -системы в целом. Энтропию можно (в определенных случаях) формально представить в виде (2.2.4). Тем не менее в таком случае соответствующая функция Ъ q, р) не является заданной, фиксированной функцией, а зависит от функции распределения. Таким образом, энтропия не есть линейный функционал от F q, р, t). При эволюции системы во времени как Ъ, так и F испытывают изменения в противоположность ситуации, описываемой формулой (2.2.13). [c.60]

Другая особенность вариационной задачи Связана с числом моментных уравнений. Если число дополнительных условий, выраженных через моментные функции, ограничено, то плотность вероятности р (х) может принимать множество значений, удовлетворяющих моментным соотношениям. На этом множестве и определен функционал энтропии (2.7), для которого сформулирована вариационная задача. При неограниченном возрастании числа дополнительных условий в нелинейных задачах статистической динамики мощность множества допустимых р (х) сокращается. В пределе бесконечная система моментных уравнений определяет р (х) единственным образом, если выполняются известные условия Карлемана [20]. При этом вариационная задача об условном максимуме функционала энтропии в принципе вырождается, а сам функционал приобретает дельта-образ-ный вид в пространстве р (х). Тем не менее, как будет показано в следующем параграфе, формальное решение вариационной задачи можно выполнить по методу неопределенных множителей Лагранжа. В результате для частных случаев получаются точные аналитические выражения для плотности вероятности р (х). [c.42]

Распределение (2.31) легко получается и при помощи вариационного метода. Для этото функционал энтропии [c.47]

Рассмотрим далее более общий случай воздействия, когда математическое ожидание входной функции отлично от нуля (q ф 0). Среднее значение реакции системы также не равно нулю й ф . Введем отношение дисперсий, соответствующих двум устойчивым стационарным режимам = математических ожиданий ф — (йх — й Ц/2а1. Функционал энтропии с точностью до постоянного множителя принимает вид [c.84]

Паше последнее замечание относится к выбору интегралов движения при построении статистических ансамблей. До сих пор мы рассматривали только такие интегралы движения как энергия и число частиц. Если средние значения некоторых дополнительных интегралов движения определяют равновесное состояние (скажем, полный импульс Р для движущейся системы или полный момент импульса L для системы, вращающейся как целое), то эти интегралы движения следует учесть на этапе нахождения экстремума функционала энтропии 5inf через дополнительные условия Tv ,q ) = ,). [c.61]

Функционал энтропии. Папомним, что функционал энтропии S a) был определен через статистический вес W a) микроканонического ансамбля в котором базисные динамические переменные а г) имеют фиксированные значения а (г). Это определение неудобно для конкретных приложений теории, поскольку вычислить статистический вес W(а) из (9.1.14) очень трудно или вообще невозможно. Мы получим для функционала энтропии другое выражение, которое позволяет использовать в теории гидродинамических флуктуаций локальные уравнения состояния. [c.229]

Соотношения (9.1.71) и (9.1.72) показывают, что функционал Масье-Планка играет роль термодинамического потенциала в переменных F r a), а функционал энтропии — в переменных ft (r). Таким образом, существует аналогия между свойствами неравновесных флуктуаций и обычной термодинамикой. Эта аналогия позволяет воспользоваться некоторыми понятиями термодинамики при построении функционала энтропии S a) и расширить гидродинамическое описание на крупномасштабные [c.230]

Другая идея статистич. физики, оказавшая влияние на Э.Т.,—это вариационный принцип Тиббса, согласно к-ро-му гиббсовская мера характеризуется макс. значением энтропии при фиксиров. средней энергии. Для одномерной решёточной спиновой модели его точная формулировка такова. Пусть X—пространство последовательностей x= xi, — oпреобразование сдвига, т. е. (X, S)—символич. ДС, для к-рой инвариантная мера пока не выбрана. На множестве всех 5-инвариавтных вероятностных мер ц вводится функционал [c.635]

Очевидно, функционал (ц.) имеет смысл для любой ДС и любой ограниченной ф-ции ф, заданной на её фазовом пространстве. Обычно (р предполагается непрерывной ф-цией, тогда supf(jj) по всем инвариантным мерам можно определить в чисто топологич. терминах без помощи каких-либо мер на фазовом пространстве. По аналогии со спец. случаем, рассмотренным выше, эта верхняя грань наз. топологич. давлением (при ф = О это не что иное, как топологич. энтропия), а меры, на к-рых она достигается, наз. равновесными состояниями, отвечающими ф. Однако в общем случае равновесные состояния могут и не существовать (даже при ф = 0). [c.635]

Эта знаменитая формула была получена Гиббсом. Она лредстав-ляет энтропищ как нелинейный функционал от функции распределения (д, р) в фазовом пространстве. Это формальное среднее от функции In (g, ру. динамическая функция, среднее от которой есть энтропия, зависит от состояния системы. G помощью известных элементарных рассуждений можно показать, что энтропия характеризует степень беспорядка мы уже затрагивали эти вопросы в разд. 2.2. [c.262]

Тот факт, что для рахождения энтропии в классической и квантовой механике требуется усреднять различные функции, не должен вызывать удивления. Он обусловлен особым характером энтропии,, которая представляет собой не истинное среднее от динамической функции, а нелинейный функционал от функции распределения. Для таких величин правило соответствзм Вигнера несправедливо, так что построение правильного микроскопического выражения для энтропии следует производить путем сравнения с методом статистической суммы. [c.271]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...