Теорема взаимности Бетти

Теорема взаимности Бетти [c.210]

Это и есть теорема взаимности Бетти. Из нее следует, что работа первой системы внешних сил на перемещениях упругого тела, вызванных второй системой внешних сил, равна работе второй системы внешних сил на перемещениях того же тела, вызванных первой системой сил. [c.211]

Рассмотрим четные итерации, в которых энергия деформации тела V складывается из работы сил на всей поверхности тела LUS. Итерационный процесс (3.15) минимизирует на S работу реакций на заданных из постановки задачи перемещениях 5 = и. Покажем уменьшение работы реакции на S при переходе от нулевой итерации (и =0,m s =u, p g =P5,M i =tPi, P l =0) ко второй (л = 2, Is = u, p s =Р5,м1л = ,pli =pi)- Из теоремы взаимности Бетти для этих двух состояний следует [c.75]

Формулировка и доказательство теоремы взаимности (Бетти, 1872). Рассматриваются два состояния равновесия линейно-упругого тела, называемые далее первым и вторым. По векторам перемещений и, и", задающих эти состояния, определяются тензоры деформации [c.167]

Из свойства симметрии I вытекает, что в теории оболочек, так же как в теории упругости, справедлива теорема взаимности Бетти. Из соотношений (5.32.3) вытекает, что в теории оболочек выполняется теорема единственности, аналогичная теореме Кирхгофа в теории упругости. Доказательство обоих утверждений основано на таких же рассуждениях, как в теории упругости [391. Остановимся только на теореме единственности. [c.68]

ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ БЕТТИ [c.320]

С теоремой Клапейрона тесно связана и теорема взаимности Бетти. Пусть оболочка находится в равновесии под действием некоторой системы внешних сил. Эти силы, а также отвечающие им усилия и моменты, снабдим значком < >. Введем другую аналогичную систему величин, снабжая ее значком <2). Подсчитаем работу внешних сил первой системы на перемещениях второй [c.320]

Если для формулировки алгоритма непрямого МГЭ нам достаточно было воспользоваться простыми физическими соображениями и приемом введения фиктивной системы в неограниченной области, то прямой метод требует более изощренного подхода, который оказывается тесно связанным с использованием интегральных тождеств [7], например второй формулы Грина — уравнение (2.20) и теоремы взаимности Бетти — уравнение (2.30). Тем не менее в обоих методах для определения компонент матричных ядер в окончательных системах уравнений используются те же самые фундаментальные решения для неограниченной области. [c.50]

Необходимо заметить, что теорема взаимности Бетти по своей сути связывает решение двух различных краевых задач для одной и той же области. Она является следствием линейности уравнений равновесия и закона Гука- Само фундаментальное решение, которое базируется на рассмотрении задачи о сосредоточенной силе в бесконечной упругой среде, может быть интерпретировано как функция Грина для бесконечно упругой среды или функции влияния. [c.52]

Теорема взаимности работ была сформулирована Э. Бетти [11.5] и Рэлеем [ 11.6 —11.8], поэтому она часто называется теоремой взаимности Бетти — Рэлея. [c.453]

Теорема взаимности Бетти. ...............................79 [c.4]

Теорема взаимности Бетти 79 [c.79]

Очень полезной для приложений является теорема взаимности Бетти, которая связывает между собой различные состояния равновесия линейно-упругого тела при разнообразных нагрузках. Рассмотрим для упругого тела (объемом V и поверхностью 8) два состояния равновесия, называемые соответственно I и II, характеризуемые величинами и, е у вызванными силами рр и а также вызванными силами [c.79]

Теорема взаимности Бетти [c.388]

Отправной точкой наших рассуждений является теорема взаимности Бетти [c.145]

Теорема Клапейрона может быть использована при доказательстве теоремы взаимности Бетти такой способ делает более ясным механический смысл выкладок. [c.156]

Мы получили систему двух интегральных уравнений первого рода. Решение этой системы уравнений дает неизвестные функции p Q ) и 5(р ). После подстановки этих функций в интегральное выражение (24) получим составляющие перемещения упругой пластинки, представленной на рис. 6.18, а. Заметим, что ядра интегральных уравнений (25) симметричны, как вытекает из теоремы взаимности Бетти. [c.356]

Если вместо поверхностных сил заданы поверхностные Перемещения, то решение задачи ищется в том же виде (1) формулы для определения коэфициентов остаются в принципе теми же. Необходимо только принять во внимание то, что, согласно теореме взаимности Бетти, имеем [c.164]

Теоремы взаимности Бетти и Максвелла [c.90]

Работа сил первого состояния системы на перемещениях во втором состоянии ее равна работе сил второго состояния на перемещениях в первом состоянии (теорема взаимности Бетти-Максвелла). [c.155]

Использование статического уравнения (27.2) позволяет легко установить связь между формулировками теоремы взаимности Бетти для статики и динамики. По теореме Бетти для линейной консервативной системы в статике имеет место принцип [c.155]

В ограниченной замкнутой области А справедлива теорема взаимности Бетти [c.144]

Но ди /с11 = О, а по теореме взаимности (Бетти) [c.22]

Этот результат известен как теорема взаимности работ (теорема Бетти) и означает, что работа сил реального состояния на перемещениях другого допустимого состояния (параметры допустимого состояния отмечены символом б) равна работе сил допустимого состояния на перемещениях реального состояния. При Hi=6Hi=0 из (1.116) следует [c.32]

Уравнение (2.31) означает, что работа сил системы 1 (реальной системы) на перемещениях системы 2 (некоторой другой допустимой системы, которой соответствуют переменные, отмеченные звездочкой) равна работе сил системы 2 на перемещениях системы 1 (этот результат хорошо известен как теорема взаимности, принадлежащая Бетти [6]). Мы могли бы воспользоваться этой теоремой или принципом виртуальных перемещений в качестве отправной точки для получения нашего решения, однако более общий подход, остающийся одинаковым во всех рассматриваемых задачах, основан на использовании уравнений типа (2.27) и (2.29). Уравнение (2.31) с учетом (2.29) и основного интегрального свойства дельта-функции переходит в уравнение [c.46]

Так же как и в статическом случае, который обсуждался в гл. 4 и 6, из динамической теоремы взаимности могут быть получены динамические интегральные уравнения теории упругости. Динамическая теорема взаимности [3, 48—51] фактически является непосредственным обобщением классической теоремы Бетти в статической теории упругости и может быть сформулирована следующим образом. [c.290]

Матрица К в общем случае является несимметричной, и, следовательно, условия теоремы взаимности Максвелла — Бетти не выполняются. Для получения симметричных уравнений матрицу К можно заменить на [c.395]

Утверждение 7.5 теорема взаимности теорема Бетти). Пусть и 5 ,, Pj и 5 — системы обобщенных сил и соответствующих им перемещений для двух состояний равновесия упругого тела. Тогда [c.215]

Это теорема взаимности Максвелла ), Бетти ) и Рэлея ). Она является обобщением соотношений (14) и (15), обычно известных как соотношения взаимности Максвелл а . [c.21]

Стр. 20 ( 12). Теорема взаимности. Соотношение (14) между коэффициентами влияния обычно приписывают Максвеллу, а более общую теорему Бетти и Рэлею. [c.658]

Широкое применение в исследовании статически неопределимых систем получили линии влияния. Построение их основано на теореме взаимности, доказанной Максвеллом для простого случая двух сил общее доказательство этой теоремы было дано позднее итальянским ученым Бетти ). Лорд Рэлей распространил теорему также и на колебания упругих систем ), доказав, что если сила гармонического типа с заданными амплитудами и периодом действует на систему в точке Р, то получающееся в результате этого воздействия перемещение во второй точке Q будет иметь ту же амплитуду и ту же фазу, что и перемещение в точке Р, если бы сила была приложена в Q. Отсюда он вывел теорему взаимности для статических условий как частный случай, в котором сила имеет бесконечно большой период ). В этой работе Рэлей пользуется понятиями обобщенной силы и соответствующего обобщенного перемещения, рассматривая силу и пару, в обычном смысле, как частные случаи. Он сопровождает это обобщение следующим замечанием Для тех, кому понятие обобщенных координат представляется недостаточно отчетливым, здесь можно привести доказательство более специального случая этой общей теории... . Рэлей подтвердил правильность своей теоремы опытами и, производя их для балки, получил линию влияния для прогиба в заданном поперечном сечении. Это— первый случай построения линии влияния экспериментальным путем. [c.383]

Понятие особенностей, определяемых силовым тензором, было использовано Лауричелла (1895) для представления компонент тензора деформации упругого тела через внешние силы. Вывод формул Лауричелла основан на применении теоремы взаимности Бетти к двум состояниям 1) первое состояние создается поверхностными силами F (при отсутствии объемных), причем через и, Т обозначаются вектор перемещения и тензор напряжения в этом состоянии 2) второе состояние и, Т задается а) действием в точке Q силового тензора, определяющего вектор перемещения и тензор напряжения Т и и б) наложением на это действие напряженного состояния Нг, Та снимающего нагружение поверхности О тела. Вектор перемещения в этом состоянии и тензор напряжения равны [c.212]

В справедливости представления (IX.67) легко убедиться на основе полученных выше результатов. Действительно, функция (IX.67) всюду, кроме контура L, удовлетворяет уравнению (IX.6), поскольку функция Ф (г, i) является решением этого уравнения. При р = О из формулы (IX.67) приходим к представлениям (VIII.28) и (IX.64). Из соотношения (IX.52) видно, что скачки функции (IX.67) и ее производных до третьего порядка включительно при переходе через контур L будут такими же, как и в случае плас-тины, т. е. величины 1и] и т. д. в формуле (IX.67) действительно являются скачками смещений и и т, л. Заметим, что представление (IX.67) можно получить также с помощью теоремы взаимности Бетти для пологих оболочек. В частности, можно воспользоваться построенным таким путем в работе [17] представлением функции прогиба W (х, у) через интеграл по замкнутому контуру С. Как следует из структуры уравнений (IX.3), аналогичное представление для функции напряжений ф (х, у) получается из представления для W (х, у), если в последнем заменить ф и ш на —EhDw и ф соответственно. Стягивая затем замкнутый контур С к контуру L, приходим к формуле (IX.67). Однако предложенный здесь подход имеет некоторые преимущества, поскольку на основе аналогии с задачами для пластины можно использовать многие полученные выше результаты. В частности, аналогично соотношениям (VIII.30) и (IX.60) для функции (IX.67) будем иметь представление [c.284]

Как известно, исходное дифференциальное уравнение теории упругости (ИМ) можно заменить интегральным тождеством, сформулированным на основе теоремы взаимности Бетти [65] и носящим в литературе название тождества О)милиано [147] [c.52]

Главный вклад Рэлея в нашу науку содержится в его книге Теория звука ( Tie theory of sound ) ), В первом томе этой замечательной книги исследуются колебания струн, стержней, мембран, пластинок и оболочек. Автор демонстрирует те преимущества, которые может извлечь инженер из применения понятий обобщенных сил и обобгценных координат. Введение этих понятий и использование теоремы взаимности Бетти—Рэлея внесло большое упрощение в расчеты статически неопределимых систем. Труд этот охватывает не только собственно звуковые колебания, но и колебания не акустические. Автор обращает внимание на те удобства, которые может представить применение нормальных координат, и показывает, каким образом, приравнивая скорости нулю, можно извлекать решения для статических задач из исследования колебаний. Таким путем он находит прогибы для стержней, пластинок и оболочек, выражая их через нормальные функции эта методика приобрела в технике большое значение. [c.404]

Основная задача состоит поэтому в определении А, когда на поверхности тела известны либо перемещения, либо приложенные нагрузки. Эта задача будет подробно рассмотрена в следующем параграфе. Подобно тому как в теории потенциала общая теория задач Дирихле и Неймана основывается на теореме Грина, в теории упругости основным инструментом является теорема взаимности Бетти ), [c.164]

Эта формула получена чисто аналити еским путем. Мы могли бы притти к ней путем синтетическим ). интерпретируя смещение ( о. о. о)- Это смещение в теле (у, ерживаемое соответствующими силами иа поверхности) может быть вызвано действием некоторых сил Р, приложенных в точке г=0. Как показывает теорема взаимности Бетти, работа усилий X dS,... на поверхности S при смещении ( ц, 0, Шо) равна работе некоторых сил, приложенных в точке /-=0, при смещении (и, V, w) и работе усилий ... на поверхности S при том же смещении. Пусть [c.246]

Очень полезной для приложений является теорема взаимности работ Бетти (Е. Betti, 1872 г.) работа системы внешних сил I на перемещениях, вызываемых системой II, равна работе системы внешних сил II на перемещениях, вызываемых системой I [c.40]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...