Регулярное решение

Одна из трудностей решения уравнений Навье—Стокса при больших числах Рейнольдса связана с сингулярностью — наличием малого параметра при старших производных. Созданная Прандтлем [1] теория пограничного слоя позволила в значительной мере преодолеть эту трудность. Разделение области решения на пограничный слой и подобласть регулярного решения вызвало к жизни специальную математическую теорию. [c.179]

Пограничный слой представляет собой подобласть, в которой произведение малого параметра на производные сравнимо по абсолютной величине с конвективными членами уравнений. В обычных независимых переменных, например, декартовых, пограничный слой или прилегает к обтекаемым стенкам, к которым жидкость прилипает, или разделяет подобласти регулярного решения. Здесь в плоском и осесимметричном случаях проводится замена переменных, при которой обычный пограничный слой переходит в область регулярного решения, а область регулярного решения может перейти в пограничный слой [2]. [c.179]

Для того, чтобы воспользоваться полученным результатом на практике, необходимо иметь результаты о достаточной регулярности решения в частности, если используются конечные элементы Лагранжа класса С с А=1, то для применения теоремы 4.10 необходимо иметь иеЯ (Й), что в общем случае неверно, так как теорема существования в рассматриваемом случае дает лишь иеЯ ( ). [c.194]

Отметим, что при исследовании вопроса о существовании и единственности решения наибольшие трудности возникают при проверке условий непрерывности (в соответствующем смысле) функционала J (v), в свою очередь связанные с исследованием регулярности решений получаемых краевых задач [типа (5.432) — (5.434), (5.449), (5.455) и т. д.] ввиду сложности эти вопросы здесь не затрагиваются. [c.307]

Перейдем к вопросу о единственности решений и начнем с рассмотрения статических задач. Будем предполагать, что оператор Ламе от смещений является интегрируемой функцией. Тогда для этих смещений в области О, ограниченной, вообще говоря, кусочно-гладкой поверхностью 5, справедливо третье неравенство Бетти (4.26) гл. И. Пусть 1 (р) и 2(р) — два различных регулярных решения, удовлетворяющие одним и тем же краевым условиям первой, второй или сразу в общем случае смешанной задач. Тогда интеграл в правой части (4.26) гл. II для разности смещений окажется равным нулю. Поскольку же подынтегральное выражение в левой части является положительно определенной формой, то из равенства нулю интеграла будет следовать, что подынтегральное выражение есть тождественный нуль. Следовательно, напряжения будут обращаться в нуль, что приводит к смещениям тела как жесткого целого. Однако в случае первой и смешанной задач необходимо исключить это смещение, поскольку тогда нарушаются условия на той части границы, где заданы смещения. [c.251]

Кривизны поверхности видоизмененные краевые условия будут иметь разрыв в производных, что по-прежнему будет приводить к неограниченности напряжений ) (разумеется, меньшего порядка, чем в случае сосредоточенной силы). Конечно, определение этих напряжений численными методами затруднительно, но это и не всегда требуется для практических расчетов, поскольку в исходной задаче уже осуществлен переход к сосредоточенной силе (а это и делает излишним точный анализ напряженного состояния в окрестности особой точки). Если же суперпозиция осуществляется за счет решения для сосредоточенной силы, приложенной к криволинейной поверхности (с теми же радиусами кривизны), то получается регулярное решение. [c.303]

Представляется естественным к точкам, в которых нарушается регулярность решения, относить и те точки, в которых происходит изменение характера краевых условий (даже, если сама граница гладкая). Указанные особенности нельзя выявить заранее, однако весьма важные сведения могут быть все же получены. В работе [122], относящейся к поведению решения общих эллиптических краевых задач (и, следовательно, задач теории упругости) в окрестности нерегулярных точек границы, установлены следующие результаты. Показано, что решение в окрестности этих точек представляется в виде асимптотического ряда и бесконечного дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых задач для модельных областей (для конуса, если на поверхности коническая точка, для клина, если угловая линия). Эти решения зависят только от локальных характеристик (величины телесного или плоского угла и типа краевых условий). В ряде случаев (они далее будут подробно рассмотрены) построение этих решений сводится к трансцендентным уравнениям. Величины же коэффициентов при них зависят от задачи в целом. [c.306]

При этом наряду с краевыми условиями (8.52) или (8.53) из условий регулярности решения при 0 = 0 вытекают равенства [c.321]

Допустим, что решается задача II. Тогда плотность потенциала простого слоя (т. е. решение интегрального уравнения) будет принадлежать классу С° 5 и, согласно сказанному в 1, потенциал простого слоя будет представлять собой функцию класса С Р, являющуюся регулярным (классическим) решением краевой задачи. Аналогичное же рассмотрение задачи I не приводит к такому результату. Поскольку плотность по-прежнему принадлежит классу С Р, то потенциал двойного слоя будет принадлежать классу С° Р, который не представляет собой регулярного решения. В этом случае о решении надо говорить как об обобщенном. [c.569]

Выясним дополнительно, при каких условиях в случае задачи II" смещения на бесконечности окажутся ограниченными (тогда метод потенциала приведет к регулярному решению). Для этого проинтегрируем уравнение (4.10) по контуру L (исходя из его представления в действительной форме) [c.592]

Поэтому требование регулярности решения в бесконечности приводит к условию [c.592]

Общее решение уравнения (4.19) регулярно для всех Ф О, со. Регулярное решение при = 0, удовлетворяющее условию /(0) = 1, представляется формулой [c.139]

Как было сказано в 18, мы должны разыскивать решения однозначные, конечные и непрерывные (регулярные решения). Решением уравнения (6) является функция [c.99]

Уравнение (9) является уравнением шаровых функций и имеет регулярные решения лишь при условии, что [c.100]

При W это уравнение имеет регулярные решения, если W принимает следующие собственные значения [c.100]

Система дифференциальных уравнений (6.18) является системой Коши для неизвестных функций il , 0 и х- Правые части (6.18) следует полагать регулярными функциями от s, поэтому система допускает единственное регулярное решение [c.141]

Эта система является системой Коши для неизвестных функций F, 0, X, аналогичной системе (6.18), выведенной для сферической кривой. Правые части уравнений (7.9) предполагаются регулярными функциями от S, и система допускает единственное регулярное решение [c.156]

Рассмотрим область Б, и пусть S — ее граница. Предположим что уравнения Стокса имеют регулярное решение в 5, и обозначим через х х ) любую точку внутри В, в которой разыскивается решение уравнений (3.4.1) и (3.4.2). Чтобы получить поле, создаваемое распределенным источником в точках Р = х , х , х , вычислим вклады в поле соответствую-ш ие источникам в каждой элементарной точке Р, и сложим их все. Правомочность этой процедуры зависит, конечно, от линейности основных уравнений. Чтобы получить решение, зависяш ее от любых двух точек Р и Р введем тензор второго ранга t k — = tjk (Р, Р ) следующим образом [c.98]

Если удается найти тензоры и такие, что внутри объема, окруженного замкнутой поверхностью их можно представить в виде Tjh = tjk + jk, Pk = Pk Л- где zik — регулярное решение уравнений Стокса внутри 5, то можно выразить результат (3.4.17) через Tjx и Рд. В частности, если тензор Tj выбран так, что он обращается в нуль в точке Р, когда она лежит на границе 5, то получаем [c.100]

Представляет единственное регулярное решение при д = 1 (в полюсах сферы О = О, О — зх). Путь интегрирования в выражении VI. 3.2) предполагается идущим от я = оо по вещественной оси, и функция Qn(ix) вещественная при 1 л1> 1. [c.898]

Регуляризация уравнения (3.73). Регуляризацию уравнения (3.73) целесообразно сделать по двум причинам. Во-первых, в явном виде будет получен характер решения на концах зоны контакта и автоматически будет доказана единственность такого решения. Во-вторых, полученное регулярно решение будет являться уравнением Фредгольма второго рода, которое хорошо изучено с точки зрения численной реализации. [c.156]

В силу регулярности решение систем (3.98) ограничено по модулю числами и М<2) (3.103) и (3.104) [20] [c.164]

Регулярные решения системы (1.1) ищем в виде [c.230]

Следовательно, регулярное решение уравнения (7.54) будет представляться в виде [c.291]

Все другие регулярные решения не проходят через характеристи- [c.259]

Систему (29), (30) необходимо дополнить условиями регулярности решения при х = 1 у( 1) = 0, 1у ( 1) < с и нормировки [c.179]

Обратимся к уравнениям (6), в которых случай ге = 2 не исключен. Устремив Рг->0 или КеО (Л- оо) из (6) приходим к классическим уравнениям Лежандра, имеющим нетривиальные регулярные решения только нри целочисленных значениях п, отвечающих собственным значениям Яд = и(1 — тг). Цри малых, но ко- [c.263]

Можно показать, что при Рг = О неоднородная краевая задача (25), (27) неразрешима при всех числах Рейнольдса, так как в этом предельном случае однородное уравнение есть классическое самосопряженное уравнение Лежандра, имеющее регулярное решение, а условие ортогональности не выполнено. Действительно, решение [c.272]

При 2 > о, у > о главными членами являются слагаемые левой части последнего равенства с ехр(г + у), и эта область является областью регулярного решения. При 2 < Ine, у < Ine, главными являются члены, содержащие е, хотя в этой области функции и, v, р меняются слабо. При -00 <2<1пе, у > О главными являются члены еехру, и область имеет все признаки пограничного слоя. Ей аналогична область 2 > О, -00 < у < Ine. [c.181]

Введем понятие регулярного решения. Классическая постановка началы-ю-граничной задачи для дифференциальных уравнений требует, чтобы решение обладало определенными производными внутри области вплоть до границы. В применении к уравнениям теории упругости это требование (определяющее так называемое регулярное рещение) означает, что смещения должны иметь в области непрерывные вторые производные, а сами функции и их первые производные должны быть непре- [c.242]

Заметим, что если наложить на поверхность и краевые условия дополнительные ограничения, то можно прийти к классическому решению. Действительно, пусть 5еД2(а) и F q) е Р. Тогда решение интегрального уравнения будет принадлежать классу С Р и потенциал двойного слоя будет представлять собой регулярное решение (функцию класса С Р). [c.569]

В последнее время все более широкое распространение в теории упругости получает метод граничных интегральных уравнений (МГИУ). Эффективность метода позволяет применить его и для решения задач механики разрушения. Сущность этого метода заключается в сведении соответствующей задачи теории упругости к решению интегрального уравнения, а основное его преимущество по сравнению с другими численными методами состоит в том, что он понижает размерность задачи. Остановимся вкратце на выводе интегральных уравнений основных пространственных задач теории упругости и методах их решения [231]. Пусть S — некоторая достаточно гладкая замкнутая поверхность, а и D — области, расположенные внутри и вне ее ( ) = )+ + ) ). Если однородное изотропное упругое тело занимает конечный объем D , то задача называется внутренней. Если же тело занимает бесконечный объем D , то задача называется внешней. Требуется найти регулярное решение уравнения статики упругого тела (2.2) [c.100]

Вейскопфа 494 Регулярное решение 91 Редкие земли 233, 288 [c.638]

Таким образом, применение oпpяжeн pыx уравнений и формул теории возмущений дало возможность построить регулярные решения, учитывающие влияние различных локальных факторов на характеристики батареи последовательно скоммутированвых ЭГЭ. Такой результат сложно получить другими методами и тем более в рамках традиционной электротехники. Можно отметить полезность применения формул теории возмущений (5.83) и (5.88) при экспериментальном исследовании характеристик преобразователей, при контроле и диагно- [c.165]

КЙРХГОФА ФОРМУЛА — ф-ла, выражающая регулярное решение и ос, f) неоднородного волнового уравнения в трёхмерном пространстве [c.370]

Таким образом, при Ого < 50,3 и Рг = О решение задачи заведомо существует, а при Ого > 88,5 и любом Рг регулярное решение поставленной краевой задачи заведомо отсутствует. Численный расчет дает Огто = 63,56. [c.175]

Нетрудно найти регулярное решение (14) в виде полинома от X степени к при следуюгцих значениях числа Рг [c.261]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...