Задачи краевые для бесконечной области

Рассмотрим теперь применение метода Шварца к решению плоских задач теории упругости. Для краткости изложения ограничимся случаем плоской деформации сжимаемого материала. Пусть задача решается для бесконечной области, ограниченной простыми замкнутыми непересекающимися контурами Fi, Г2,..., на границах которых заданы поверхностные силы Qi, Q2, , Qm являющиеся непрерывными функциями точек контура. Заданные напряжения на бесконечности обозначим через сг . Будем считать, что массовые силы отсутствуют. Обозначим через U вектор перемещений, а через Nj (j = 1,..., m) — векторы нормали к соответствующим контурам. Тогда уравнения и граничные условия краевой задачи могут быть записаны следующим образом [c.234]

Преимущества МГЭ по сравнению с другими численными методами особенно ощутимы при решении краевых задач для бесконечных областей с однородными свойствами среды. [c.65]

Для второй основной задачи в случае бесконечной же области 5, ограниченной контуром L, для функций фо(г) и tl)o(2) на основании формулы (6.111) с учетом формул (6.104) и (6.105) будем иметь краевое условие [c.131]

Представляется естественным к точкам, в которых нарушается регулярность решения, относить и те точки, в которых происходит изменение характера краевых условий (даже, если сама граница гладкая). Указанные особенности нельзя выявить заранее, однако весьма важные сведения могут быть все же получены. В работе [122], относящейся к поведению решения общих эллиптических краевых задач (и, следовательно, задач теории упругости) в окрестности нерегулярных точек границы, установлены следующие результаты. Показано, что решение в окрестности этих точек представляется в виде асимптотического ряда и бесконечного дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых задач для модельных областей (для конуса, если на поверхности коническая точка, для клина, если угловая линия). Эти решения зависят только от локальных характеристик (величины телесного или плоского угла и типа краевых условий). В ряде случаев (они далее будут подробно рассмотрены) построение этих решений сводится к трансцендентным уравнениям. Величины же коэффициентов при них зависят от задачи в целом. [c.306]

Перейдем к изложению расчетной схемы. При этом возникает весьма важный вопрос о переходе к конечной области. Предлагается задавать некоторую область (ее сечение в меридиональной плоскости ограничено контуром Г1 (см. рис. 77), а именно (2 = 2о, г = Я)) достаточно больших размеров так, чтобы влияние возмущения, вызванное переходом к конечной области, можно было устранить (в некоторой степени) выбором краевых условий. Исходным моментом являются рассуждения, приведенные в [68], при рассмотрении задачи о колебаниях струны ограниченных размеров, где показано, что при определенных граничных условиях не существует отраженных волн. Получаемое тогда рещение будет совпадать с решением для бесконечной струны. [c.643]

Аналогом данной расчетной схемы для композитов периодической структуры является бесконечная область, содержащая единичный типовой элемент. Здесь удается учесть геометрию и характер взаимного расположения включений, однако решение краевой задачи свя зано, как правило, уже с применением численных методов. [c.96]

Знание набора нормальных мод в волноводе является важным фактом при решении вопросов практического их использования. Однако не менее важным является вопрос о способах и эффективности возбуждения того или иного типа волнового движения. Здесь картина оказывается значительно сложнее, чем в рассмотренной в главе 3 задаче о вынужденных колебаниях полупространства. Это усложнение физической картины приводит к постановке ряда сложных краевых задач, не все из которых имеют к настоящему времени достаточно полное решение. Наиболее простые задачи, возникающие при моделировании реальных ситуаций, относятся к бесконечному и полубесконечному волноводам. Для бесконечного волновода задача о возбуждении волн связана с заданием на некоторой части границы системы внешних воздействий — кинематические или силовые граничные условия. Вне этой области границы волновода считаются свободными. Задачи другого типа возникают при моделировании процесса возбуждения волн путем задания внешних усилий или смещений на торце полу-бесконечного волновода. Они оказываются намного сложнее для теоретического анализа. [c.241]

Для рассматриваемого случая полубесконечной области непосредственное решение краевых задач (3.82) приводит к расходящимся интегралам. Поэтому необходимо прибегнуть к условному интегрированию, оставляя в формальна вычисленном расходящемся интеграле лишь его конечную часть, а слагаемые, стремящиеся в бесконечность, полагая равными нулю. Такое условное понимание интеграла соответствует выделению в решении для конечной области, когда расходящихся интегралов не возникает, главных членов вблизи конца включения. В этом можно убедиться, составляя указанным методом решения различных частных задач. [c.85]

Технику граничных элементов можно пояснить более полно, если воспользоваться рис. 1.2. Рис. 1.2 (а) представляет область R, ограниченную контуром С, — это тот же тип краевой задачи, который обсуждался выше в связи с рис. 1.1. Рис. 1.2 (Ь) представляет бесконечную плоскость, а пунктирная линия С отмечает след контура С на этой плоскости. Зачастую легче находить аналитические решения соответствующих дифференциальных уравнений для неограниченной области (рис. 1.2 (Ь)), чем для фактической области R (рис. 1.2 (а)). В частности, мы в состоянии найти сингулярное решение для точечного возмущения (например, источника, стока или сосредоточенной силы) в некоторой точке р в бесконечной области. Предположим на момент, что это сингулярное решение воспроизводит на пунктирной линии С точно те условия, какие заданы на границе С (рис. 1.2 (а)). Если бы [c.11]

Методы граничных элементов, рассмотренные в предыдущих двух главах, предназначены для решения общих краевых задач теории упругости в плоской постановке. Как известно, такие задачи характеризуются плоской областью R, ограниченной контуром С. Область R может быть либо конечной (область внутри контура С), либо бесконечной (область вне контура С), как показано на рис. 6.1. В любом случае, с каждой точкой Q контура С мы связываем касательные и нормальные смещения и м и касательные и нормальные напряжения (или усилия) (Т и (Т . Эти величины задаются, как обычно, относительно локальной системы координат S, п точки Q [c.111]

Необходимо заметить, что теорема взаимности Бетти по своей сути связывает решение двух различных краевых задач для одной и той же области. Она является следствием линейности уравнений равновесия и закона Гука- Само фундаментальное решение, которое базируется на рассмотрении задачи о сосредоточенной силе в бесконечной упругой среде, может быть интерпретировано как функция Грина для бесконечно упругой среды или функции влияния. [c.52]

Основные граничные плоские и антиплоские задачи теории упругости для многосвязной области, содержащей криволинейные разрезы и отверстия произвольной формы, сведены в работах [94—96] к системе сингулярных интегральных уравнений первого рода по замкнутым (контуры отверстий и внешняя граница) и разомкнутым (разрезы) контурам. При этом предполагалось, что контуры разрезов и отверстий не пересекаются между собой (см. параграф 3 данной главы). Краевые трещины рассматривались только в некоторых частных случаях граничного контура (окружность, прямая), когда удается построить модифицированные сингулярные интегральные уравнения, не содержащие искомых функций на этом контуре [70, 95]. В последнее время изучались также задачи в случае произвольной симметричной области с краевой трещиной, находящейся на оси упругой и геометрической симметрии [27, 53, 58, 104] (см. также параграфы 3—5 четвертой главы). Ниже, следуя работе [97], приводятся обобщения указанных выше результатов на общий случай многосвязной области с разрезами и отверстиями, когда разрезы одним или двумя концами могут выходить на внешнюю границу и контуры отверстий. Получены численные решения построенных интегральных уравнений при одноосном растяжении бесконечной плоскости с одним или двумя круговыми отверстиями, на контуры которых выходят радиальные трещины. [c.33]

Ряд результатов представляет общий интерес для математической теории упругости. Это — неравенства Корна в конечных и перфорированных областях, обоснование принципа Сен-Венана, асимптотика решений системы теории упругости на бесконечности и ряд других вопросов. Много места уделено теоремам существования и единственности обобщенных решений краевых задач теории упругости в конечных и бесконечных областях. Эти задачи исследуются единым функциональным методом на основе теоремы Рисса о представлении функционала в гильбертовом пространстве. [c.8]

Приступим к анализу выражений (2.22) — (2.24) (выражения для остальных компонент имеют аналогичную структуру). Заметим прежде всего, что полученные формулы дают основание для исследования совокупности краевых задач, когда сама нагрузка и участок ее приложения остаются неизменными, а рассматриваемая точка стремится в бесконечность. Эти же формулы дают решение и такой эквивалентной задачи, когда фиксируется точка в области, а уменьшается участок приложения нагрузки, причем сохраняется вид краевого условия в безразмерной форме, [c.467]

Заметим, что если граничная поверхность 2 простирается до бесконечности, то проведенное выше рассуждение о поведении гармонических функций в бесконечности недействительно. В этих случаях требуется отдельное специальное аналогичное исследование, в частности, это необходимо для плоских задач, в которых поверхности 2 — бесконечные цилиндры. Однако и в этом случае требование об исчезновении скорости при удалении от внутренних границ области в бесконечность и требование об однозначности потенциала гарантируют единственность решения рассматриваемых основных краевых задач. [c.173]

Краевые условия на 2 могут быть разнообразными. Рассмотрим важный для гидродинамики частный случай, когда на 2 заданы нормальные составляющие вектора V. Для определенности рассмотрим внешнюю задачу, когда область 6) содержит бесконечно удаленную точку. [c.278]

Остается теперь показать, как применять эти результаты к решению краевых задач, в которых имеются круговые цилиндрические поверхности. Для иллюстрации ограничимся случаями, когда жидкость целиком находится в бесконечно длинном цилиндре, на поверхности которого поле скорости принимает произвольно заданные значения. Распространение метода на другие ситуации включает просто использование решений уравнений Лапласа, соответствующих рассматриваемой области, например неограниченной области вне цилиндра или области, заключенной между двумя концентрическими цилиндрами. Отметим, что для двумерного обтекания кругового цилиндра неограниченной средой решения не существует. [c.96]

Если аналитическая функция ограничена внутри области (в том числе, в бесконечно удаленной точке), а на границе области ее действительная часть постоянна, то сама эта функция постоянна. Следовательно, решение краевой задачи (167), (169) для функции имеет вид [c.49]

На рис. 7.17 приведен простой пример краевой задачи для неоднородного тела. Рассматриваемая область состоит из кольца а < < г с Ь с упругими постоянными Vi и Gi внутри круглого отверстия радиуса г = Ь в большой пластине с упругими постоянными Vj и Ог- Внутренняя поверхность кольца находится под действием нормальных напряжений = —р, а пластина свободна от напряжений на бесконечности. Решение этой задачи, удовлетворяющее условию непрерывности радиальных напряжений и смещений на поверхности контакта г = Ь, можно получить по стандартным формулам для толстостенных цилиндров (см., например, 127, стр. 125—126]) М. Радиальные и тангенциальные напряжения определяются формулами I [c.177]

Как известно (см. первую главу), основные граничные задачи плоской теории упругости для тел с разрезами сводятся к системе сингулярных интегральных уравнений по замкнутым (контуры отверстий и внешняя граница) и разомкнутым (разрезы) контурам. В некоторых частных случаях граничных контуров 70, 95] (круговая граница, бесконечная прямолинейная граница, система коллинеарных разрезов) возможно понижение порядка этой системы уравнений, что позволяет более эффективно находить ее численное решение. В данной главе (см. также работы 59, 60]) получены модифицированные таким образом сингулярные интегральные уравнения, когда в рассматриваемой области имеется прямолинейная конечная или полубесконечная треш,ина. (Случай конечной прямолинейной треш,ины рассмотрен в работах [58, 104].) Указанный подход, когда граничное условие на прямолинейной треш,ине выполняется тождественно, позволяет не только эффективнее находить численное решение задачи, но и сравнительно просто изучать действие сосредоточенных сил и разрывных нагрузок на берегах трещины, а также рассматривать краевые разрезы. Решение задач для областей с прямолинейной тре-Ш.ИНОЙ представляет особый интерес в механике разрушения (определение /С-тарировочных зависимостей для опытных образцов с трещинами, развитие трещин около концентраторов напряжений). [c.102]

Как видно из результатов расчетов, выполненных в работах [24, 53, 54] и приведенных на фиг. 13, величина собственного значения а является критерием интенсивности передачи возмущений вверх по потоку. С ростом а эффект уменьшается. Поэтому, согласно данным, полученным в работах [55, 561 для течения на плоской пластине, при вдуве газа через поверхность тела эффект усиливается, а при охлаждении поверхности резко ослабевает. Весьма важным является вопрос о постановке дополнительного краевого условия, используемого для отбора единственного решения задачи. В работе [49] для течений с х > О (1) показано, что если решение для основной части тела [длиной Ах/Г) II не содержит особой точки, в которой трение обращается в бесконечность, то в конце области давление не может изменяться на порядок величины [c.259]

Отметим, что области, для которых изучены динамические контактные задачи для анизотропных тел, — канонические (слой, прямоугольник, конечный и бесконечный цилиндры). Это связано с тем обстоятельством, что главным аппаратом, позволяющим осуществить сведение краевой задачи к интегральным уравнениям, является либо аппарат интегрального преобразования Фурье, либо метод разделения переменных. [c.304]

Метод решения обобщенной связанной векторной задачи Римана-Гильберта с несколькими точками разрыва краевых условий неизвестен. Для частного класса задач типа (5) путь к аналитическому решению был найден при использовании аналитического продолжения и конформного преобразования области векторная задача приводится к виду, когда факторизация становится возможной [21]. В процессе решения определяются шесть действительных постоянных. Для этого имеются четыре независимых условия на бесконечности (3), второе уравнение равновесия клина (отсутствие вращения) и условие на приращение смещения берегов трещины из (1), ибо задача ставится в производных от смещений. Минимальные значения координат концов разреза-трещины а, Ь определяются из энергетического критерия разрушения. [c.657]

Напряженное состояние в пластической области такой пластины при условии пластичности Мизеса — Генки определяется уравнениями равновесия (8.55 и пластичности (8.95). Краевые условия для данной задачи следующие на свободном крае отверстия при г == а о, = 0 на бесконечности при г = оо о ->/ . Тогда [c.224]

Остановимся еще на одном, казалось бы парадоксальном, примере. Из решения плоской задачи теории упругости для бесконечной области (безразлично — бесконечной или полубеско-нечной) будет следовать, что при неравенстве нулю главного вектора внешних сил перемещения оказываются бесконечными. В этом нет ничего удивительного, поскольку при рассмотрении плоской задачи (допустим, в случае плоской деформации) с позиций пространственной задачи оказывается, что суммарное усилие обращается в бесконечность. Следует заметить, что переходы к бесконечному телу при решении задачи в напряжениях и перемещениях не эквивалентны друг другу. Если в напряжениях переход и возможен, то в смещениях он может и быть ошибочен, что и подтверждается приведенным примером. Для устранения же бесконечных смещений можно предложить, например, такой спосЪб. После того как решение в деформациях определено достаточно точно из решения для бесконечного тела, находят по ним смещения в истинном теле, исходя из его фактических размеров и краевых условий. Разумеется, строгое обоснование предлагаемого подхода затруднительно для общего случая, но в частных задачах, по-видимому, оно может быть достигнуто. [c.304]

В пятой главе изучается и обосновывается положение принципа локальности, связанное с существованием ближнего порядка в мно-гоч 1СТичном взаимодействии элементов структуры композитов. Раз-работан метод анализа неоднородных полей деформирования в компонентах композитов, названный методом локального приближения. Суть метода заключается в замене краевой задачи для бесконечной области, заполненной микронеоднородной средой и находящейся в условиях произвольно заданного макрооднородного напряженного со- [c.10]

Как и для первой основной задачи, если область содержит бесконечную точку, то необходимо также налагать условие (Т5). Отличие от первой задачи состоит в том, что для конечной области необходимо на краевые условия налагать определенные ограничения — требование самоуравновешенности приложенной нагрузки [c.246]

Рассмотрим один пример, вызывавший довольно долго противоречивые мнения [76]. Ставилась задача о расчете напряжений в треугольнике (плоская задача), когда на одной грани приложено нормальное давление, пропорциональное расстоянию до угловой точки, на другой грани —равные нулю напряжения, а третья грань была закреплена ). Вместо нее решалась задача для клина, когда одна грань свободна от нагрузки, а на другой грани нормальная нагрузка пропорциональна расстоянию до вершины (т. е. условия истинной задачи переносились на клин, а граница, где были заданы смещения, отодвигалась в беско-I нечность). Такая задача элементарно решается методом разделения переменных. Однако полученное решение даже вблизи от вершины является ошибочным. Было дано разъяснение [96] и показано, что для такой области, как клин (при угле, большем некоторого), вследствие неединственности решения малые вариации краевых условий могут вызвать сколь угодно большие изменения в напряжениях. Более того, оказалось, что решение задачи для клина, когда на одной его грани приложена указанная нагрузка вплоть до некоторой точки, а дальше равна нулю при стремлении этой точки к бесконечности, не приводит к тому решению, которое получается методом разделения переменных. [c.304]

Тогда для генерирования собственно термоструктурных полей на бесконечности области Q (или на ее границе Зц — при численной pear лизации решения краевых задач) необходимо задать однородное распределение напряжений ij, "снимающее в центральном элементе ш упругие напряжения и деформации, которые соответствуют макронапряжениям [c.93]

При построении тензоров Грипа для второй краевой задачи мы предполагаем, что имеется некоторая точка х G F, в которой вьшолнены условия закрепления (7.67) гл. 1 эта точка для неограниченной области может быть отнесена на бесконечность. Тензором Грина 2-го рода той же краевой задачи (3.13), (3.14) [c.96]

Интегральные представления комплексных потенциалов Ф (г) и Y (г) (1.145) являются общим решением двумерной бигармони-ческой задачи, содержащим две произвольные комплексные функции g (/) и q (/) (или четыре действительные функции), что позволяет с их помощью изучать самые разные краевые задачи для областей с разрезали . В частности, удовлетворив с помощью представления (1.145) и формул (1.26), (1.30), (1.42) граничным условиям плоской задачи теории упругости для бесконечной плоскости с разрезами, когда на одном берегу разреза заданы смещения, а на другом — напряжения, найдем сингулярные интегральные уравнения второго рода. При использовании условий неидеального контакта упругих тел, когда напряжения и смещения берегов разреза связаны линейными зависимостями (см. [40, 172, 175, 261]), легко получить сингулярные интегро-дифференциальные уравнения типа Прандтля для тел с тонкостенными упругими включениями 238]. Интегральные представления могут быть использованы при решении различных смешанных задач для тел с разрезами, задач о полосах пластичности, моделируемых скачками перемещений [23], и др. [c.38]

Кусочно-гладкая криволинейная трещина. Пусть в бесконечной плоскости имеется криволинейный разрез L, берега которого нагружены самоуравновешенными усилиями p t) ( (0=0)> напряжения на бесконечности отсутствуют. Краевая задача для такой области приводится к решению сингулярного интегрального уравнения (1.67) при условии (1.69). [c.67]

Криволинейное отверстие с угловыми точками на контуре. Пусть в бесконечной плоскости имеется криволинейное отверстие, на контуре L которого задана са-моуравновешенная нагрузка p t), а напряжения на бесконечности отсутствуют. Краевая задача для такой области приводится к сингулярному интегральному уравнению (1.91). Предположим, что контур L является кусочно-гладким, состоящим из N гладких [c.72]

В настоящей главе рассматриваются следующие статические задачи термоуп ругостж пространственная для бесконечной среды с конечным числом включений, имеющих форму параллелепипеда, при постоянной температуре одномерная для многослойного цилиндра, поверхность которого поддерживается при постоянной температуре для полого цилиндра, материал которого представляет собой композит, состоящий из двух чередующихся между собой концентрически расположенных слоев с различными-фнзико-механнческимн характеристиками, а внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при различных температурах двумерная для кусочно-однородного полупространства, нагреваемого действующими на некотором расстоянии от краевой поверхности источниками тепла, плотность которых периодически изменяется по координате двумерная для полубесконечной пластинки с тонким инородным пластинчатым включением, параллельным ее боковым поверхностям, нагреваемой движущимся по краевой поверхности линейным источником тепла, При этом используются метод возмущений и метод, основанный на использовании аппарата асимметричных и симметричных обобщенных функций. Для пространственной задачи построено приближенное решение, на основе которого показано, что внутри включения напряжения изменяются незначительно, касательные напряжения везде, кроме близких окрестностей вершин параллелепипеда, в которых они имеют логарифмическую особенность, незначительны по сравнению с нормальными напряжениями. Для кусочно-однородного цилиндра находятся замкнутые решения, единые для всей области их определения. [c.233]

При постановке вычислительных краевых задач для уравнений Навье Стокса несжимаемой жидкости возникают те же ситуации, что и в случае сжимаемого газа. Фактически границы областей, в которых происходят дискретизадаи уравнений, могут быть типизированы в виде границ, где параметры потока предполагаются невозмущенными, границ симметрии, где формулируются условия симметрии течения, свободных границ, возникающих при замене бесконечных областей конечными, а также твердых границ, на которых выполняются условия либо непротекания, либо прилипания. [c.185]

Результаты расчетов эффективной проводимости сравнивались с результатами численного моделирования неоднородной среды. С этой целью в квадрате, покрытом разностной сеткой 40X40, случайным образом генерировались реализации неоднородного поля, проводимость которого равна единице, с элементарными включениями проводимости а, концентрация которых равна Р. Значения проводимости в соседних ячейках независимы. Решая соответствующую краевую разностную задачу для генерированного поля, вычисляли эффективную проводимость. Этот процесс повторялся несколько раз. Результаты расчетов отмечены на рис. 20, 21 крестиками. Кривая 2 получена при расчете по формулам (6.66). Учитывая некоторое различие в постановке задач (дискретное и непрерывное поле, конечная и бесконечная области, различие в форме включений и т. д.), результаты сопоставления следует считать удовлетворительными, тем более для случая а== 0,25. Здесь же на рисунках приведены <а>, <о > и их полусумма в зависимости от (1—Р). При этом в случае а==0,25 [c.119]

Разложение решения уравнений Навье - Стокса для стационарных плоскопараллельных течений несжимаемой жидкости в ряд по степеням числа Рейнольдса и подчинение этого ряда условиям прилипания к прямолинейным границам около точки их пересечения приводит к асимптотике решения в окрестности такой точки. Использование главной части полученной асимптотики в качестве граничного условия на некотором удалении от угловой точки позволяет ставить краевые задачи для уравнений Навье - Стокса в замкнутых областях. Примеры численного решения подобных задач иллюстрируют возникновение бесконечных систем вихрей в окрестности точки излома границы области течения. [c.62]

При наличии в теле трещины для суждения о характере ее распространения и тем самым для суждения о прочности также необходимо знание напряженного состояния. Задача онределения нанряжешюго состояния около конца трещины отличается от обычных задач онределения концентрации напряжений тем, что геометрически линеаризованная постановка краевых условий и физически линейная теория упругости приводят к бесконечным напряжениям и бесконечным градиентам напряжений в конце тонкого разреза. При этом понятие коэффициента концентрации напряжений теряет смысл. Разумеется, мол<ио было бы пытаться сохранить числовое безразмерное выражение коэффициента концентрации напряжений посредством учета сложных детальных особенностей деформации материала у конца разреза. Однако для решения задач о трещине совсем не обязательно интересоваться, детальными процессами, идущими в весьма малой окрестности конца разреза [155, 168]. Достаточно знать характер и интенсивность напряженного состояния в области, окружающей конец разреза вместе с малым объемом, где сосредоточен механизм разрушения (рис. 12.1). Это означает отказ от использования коэффициента концентрации напряжений в пользу a HMntoTH4e Koro [c.79]

ЗОММЕРФЕЛЬДА УСЛОВИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ — один из возможных видов асимптотип. условп11 (граничных условий па бесконечности), к-рые выделяют единств, решения краевых задач для ур-ний, описывающих установившиеся колебания. 3. у. и. выделяют расходящиеся волны, источники к-рых находятся в огранич. области иространства. Впервые введены в 1912 А. Зоммерфельдом для Гельмгольца уравнения Au-f-f ti=/(r). В пространстве трёх измерений 3. у. и. для волнового поля и таковы при г—>-оо lim r du/dr—iku)=0. В двумерном пространстве при г- -йо Urn / dujdr—iku)=0. Всякое решение [c.87]

Компоненты тензора Aijmn определяются путем решения последовательности краевых задач для области (в общем случае несимметричного включения таких задач шесть), когда на бесконечности задано одноосное растяжение и чистый сдвиг. [c.90]

Хотя ряды при решении нелинейных краевых задач используются чрезвычайно широко, далеко не всегда они обладают перечисленными свойствами. Так, ряды Тейлора зачастую сходятся медленно и при этом в небольших областях, применение рядов Фурье для нелинейных уравнений приводит, как правило, к бесконечным системам нелинейных уравнений для определения коэффициентов, которые необходимо обрезать и решать затем приближенно. В то же время наличие точных методов нахождения коэффициентов рядов позволяет даже при небольшой области сходимости и медленной скорости сходимости ряда применять современную технику аналитических продолжений (например, аппроксиманты Падэ), ускорения сходимости, определять характер особенностей. Разумеется, каждый конкретный ряд позволяет получить аналитическое решение в какой-либо области в предположении, что в ней отсутствуют разрывы. Тем не менее, при построении обобщенных решений, в частности уравнений гиперболического типа, выделяя линии разрывов решений или каких-либо их производных, можно с помощью операций сшивок рядов получать конструктивные описания решений и в этих случаях. [c.238]

Особо следует отметить работу 3. С. Аграновича, В. А. Марченко, В. П. Шестопалова [89], в которой по существу определены основные направления в решении проблем резонансного рассеяния волн периодическими дифракционными решетками. К моменту ее появления было ясно, что основным средством электродинамического анализа в резонансной области частот должен стать численный эксперимент. Необходимо только так переформулировать исходную краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных, чтобы можно было эффективно использовать вычислительную технику с прогнозируемой погрешностью и в реальном масштабе времени получать необходимые результаты. В [891 реализована схема, отработанная в рамках классического функционального анализа. Путем выделения и обраш,ения (метод полуобраш,ения, левая регуляризация) статической части задача сведена к канонической фредголь-мовой. На этом формально ее решение можно считать законченным, так как для операторных уравнений фредгольмового типа из единственности следует существование решения, а свойства компактности обеспечивают сходимость вычислительных процедур, основанных на редукции бесконечных систем линейных алгебраических уравнений [90]. [c.8]

В последние десять — пятнадцать лет у нас в стране и за рубежом широкое развитие получили два прямых метода исследования задач дифракции. Один основан на приближенном решении строгого интегрального уравнения, полученного методами теории потенциала, а другой — на приближенном решении бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями на двух концах [47, 52, 206, 257, 258, 263 —265]. По эффективности эти методы эквивалентны методу частичных областей, приближенное решение обычно имеет относительную погрешность 2—5 %, а основные результаты в силу больших затрат машинного времени получены пока при 1/Х < 1,5, где I — характерный размер решетки. Построение строгого и эффективного решения задачи дифракции волн на эшелетте стало возможным благодаря использованию идеи частичного обращения оператора задачи. В [25, 58 при реализации этой идеи обращалась часть матричного оператора, соответствующая решетке из наклонных полуплоскостей [82, 83, 11, 112, 262]. Использование процедуры полуобращения в иной форме явилось предпосылкой для появления другого строгого метода [54, 266]. Ключевым моментом в нем является выделение и аналитическое обращение части решения, обеспечивающей правильное поведение поля вблизи ребер. Эффективности этих методов равнозначны, так как при одинаковых затратах машинного времени обеспечивают одинаковую точность окончательных результатов. Отметим, что применение метода работы [54] ограничено и пока не получило широкого развития на решетках другой геометрии, отличных от 90-градусного эшелетта. В то время как метод, развитый в [25, 58], привел к построению эффективных решений задач дифракции электромагнитных волн на эшелетте с несимметричными прямоугольными и острыми зубцами при произвольном падении первичной волны и любых соотношениях между длиной волны и периодом решетки. Результаты данной главы получены методом, приведенным в [25, 58]. [c.142]

В данной главе предложен способ численного решения сингулярного интегрального уравнения симметричных задач для областей с краевым прямолинейным разрезом на оси симметрии, получающегося из уравнения для криволинейного разреза в бесконечной плоскости, который начинается и заканчивается в точках противоположных берегов прямолинейной трещины. Если криволинейный разрез пересекает прямолинейную трещину во внутренней точке, построенное таким образом интегральное уравнение одновременно определяет решение задачи для краевой трещины, находящейся во внутренней и внешней взаимодополняющихся областях. [c.102]

Наиболее известные из имеющихся результатов отйосятся к изучению бесконечного пространства с начальными условиями (задача Коши), краевых задач для полупространства и некоторых специальных областей, допускающих разделение переменных. [c.312]

Интегральные члены в формулах (2.46) выражают частное решение неоднородной системы (2.45), а внеинтегральные члены представляют общее решение соответствующей однородной системы уравнений. Присутствие в формулах (2.46) трех произвольных аналитических функций ф, -ф и означает, что при этом можно обеспечить выполнение трех краевых условий. Кроме того, формулы (2.46) позволяют строить бесконечное множество полных систем частных решений системы (2.45), при помощи которых можно решать. различные краевые задачи для областей частного вида (круг, круговое кольцо и т. п.). Эти частные системы решений можно использовать также для аппроксимации решений для областей любого вида. [c.277]

Вопрос о том, относить те или иные задачи к классическим и неклассическим, является су0ъективным. Классическими будем считать задачи динамической механики разрушения, рассматриваемые в рамках идеализированной линейно-упругой модели хрупкого динамического разрушения, которые допускают точные или приближенные аналитические решения. Это задачи для областей, содержащих бесконечно удаленные точки (пространство, полупространство, слой в трехмерном случае плоскость, полуплоскость, полоса в двумерном). Такие задачи могут быть сведены к смешанным краевым задачам для уравнений с частными производными. Для их решения применяются простые и хорошо разработанные методы интегральные преобразования, дуальные интегральные уравнения, теория функций комплексного переменного, метод Винера — Хопфа, интегральные уравнения Фред-гольма второго рода, сингулярные интегральные уравнения. Эти методы подробно изложены в известных курсах математической физики 121, 56, 208, 209, 249, 259, 260 и др.], а также более специальных руководствах [265, 266, 278, 288, 299, 313, 350, 352 и др.]. [c.35]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...