Вариационные формулировки

В этом случае при вариационной формулировке задачи минимизации подлежит функционал [c.40]

Результат (8.13) также называют принципом Гамильтона — Остроградского, однако следует иметь в виду, что это уже не вариационная формулировка, а лишь утверждение, что этот интеграл равен нулю. В самом деле, выделяя в обобщенных силах консервативные силы [c.222]

Наряду с основными дифференциальными уравнениями механики деформируемого твердого тела в учебнике изложена вариационная формулировка задач, которая имеет особенно важное значение при построении приближенных методов, используемых как в теории упругости и пластичности, так и в строительной механике. [c.3]

ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.49]

Таким образом, при заданной нагрузке на тело надо найти такие функции и, V, W, при которых выполняется условие бЭ = 0. Тем самым будут найдены истинные перемещения тела и решена задача теории упругости (в перемещениях). В этом и состоит вариационная формулировка задачи теории упругости с помощью принципа Лагранжа. Механически оно в интегральной форме выражает условия равновесия деформированного тела. [c.55]

Эта связь в математике выражается в том, что каждой вариационной формулировке типа бЭ (и) = О может быть поставлена в соответствие формулировка в форме дифференциальных уравнений [c.55]

Уравнениям (8.37) данного метода можно дать вариационную трактовку, если задача, описываемая исходным дифференциальным уравнением (8.33), допускает вариационную формулировку. Пусть это будет задача изгиба пластины. Тогда L (w) в (8.34) можно написать в виде двух слагаемых [c.250]

Можно показать, что если г гт п >0, р 0, то здесь допустима вариационная формулировка. В то же время аппроксимация на конечных элементах должна быть более сложной, чем та, которая использовалась ранее, так как здесь уже в функционал входят вторые производные и искать решение нужно уже по крайней мере в классе функций с непрерывной первой производной. Попытка строить решение из кусочно-линейных -функ [c.169]

Подобно тому как статические задачи теории упругости допускают вариационную формулировку, решение динамической задачи может быть сведено к отысканию стационарного значения интеграла действия [c.432]

Вариационная формулировка условий устойчивости упругого тела может быть получена двумя различными способами (см. 5). Первый способ основан на определении условий, при которых в окрестности начального невозмущенного состояния равновесия может существовать новое возмущенное состояние равновесия, т. е. на определении вариационным методом точек бифуркации начального состояния равновесия. Второй способ связан с непосредственным исследованием устойчивости начального состояния равновесия с помощью теоремы Лагранжа. [c.47]

Особенность предлагаемой книги состоит в последовательном изложении теоретических и прикладных аспектов расчета и оптимизации термоизоляции энергетических установок. В качестве теоретической основы постановки рассматриваемых задач теплопроводности в термоизоляции используется их вариационная формулировка, позволяющая применить приближенные аналитические и численные методы решения и оценить точность получаемых при этом результатов расчета, что имеет большое значение для инженерной практики, особенно в связи с необходимостью устанавливать пределы применения различных эмпирических формул, рекомендуемых в справочной литературе. [c.4]

Во второй главе задача расчета термоизоляции сведена к решению соответствующей задачи теплопроводности при принятых условиях теплообмена с окружающей средой или теплоносителем с учетом (в общем случае) зависимости теплофизических характеристик термоизоляторов от температуры. Дана математическая формулировка задач теплопроводности в дифференциальной и интегральной (в частности, в вариационной) формах для теплоизоляционной конструкции в виде неоднородного анизотропного тела произвольной формы, и рассмотрены основные методы решения таких задач. На основе вариационной формулировки задачи теплопроводности построены двойственные оценки таких важных интегральных характеристик теплоизоляционной конструкции, как ее термическое сопротивление, проходящий через нее суммарный тепловой поток, средние температуры поверхностей теплообмена. [c.4]

Для тел сложной формы метод интегральных преобразований сохраняет силу, если удается построить полную систему собственных функций и определить соответствующие им собственные значения. Это принципиально выполнимо на основе вариационной формулировки соответствующей однородной задачи или применения метода конформных отображений области сложной формы на более простую [21]. [c.43]

Наличие двойственной вариационной формулировки стационарной задачи теплопроводности на основе функционалов (2.48) и (2.50) позволяет получить интегральную оценку погрешности приближенного решения по разности [12] aJ = J(T) - J(T, q). Чем ближе приближенные распределения температуры Г и компонентов плотности теплового потока к истинным распределениям, тем ближе между собой значения J(T) и J(T, q) и меньше 52 [c.52]

Двойственную вариационную формулировку стационарной задачи теплопроводности в некоторых случаях удается применить для оценки эффективной теплопроводности композиционных материалов и пористых термоизоляторов. Пусть композиционный материал состоит из наполнителя с теплопроводностью Я.1 и матрицы с теплопроводностью Х.2, причем объемное содержание матрицы составляет р. В случае пористого термоизолятора р будет соответствовать пористости, - теплопроводности скелета, а 2 - теплопроводности среды в порах. [c.58]

Способ разделения неоднородного тела на однородные части изотермическими или адиабатическими поверхностями (или их комбинацией), как это было сделано в рассмотренном случае при задании допустимых для функционалов (2.71) и (2.72) распределений температуры и вектора плотности теплового потока соответственно, нашел широкое применение при определении эффективной теплопроводности неоднородных материалов со сложной структурой [5]. Анализ получаемых при этом формул для X.j,3 и Хад введением соответственно изотермических и адиабатических поверхностей показывает, что всегда А. з А. д. Эквивалентность этого способа двойственным оценкам термического сопротивления неоднородного тела на основе вариационной формулировки стационарной задачи теплопроводности дает возможность строго обосновать правомерность такого результата. Кроме того, использование вариационного подхода при более близких к реальным неодномерных допустимых распределениях температуры и плотности теплового потока позволяет более точно определить эффективную теплопроводность неоднородных материалов и одновременно оценить максимально возможную погрешность получаемого результата. [c.60]

Используем вариационную формулировку задачи теплопроводности в неоднородном теле (см. 2.4) для анализа характеристик термоэлектрической теплоизоляции [12]. Рассмотрим плоский слой термоизоляции площадью Fq и толщиной h (рис. 3.7,а) с теплопроводностью теплоизолятора К, заключенный между двумя тонкими металлическими пластинами 1 и 2. Между пластинами расположен также полупроводниковый элемент 3 с площадью поперечного сечения /3, теплопроводностью А. 3 и электропроводностью Р3. Высота элемента может быть меньше h. В этом случае его коммутация с пластинами осуществляется проводниками из одинакового с пластинами материала. В первом приближении температуры и Т2 каждой пластины можно считать постоянными по их поверхности и равными температурам соответствующих контактов с полупроводниковым элементом. Выделение (или поглощение) тепло- [c.79]

Другие вариационные формулировки [c.118]

В заключение мы коротко рассмотрим другие вариационные формулировки задачи неравновесных стационарных состояний [69, 70]. Возьмем для конкретности случай теплопроводности. Постараемся отыскать такой лагранжиан чтобы интеграл [c.118]

Другие вариационные формулировки 119 [c.119]

В этом разделе получены две вариационные формулировки задачи о теплообмене при вынужденной конвекции в трубе произвольного поперечного сечения с заданной температурой стенки или градиентом температуры на стенке. Они полностью эквивалентны дифференциальным уравнениям с соответствующими граничными условиями. В последующих разделах эти вариационные формулировки используются для решения нескольких частных задач. [c.329]

Большой интерес к вариационным формулировкам задач деформирования многослойных оболочечных конструкций объясняется в первую очередь тем, что на основе исходных гипотез, применяя формальные математические приемы, можно избежать трудоемкого этапа составления уравнений равновесия статическим методом и приближенно свести трехмерную задачу теории упругости к одномерной или двумерной задаче. При этом соответствующие разрешающие уравнения и граничные условия строго соответствуют исходным допущениям и определяются единственным образом. Кроме того, вариационные формулировки являются основой для эффективных приближенных методов расчета, которые позволяют получить на выбранном классе аппроксимирующих функций наилучшие в энергетическом смысле приближенные решения. [c.71]

В гл. 3 с единых позиций принципа возможных перемещений рассмотрены формулировки задач статики, устойчивости и динамики. Полученные уравнения в вариациях для упругих консервативных систем являются голономными и представляют условия стационарности соответствующих функционалов, записанных в перемещениях. Вид самих функционалов в большинстве случаев не приводится, поскольку для дальнейшего решения необходимы лишь вариационные формулировки. В общем случае показано, как с использованием этих формулировок удается получить разрешающие дифференциальные уравнения или приближенные решения. [c.71]

С другими вариационными формулировками можно ознакомиться в работах [40, 46]. [c.72]

При решении задач динамики бывает необходимо в ряде случаев оценить влияние предварительного нагружения конструкции на частоты и формы собственных колебаний или исследовать устойчивость неконсервативных систем с использованием динамического подхода. Для таких задач вначале решается задача статики и определяется начальное напряженно-деформированное состояние системы (если это необходимо). Далее рассматривается движение системы в окрестности начального состояния. Вариационную формулировку задачи можно получить, если повторить выкладки 3.3 с учетом инерционных сил. В результате будем иметь [c.84]

Выражение (3.41) при w = О переходит в вариационную формулировку задачи устойчивости. В случае отсутствия начальных напряжений выражение (3.41) позволяет сформулировать задачу о собственных колебаниях, а при постоянных начальных напряжениях дает возможность исследовать влияние предварительного нагружения на частоту колебаний системы. [c.85]

Рассмотрим в общем виде вариационно-матричный способ получения разрешающих систем дифференциальных уравнений для решения задач о собственных колебаниях и устойчивости одномерных линейных систем. В качестве исходной вариационной формулировки воспользуемся условием (3.41) для случая мертвых нагрузок. Оставим в прежней форме общую запись распределения дополнительных перемещений (ы и деформаций ej по сечению, т. е. как и для (3.43), (3.44), примем [c.90]

Дополнив вариационную формулировку (3.41) условием связи I вида (3.65) для вариаций б б получим [c.90]

После выполнения подготовительных операций приступим к вариационной формулировке задачи статики. Рассмотрим кольцевой элемент оболочки вращения, нагруженный внешними поверхностными нагрузками и реакциями отброшенных частей. Для получения разрешающих. уравнений воспользуемся принципом возможных перемещений. Чтобы считать независимыми переменными как коэффициенты вектора обобщенных перемещений X , так и коэффициенты вектора производных , введем с помощью множителей Лагранжа (х) условие связи (4.112), записанное для возможных перемещений, тогда [c.152]

Таким образом, после выполненных преобразований (4.121), (4.123), (4.124), (4.126) исходную вариационную формулировку условия равновесия (4.120) можно представить следующим образом [c.154]

Даламбера запишем вариационную формулировку задачи, присоединив к ней в качестве дополнительных условий дифференциальную связь (4.137) для возможных перемещений [c.157]

Окончательный вид вариационной формулировки (4.138) для п-й гармоники разложения можно представить следующим образом д [c.158]

В окончательном виде вариационная формулировка условия равновесия шпангоута (4.158) будет выглядеть следующим образом [c.165]

Учитывая связь деформаций с перемещениями (4.209), с помощью вариационной формулировки задачи (4.205) легко получить разрешающие уравнения. Для того чтобы считать компоненты векторов Х и V независимыми, дополним (4.205) условиями связи (4.208) [c.177]

Иногда математические модели объектов на микроуровне уже в своем исходном виде могут быть представлены в вариационной формулировке, т. е. в виде задачи минимизации функционала. Типичным примером таких моделей служат модели, описывающие статические напряженно-деформированные состояния деталей. В этих моделях в качестве минимизируемого функционала используетсй выражение полной потенциальной энергии (4.15) [c.164]

Получение решения методом конечных элементов связано с приближенной шаишзацией функционала, который определяется как интеграл от неизвестных величин в узловых точках во всей области. Вариационная формулировка задачи (I) - (4) связана с рассмотрением функционала [c.134]

В данной главе прежде всего позпакомимся с двумя основными принципами — Лагранжа и Кастильяно, а также с некоторыми другими принципами. Укажем на связь этих принципов и вариационной формулировки задачи теории упругости с дифференциальной формой этой задачи. [c.49]

Вариационная формулировка задачи теории упругости используется главным образом в двух с.пучаях. В первом на основе уравнения бЭ = О строятся численные методы решения этой задачи (метод Ритца, метод конечных элементов и т. п.). Все эти методы относят к классу прямых методов решения задач теории упругости, не требующих в явной форме использования дифференциальных уравнений. [c.57]

Пример 23.8. Рассмотрим стационарное температурное поле в длинной трубе, поперечное сечение которой показано на рис. 23.10, а. На двух гранях внешней поверхности трубы задано граничное условие первого рода в виде линейиого распределения температуры от О до 200 °С. Поверхности двух других внешних граней и внутреннего цилиндрического отверстия теплоизолированы. Вариационная формулировка задачи может быть получена из (23.25). При отсутствии [c.248]

Помимо оценки погрешности приближенного решения наличие вариационной формулировки задачи позволяет получить двойственную оценку (сверху и снизу) некоторых важных интегральных характеристик, связанных с температурным состоянием тела. Пусть в (2.48) = X (Р), = Г(Р) и<7 =q (P) = = QyiP), Р е V / = /tP") - а Р) ПР), Р" S" =Д S , а на контактной поверхности S q s о и тепловой контакт является идеальным, т.е.Д = /р = О- Тогда вместо (2.48) можно написать [c.54]

Целью настоящей статьи является анализ проблемы теплоотдачи при вынужденном движении (проблемы Грэтца) с учетом вязкой диссипации и внутреннего тенловыделения с помощью вариационного метода. Вариационные методы и раньше использовались для решения ряда задач теплообмена [3,]. Пользуясь математической терминологией, можно сказать, что основное дифференциальное уравнение чаще всего является самосопряженным. Вариационные формулировки обычно могут быть построены по образцу принципа Гамильтона, который приводит к уравнениям Эйлера — Лагран-н<а. Можно использовать также хорошо известные методы Рэлея — [c.325]

Эта задача (без учета внутреннего тепловыделения и вязкой диссипации) была рассмотрена Грэтцем и рядом других авторов [1, 2 . Решение находим в виде ряда по собственным функциям задачи. Несколько первых собственных значений и соответствуго-ш их собственных функций были вычислены с достаточно высокой степенью точности. Если температуру находим в виде разложения по соответствующим ортогональным функциям, то точное решение может быть получено также и с помощью приведенного здесь вариационного метода аналогично тому, как это было сделано в предыдущем разделе. Однако здесь мы получим только приближенное решение, основанное на вариационной формулировке задачи. Из уравнения (6) получаем выражение для функционала / (0), которое в безразмерной форме имеет вид [c.332]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...