Новый вариационный принцип

В разд. IV описываются вариационные методы получения границ изменения эффективных модулей. При этом используются классические вариационные принципы, а также предлагаются новые вариационные принципы, дающие более точные результаты. [c.67]

Перейдя к механике, Гамильтон показал значение в ней своего нового вариационного принципа, а его характеристическая функция для задач механики ( функция Гамильтона Н) оказалась, при довольно широких условиях, совпадающей с энергией механической системы. Зная, как выражается функция Н через координаты и импульсы составляющих систему материальных точек, можно сразу составить дифференциальные уравнения, определяющие координаты и импульсы. Получающаяся система дифференциальных уравнений ( канонические уравнения ) равносильна системе уравнений движения, в частности — системе уравнений Лагранжа второго рода, но обладает некоторыми особыми свойствами, облегчающими ее исследование. [c.208]

ДЛЯ преобразований и построения новых вариационных принципов, в частности полного функционала 5 4а (V. . е) (табл. 3.4). [c.63]

Развитые методы распространяются на динамические задачи теории упругости путем учета сил инерции. Таким образом, принцип виртуальной работы для динамических задач выводится с помощью понятия кинетической энергии. Принцип виртуальной работы преобразуется в новый вариационный принцип, если предположить, что существуют функция энергии деформации и функции потенциалов внешних сил. Полученный таким образом вариационный принцип можно рассматривать как принцип Гамильтона, распространенный на динамические задачи теории упругости. Он может быть далее обобщен с применением правила множителей Лагранжа. [c.19]

Новый вариационный принцип [c.55]

Новый вариационный принцип описан в работах [83, 84], причем в работе [83] имеется ошибка, в результате которой теоремы пункта 4 нельзя считать доказанными. [c.64]

В сущности только попутно Гамильтон устанавливает здесь новый вариационный принцип. А именно представим себе, что сравнивается истинное движение механической системы с некоторым варьированным, причем начальное и конечное положения системы в обоих движениях одинаковы, как одинаково и затрачиваемое на них время. Это означает, что в выражении для вариации S, соответствующей переходу от истинного движения к варьированному, надо получить 6t = О, = О, Ьx = О, следовательно, будем иметь и [c.213]

Эта формула представляет собой, с учетом сформулированных условий варьирования, новый вариационный принцип, выведенный Гамильтоном для консервативных голономных систем. Гамильтон обычно называл и этот принцип принципом наименьшего действия. [c.213]

Будем варьировать здесь и н Vi чтобы так формулируемый новый вариационный принцип был бы равносилен старому, надо, чтобы все время выполнялись дополнительные условия [c.113]

Для выяснения физического смысла условий равновесия термодинамических систем полезно еще раз обратиться к аналогии между термодинамическими и механическими системами. Эта аналогия имеет в данном случае серьезные основания критерий (11.1), сформулированный Гиббсом, является по существу обобщением соответствующих вариационных принципов классической механики на термодинамические системы. При этом, несмотря на использование нового, не имеющего механического аналога физического закона (второго закона термодинамики), Гиббс применил не только принятые в теоретической механике методы, но и ее терминологию. [c.104]

И. Г. Бубнов (1872—1919) впервые в 1913 г. изложил новый приближенный метод интегрирования дифференциальных уравнений теории упругости, который широко применялся затем Б. Г. Галеркиным (1871—1945) для решения ряда задач теории упругости. Метод Бубнова—Галеркина, как общий приближенный метод интегрирования дифференциальных уравнений, не связан, вообще говоря, с каким-либо вариационным принципом. [c.109]

Основные дополнения отразили развитие отдельных разделов, интерес к которым повысился со времени появления в 1951 г. второго издания. В главах 3 и 4 введен анализ влияния концов и теория собственных решений, связанных с принципом Сен-Ве-нана. Ввиду быстрого роста приложений дислокационных упругих решений в науке о поведении материалов, эти разрывные в смещениях решения излагаются более подробно (теория краевых и винтовых дислокаций в главах 4, 8, 9 и 12). К главе 5 добавлены вводные сведения о методе муара с иллюстрацией его применения на практике. Изложение понятия об энергии деформации и вариационных принципов проведено в трехмерном случае и включено в главу 9, что дало основу для новых разделов по термоупругости в главе 13. Обсуждение использования комплексных потенциалов для двумерных задач пополнено группой новых параграфов, основанных на хорошо известных теперь методах Н. И. Мусхелишвили. Этот подход несколько отличается [c.12]

Мы уже говорили, что вариационные принципы не вносят в механику нового физического содержания и редко упрощают практическое решение той или иной механической задачи. Их главное достоинство состоит в том, что они служат отправными точками новых теоретических концепций в классической механике. В этом отношении особенно плодотворен принцип Гамильтона, а также принцип наименьшего действия, хотя и не в такой степени. Что касается других принципов, то они имеют заметно [c.260]

Даламбер (1717—1783). Важный толчок развитию аналитических методов изучения механических систем был дан Даламбером, который свел произвольную задачу о движении к задаче о равновесии путем добавления к заданной системе внешних сил некоторой новой силы, порождаемой движением. Эта новая сила, сила инерции, совместно с остальными силами приводит к равновесию. Поэтому принцип виртуальных перемещений оказывается применимым к любым движущимся системам. Все уравнения движения произвольной механической системы охватываются, таким образом, одним вариационным принципом. [c.388]

Якоби дал также новую формулировку принципа наименьшего действия для случая независимости от времени, который рассматривали Эйлер и Лагранж. Он критиковал их формулировку на том основании, что область интегрирования у них не удовлетворяет условию варьирования при фиксированных граничных значениях. Хотя в действительности Эйлер и Лагранж применяли свой принцип вполне корректно, исключение времени из вариационного интеграла, произведенное Якоби, привело к новому принципу, определяющему траекторию движущейся точки без всякого указания на то, как движение происходит во времени. Сходство этого принципа с принципом Ферма о наименьшем времени распространения света, из которого может быть определена траектория светового луча, непосредственно устанавливало аналогию между оптическими и механическими явлениями. [c.392]

Несмотря на радикальное отличие новых идей от концепций старой физики, основной чертой дифференциальных уравнений волновой механики является их самосопряженность. Это означает, что они получаются из вариационного принципа. Поэтому, несмотря на все различия в интерпретациях, вариационные принципы механики продолжают играть важную роль в описании всех явлений природы. [c.395]

Оригинальное изложение принципа Гаусса наименьшего принуждения см. в работе К. Г а у с с, Об одном новом общем принципе механики, в сборнике Вариационные принципы механики под ред. Л. С. Полака, М., Физматгиз, 1959. [c.56]

Исключение координат. Теория исключения координат, развитая в 10.1, может быть выведена из вариационного принципа, аналогичного принципу наименьшего действия. Мы будем рассматривать функционал, который принимает стационарное значение не во всем классе кривых сравнения, соединяющих концевые точки, а лишь в классе кривых, подчиненных известному ограничению. В этом параграфе мы выведем снова некоторые полученные ранее формулы (см. 10.1), и хотя здесь мы не получим никаких новых результатов, однако рассуждения, приводящиеся ниже, представляют известный самостоятельный интерес. Возьмем голономную систему с п степенями свободы, причем первые тп координат i, 2. ч Чт будем считать циклическими. [c.552]

Для полной характеристики комплекса вопросов, связанных с вариационными принципами, необходимо отметить, что, кроме уравнений Лагранжа второго рода и канонических уравнений Гамильтона, была найдена еще одна группа уравнений, занимающая промежуточное положение между уравнениями Лагранжа и Гамильтона. Существенно новое, особенно для приложений в физике, внес в этот вопрос аналитической механики Раус. [c.843]

Роль вариационных принципов механики в развитии новой физики [c.857]

В главах XV и XVI обращено внимание на формулирование основных фундаментальных вариационных принципов механики деформируемого тела, на их дуальность и вытекающую из нее дуальность методов сил и перемещений. Примеры, приведенные в главе XVI, призваны помочь читателю уяснить механический смысл вопросов. Алгоритмический же и вычислительный аспекты вопроса, в том числе в связи с использованием ЭВМ при расчете сложных конструкций, обсуждается, из-за ограниченности объема книги, лишь в общих чертах и даются указания на литературные источники, где этот аспект освещен подробно. Думается, что даже такое знакомство с новыми вопросами расширит кругозор читателю, а указания на основные литературные источники будут способствовать этому. [c.8]

Наиболее выдающиеся исследования Остроградского относятся к обобщениям основных принципов и методов механики. Он внес существенный вклад в развитие вариационных принципов. Вариационные принципы механики входят в круг вопросов, интересовавших Остроградского в течение всей его жизни. Постоянное возвращение к вариационному исчислению и вариационным принципам механики роднит ого с Лагранжем — одним из создателей вариационного исчисления и творцом аналитической механики. Ранее нами указывалось, что вариационными принципами механики занимались такие корифеи науки, как Ферма, Мопертюи, Эйлер, Лагранж, Гамильтон. Мы также отметили, что новый этап в разработке принципа наименьшего действия связан с именем Лагранжа, который поставил целью свести динамику к чистому анализу. В работах Лагранжа проблемы механики представляют собой лишь определенный класс задач вариационного исчисления. [c.214]

В данной книге представлены результаты систематического исследования вариационных принципов статической теории упругости и оболочек с позиций стационарности и экстремальности функционалов. Благодаря общему подходу выявлены некоторые новые, не менее интересные, но еще не исследованные вариационные формулировки для анизотропного неоднородного тела и анизотропной неоднородной оболочки. [c.7]

Показано несоответствие некоторых общих решений уравнений равновесия вариационному принципу Кастильяно и выводимым из него определенным видам уравнений неразрывности. В этом плане следует подчеркнуть целесообразность проверки новых и известных старых дифференциальных формулировок на соответствие вариационным принципам. [c.10]

Авторы настоящей книги д лают существенный вклад в этот фонд. Предисловие не должно пересказывать содержание книги, но некоторые результаты следует отметить. Это прежде всего новый вариационный принцип, позволяющий приближенно решать многочисленные задачи, в частности, находить траекторию распространения трещины в неоднородном поле напряжений. Несомненный интерес представляет простой приближенный метод нахождения коэффициента интепспвности, дающий возможность [c.11]

Это не что иное, как канонические уравнения (6.3.5), пред-ставляюш,ие собой единую систему из 2п дифференциальных уравнений, полученных из интеграла действия (6.4.3). Мы больше не нуждаемся ни в первоначальной функции Лагранжа, ни в преобразовании Лежандра, при помощи которого была получена функция Н. У нас есть теперь новый вариационный принцип, эквивалентный первоначальному, но имеющий перед ним некоторое преимущество вследствие более простой структуры получающихся дифференциальных уравнений — они уже не второго, а первого порядка. В уравнениях все производные выделены, а не скрыты какими-либо алгебраическими операциями. [c.198]

Для уяснения смьюла принципа Лагранжа большое значение имели работы профессора Московского университета Ф. А. Слудского (1841—1897). Он показал в своих статьях, что Остроградским высказан новый вариационный принцип и что оба принципа — Лагранжа и Остро -радского одинаково справедливы Вы[)ажения начала наименьшего действия, данные этими учеными, суть выражения двух различных общих свойств движения . [c.219]

В настоящее время профессор Васидзу подготовил переработанное издание своей книги, в которую включено новое приложение I. Это приложение дает представление об основных вариационных принципах, которые часто используются как базис для математической формулировки задач теории упругости и пластичности, включая новые вариационные принципы, разработанные в связи с методом конечных элементов. Так же как и в первом издании, приложение I написано ясно, кратко и элегантно — стиль, вообще свойственный профессору Васидзу. [c.11]

Широко известно, что одним из первых математиков, принимавших участие в становлении МКЭ, был Курант. Он представил приближенный метод решения задачи кручения Сен-Венана с помощью принципа минимума дополнительной энергии, используя линейную аппроксимацию функции напряжений внутри каждого из совокупности треугольных элементов [1]. С другой стороны, наиболее важными и исторически первыми среди пионерских работ по МКЭ в задачах расчета конструкций считаются статьи Тёрнера, Клафа, Мартина и Топпа [2] и Аргириса и Келси [3]. После появления этих статей вариационный метод стал интенсивно использоваться в математических формулировках МКЭ. И обратно, быстрое развитие МКЭ сообщило мощный стимул к разработке вариационных методов за последнее десятилетие появились новые вариационные принципы, такие, как вариационные принципы со смягченными условиями непрерывности [4—8], принцип Геррмана для несжимаемых или почти несжимаемых материалов [9, 10] и для задач изгиба пластин [11, 12] и т. д. Цель части В состоит в том, чтобы дать краткий обзор достижений в области вариационных принципов, которые служат основой МКЭ в теории упругости и теории пластичности. С практическим использованием этих принципов при формулировке МКЭ читатель может ознакомиться по работам [5—7]. [c.340]

НОВАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МДТТ И НОВЫЙ ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП [c.65]

Большой вклад в исследование проблемы растрескивания в пластичных материалах внесен В.З. Партоном и Е.М. Морозовым. Авторы [23] из уравнений линейной механики разрушения выводят уравнения, которые могут быть нелинейными. Авторами введен новый вариационный принцип, позволяющий приближенно решать многие задачи (нап м4мер, находить траекторию распространения трещины в неоднородном поле напряжений), а также задачи для тел, подвергающихся действию периодических нагрузок. [c.55]

Следует отметить, что соотношение (4.20), определяющее матрицу упругости [D] для изотропного материала, теряет смысл, если коэффициент Пуассона становится равным 0,5, так как при этом знаменатель обращается в бесконечность. Эту трудность можно просто обойти, если в расчете использовать значения коэффициента Пуассона, близкие к 0,5, но не равные этой величине. Однако опыт показывает, что такой прием ухудшает решение. Геррманн [10] предложил другой метод, связанный с использованием нового вариационного принципа. Подробно этот метод изложен в упомянутой (Работе. [c.85]

Даже в тех случаях, когда сила в точности известна, закон сохранения может оказать существенную помощь при рещении задач о движении частиц. Для решения новых задач больщин-ство физиков следует раз навсегда установленному порядку , прежде всего один за другим применяются соответствующие законы сохранения, и только после этого, если в задаче ничего не упущено, переходят к решению дифференциальных уравне-йий, использованию вариационного принципа или метода возмущений, применению вычислительных машин и других средств, имеющихся в нашем распоряжении, или полагаются на интуицию. В гл. 7 и 9 мы используем таким путем законы сохранения энергии и импульса. [c.149]

Систематически излагается термодинамика и статистическая теория миогочастичных райиовесных систем. В основу статистической физики равновесных идеальных и неидеальных систем положены метод Гиббса и метод функций распределения Боголюбова. Излагается классическая и квантовая теория газа, твердого тела, равновесного излучения, статистическая теория плазмы и равновесных флуктуаций. Обсуждаются методологические вопросы курса, В книге рассматриваются также некоторые новые вопросы, еще не вошедшие в программу теория критических индексов, вариационный принцип Боголюбова, термодинамическая теория возмущений, интегральные уравнения для функций распределения (уравнение самосогласованного поля,, интегральное уравнение Боголюбова—Борна—Грина, уравнение Перкуса— Иевика). [c.2]

Дифференциальные уравнения движения выражают некоторую зависимость, связывающую между собоИ момент времени t, положение системы, скорости. и ускорения ее точек в этот момент. Если эта зависимость выполняется в каждой точке некоторого пути, то этот путь является прямым. Вариационный же принцип характеризует весь прямой путь в целом. Он формулирует экстремальное (стационарное) свойство некоторого функционала, выделяющее прямой путь среди других кинематически возможных путей. Вариационные принципы имеют более обозримую и компактную форму и часто используются в качестве фундамента для новых (неклассических) областей механики. [c.107]

Лагранж (1736—1813). Достижения Лагранжа, этого величайшего математика XVIII века, во многих отношениях параллельны работам Эйлера. Лагранж вполне независимо от Эйлера получил решение изопериметрических задач, сделав это совершенно новыми методами. Он разработал для этой цели новое, вариационное исчисление. Он также понял преимущество вариационных принципов в связи с той свободой, которую мы получаем, описывая положение механической системы при помощи выбираемой по нашему усмотре-ншо совокупности параметров ( обобщенные координаты ). Если принцип виртуальных перемещений и принцип Далам-бера позволили рассматривать механическую систему как нечто целое, не разбивая ее на изолированные частицы, то уравнения Лагранжа добавили еще одно, чрезвычайно важное свойство — инвариантность относительно произвольных преобразований координат Это позволило выбирать системы координат, удобные для данной конкретной задачи. В своей Аналитической механике (1788) Лагранж создал новое, необычайно мощное оружие для решения любых механических задач при помощи чистых вычислений, без каких бы то ни было физических или геометрических соображений, при условии, что кинетическая и потенциальная энергии заданы в абстрактной аналитической форме. Относясь к этому выдающемуся результату со своей обычной скромностью. Лагранж писал в предисловии к своей книге Читатель не найдет в этой книге рисунков. Развитые мною методы не требуют ни каких бы то ни было построений, ни геометрических или механических аргументов — одни только алгебраические операции в соответствии с последовательными едиными правилами . Лагранж таким образом создал программу и основания аналитической механики. [c.390]

Замена независимой переменной. Важное и существенное свойство вариационных принципов заключается в том, что их легко можно выразить в любых выбранных координатах. Это обстоятельство уже отмеча1лось нами ранее (в 6.3) при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Обобщение принципа Гамильтона (26.6.2) дает возможность пойти дальше в этом направлении и произвести замену независимой переменной. Введем вместо t новую независимую переменную 0, связанную с t соотношением [c.537]

Нетрадиционно освещается ряд тем кинематика, общие теоремы динамики, вывод уравнений Лагранжа, уравнение Гамильтона — Якоби. Часть материала выходит за рамки университетского курса элементы теории линейных и квадратичных по скоростям интегралов, применение вариационных принципов, новое доказательство теоремы Дарбу о канонических координатах. В книгу включены задачи, иллюстрирующие и дополняющие теоретический материал, даны методические указания к ним. [c.2]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...