Сингулярные решения

При рассмотрении винтовой дислокации ( 9.2) мы встречались с примером сингулярного решения уравнений теории упругости, соответствующего особенности во всех зонах прямой — оси Хз. Аналогичным образом можно построить сингулярное решение уравнений теории упругости для плоского деформированного состояния, которому соответствует неоднозначное поле перемещений. Будем называть краевой дислокацией такую дислокацию, для которой вектор Бюргерса перпендикулярен оси дислокации. Это значит, что если принять ось Хз за линию дислокации, перемещение при обходе контура, окружающего ось Хз, получает приращение, равное Ь. [c.331]

ДРУГИЕ ТИПЫ СИНГУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЙ 363 [c.363]

Другие типы сингулярных решений [c.363]

Здесь будет рассмотрен другой тип сингулярных решений, когда напряжения и перемещения обращаются в бесконечность не в одной точке, а на некоторой линии. Мы уже встречались с примерами таких сингулярных решений, рассматривая в 9.2 винтовую дислокацию, в 10.3 — крае- [c.364]

Рассмотренная совокупность трех перпендикулярных двойных сил называется центром сжатия. Из формулы (в) мы видим, что соответствующее напряжение сжатия в радиальном направлении зависит только от расстояния от центра сжатия и будет обратно пропорционально кубу этого расстояния. Это сингулярное решение со сферической симметрией может использоваться при отыскании напряжений в полной сфере ) при заданных [c.396]

Заметим, что приведенное выше сингулярное решение (3.2), определяющее напряжения, имеет вдоль координаты t (т. е. координаты, расположенной вдоль фронта трещины) характер плоской деформации, поскольку а = v(а п + Огг) Рассмотрим для примера сквозную трещину, находящуюся в прямоугольной пластине, высота которой 2L, ширина 2W и толщина 2h, а начало координатной системы t, п, z расположено так, как показано на рис. 2. Если единственная внешняя нагрузка представляет собой растягивающие напряжения а, приложенные к поверхностям, нормальным к оси 2, то, как можно видеть, граничные условия в точках, где фронт трещины выходит на свободные поверхности, нормальные к оси t, будут следующими ст,/ = = = a t = О, в то же время Опп и Ozz не будут равны нулю Таким образом, напряженное состояние в точке, в которой фронт трещины пересекает свободную поверхность под углом 90° (как [c.187]

В работах [13—15] детально рассмотрены вопросы введения сингулярных решений в напряжениях, которые были бы само-уравновешенными при зависимости коэффициентов интенсивности напряжений от t. Для случаев, когда фронт трещины пере- [c.188]

Ниже будут приведены подробности разработки элементов 1-го, 2-го, 3-го и 4-го типов, приведенных на рис. 1. Основные различия между этими элементами заключаются в следующем для каждого из них различен диапазон изменения 0 в сингулярных решениях (3.1) и (3.2) ответные берега трещины формируют граничные поверхности элементов 2-го и 4-го типов, в результате чего на этих поверхностях необходимо учитывать нагрузку, действующую на берега трещины. [c.189]

Краевая задача для области называется сингулярной, а ее решение — сингулярным решением. Теория сингулярных решений в линейной теории упругости и некоторые ее приложения даны в работе [98]. [c.96]

Решение сингулярной задачи не единственно и определяется с точностью до нескольких неопределенных коэффициентов некоторые сингулярные решения отбрасываются по физическим соображениям. [c.96]

Внешнее решение единственно, если его асимптотика в нуле (при г —> 0) совпадает с сингулярным решением, удовлетворяющим дополнительным физическим условиям. [c.96]

Показатель сингулярности решения в окрестности вершины трещины определялся при помощи интеграла Райса. В качестве пути интегрирования был выбран круговой путь радиуса г, охватывающий вершину разреза. Было получено [c.74]

Поле (2.23) мо)ию получить также непосредственно, применяя метод сингулярных решений. Этот метод позволяет показать, что распределение [c.33]

Этот факт, как будет видно из дальнейшего, лежит в основе построений линейной механики разрушения и объясняет ее основной интерес к сингулярным решениям теории упругости. [c.102]

Отметим основные причины появления сингулярности решения в конце трещины [c.102]

Из группового свойства и из общего решения уравнений равновесия при помощи функции Эри вытекает, что сингулярное решение краевой задачи должно иметь вид [c.112]

Таким образом, указанный приближенный прием с использованием промежуточных сингулярных решений (3.167) полезен также при определении концентрации напряжений в наиболее опасных точках вырезов и отверстий различной формы. Это особенно важно в тех случаях, когда точное решение задачи представляет большие трудности. [c.117]

Изучение локального поля напряжений и деформаций вблизи контура трещины во всех этих случаях принципиально позволяет при помощи (4.38) и сингулярного решения найти связь между Y и предельными комбинациями из коэффициентов интенсивности, фигурирующих в сингулярном решении. Найдем эту связь в частном случае линейно-упругого однородного и изотропного (по упругим свойствам) тела, считая поверхность растущей трещины всегда гладкой. [c.145]

Применяя принцип микроскопа , приходим к уже рассматривавшейся сингулярной задаче для полубесконечного разреза (см. рис, 13). Считая процесс адиабатическим, используем первую формулу (4.38) и сингулярное решение (3.44). [c.145]

Здесь напряжения Oy, Хху, Xzy берутся из сингулярного решения (3.44) —(3.46) при 0 = 0, г = х смещения и, v, w отвечают смещениям кончика трещины, взятым из того же решения при Q — п, г = А1 — X. [c.147]

Допустим, что в некоторой сплошной среде, описываемой определенной реологической моделью, распространяется математический разрез с заданным законом Движения его конца l = i t) 0. Чему равна величина удельных энергозатрат Yo = Yo(0 в этом случае На этот вопрос можно ответить при помощи (5.1) и (5.6) для расчета достаточно одного главного члена асимптотического разложения решения вблизи края разреза. Вид этого члена обычно можно найти заранее, не решая задачи в целом, методом сингулярных решений (гл. III) он определяется с точностью до нескольких произвольных констант или произвольных функций (последнее имеет место, например, для некоторых уравнений гиперболического типа). Эти константы (или функции) могут быть найдены только из решения задачи в целом. Предположим, что первый член асимптотического разложения известен, и будем стягивать контур С в точку О. Как следует из (5.6), форма контура С несущественна, поэтому ее можно выбирать произвольно, руководствуясь соображениями удобства. [c.223]

Согласно (3.43) функции Ф(г) и W(z), определяющие сингулярное решение вблизи конца трещины, имеют вид [c.255]

Этап 1. Нахождение сингулярного решения. В МГЭ нспользуется то обстоятельство, что для большинства уравнений в часпгых производных существуют сингулярные (фундаментальные) решения, отвечаюш,ие единичным возмущаюш им воздействиям в неограниченной области. Для рассматриваемой задачи сингулярное решение записывается в виде [c.62]

Предположим теперь, что мы имеем дело не с трубой, а со сплошным цилиндром. Формулы (9.2.1) и (9.2.2) можно применить и к этому случаю, на оси цилиндра при Xi=X2 = 0 напряжения оказываются бесконечно большими. Таким образом, мы получили некоторое сингулярное решение теории упругости. Бесконечно большие напряжения в теле, конечно, невозможны. На самом деле, если напряжения достаточно велики, уравнения линейной теории упругости утрачивают силу. Формулы (9.2.2) имеют смысл тогда, когда г> с, с — некоторая определенная величина. При г < с нужно строить решения, основываясь на истинных нелинейных зависимостях. Линия, на которой напряжения, вычисленные с помощью линейной теории, обращаются в бесконечность, называется линией дислокации, вектор Ь— вектором Бюргерса (рис. 9.2.1). Область г с с, непосредственно примыкающая к линии дислокации, называется ядром дислокации. Теория упругости не дает возможности судить о том, что происходит внутри ядра дислокации. Винтовая дислокация характеризуется тем, что ее линия — прямая и вектор Бюргерса направлен по линии дослокации. [c.282]

Исходя из физического смысла, можно с уверенностью утверждать, что в рассматриваемой обычно и здесь диффузионной трактовке процесса переноса тепла в среде сингулярных решений оператор переноса тепла не имеет. Иначе обстоит дело при рассмотрении процесса переноса тепла на уровне молекулярных явлений. В этом случае строгий учет молекул — переносчиков тепла, длительное время не испытывающих соударений, несмотря на их малочисленность, привел бы к необходимости использовать сингулярные собственные функции наряду с функциями дискретного спектра. Разумеется, для описания переноса тепла при этом пришлось бы отойти от простейших дифференциальных уравнений диффузионного типа и прибегнуть к интегродифференциаль-ному уравнению Больцмана. [c.98]

ВОЗМОЖНОСТЬ непосредственного расчета коэффициентов интенсивности напряжений вдоль фронта дефекта, имеющего произвольную конфигурацию, при комбинированном типе нагружения. Параграф 4 посвящен трехмерной линейно-уиругой механике разрушения, использующей метод граничных элементов, основанный на сингулярных решениях уравнений Навье, описывающих равновесное состояние твердых тел без трещины. Параграф 5 касается методов суперпозиции, применяемых в общем случае для решения трехмерных задач линейной механики разрушения и, в частности, метода альтернирования Шварца — Неймана. Последний подход, используемый в сочетании с методами конечных или граничных элементов для расчета напряжений в твердом теле без трещины, как показано, является наиболее эффективным способом исследования поверхностных дефектов, форму которых можно представить математическими средствами. В главе приведены примеры, иллюстрирующие описанные методы. Глава заканчивается выводами, собранными в 6. [c.183]

Основная идея, использованная при разработке гибридных трещинных элементов, сводится к включению решений (3.1) и (3.2) в базисные функции, представляющие перемещения и/или напряжения трещинного элемента, дополнительно к (несингулярным) полиномиальным базисным функциям порядка О г). Поскольку коэффициенты /Сг, /Сп и /Сщ являются неопределенными параметрами соответствующих базисных функций элемента, то их можно определить непосредственно из конечно-элементного решения. Заметим, что коэффициенты Ки и Kui, как правило, являются функциями координаты t. Тем не менее при конечно-элементной аппроксимации в каждом элементе, связанном с фронтом трещины, величины К], /Сгг и /Сги могут быть приняты постоянными, в результате чего сингулярное решение (3.2) может оказаться самоурав-новешенным. С другой стороны, если Ки Ки и / in выбраны так, что в каждом из элементов они являются произвольными функциями /, то сингулярное решение (3.2) не будет самоурав-новешенным. [c.188]

Предположим, что можно задать как пробную, так и весовую функции таким образом, что они удовлетворят дифференциальному уравнению точно. В результате погрешность по области будет точно равна нулю. Теперь остается лишь удовлетворить граничным условиям некоторым образом по взвешенным невязкам. Отсюда следует, что в некоторых задачах необходимо лишь дискретизировать границу области. Подобые методы называются методами граничных элементов. Для задач линейной теории упругости известны два метода, которые были изучены достаточно подробно метод интегральных уравнений [57, 58] и метод краевых функций [59]. В первом из них в качестве весовых функций выбираются сингулярные решения определяющего дифференциального уравнения, в то время как во втором весовые функции удовлетворяют однородным дифференциальным уравнениям. [c.203]

Хотя метод граничных элементов использовался, как правило, для расчета трещин, форма которых может быть представлена математическими формулами (полукруглая, полуэл-липтическая), его можно применять и для исследования дефектов произвольной формы таким же способом, как это делается гибридными элементами, описанными в 3. Однако в отличие от гибридных элементов, в которые включено сингулярное решение, связанное с фронтом трещины, и, следовательно, коэффициенты К могут быть вычислены непосредственно при использовании метода граничных элементов, коэффициенты К. определяются уже после решения путем обработки данных, касающихся узловых перемещений/усилий. [c.208]

Аоки и др. [32] представили метод на основе сингулярного элемента, в котором учтены движение тела как жесткого целого и собственная функция, соответствующая полю сингулярных напряжений движущейся трещины [т. е. в уравнении (2.7) п = 0 и 1]. По сингулярному элементу трещина перемещается до тех пор, пока она не доходит до точки В, отмеченной на рис. 3(b). После этого сингулярный элемент скачком меняет свое положение, как показано в нижней части рис. 3(b). В первоначальной версии метода [32] перемещения сингулярного элемента были согласованы с перемещениями окружающих его обычных треугольных элементов только в общих узлах. В поздней версии (33) межэлементная совместимость перемещений была обеспечена за счет использования модифицированного принципа виртуальной работы. Поскольку размеры элемента, описанного в [32, 33], как правило, значительно больше области, в которой справедливо сингулярное решение, при определении коэффициентов интенсивности напряжений могут появиться заметные погрешности. Отсутствие поля постоянных напряжений [п=2 Б (2.6) и полей напряжений более высокого порядка [п З в (2.6) ограничивает применимость подобных элементов для изучения физических задач, представляющих интерес, например задач о ветвлении трещины и т. п. [c.285]

Как видно, Г-интегрирование по определению сохраняет инвариантность и закон сохранения в особой точке, так как Г-вычет не зависит от формы и размеров замкнутого контура (поверхности) интегрирования, охватывающего эту точку. Докажем единственность Г-интегрирования, т. е. однозначность Г-вычета для всех возможных малых замкнутых контуров (поверхностей) интегрировання, охватывающих особую точку. По существу, однозначность Г-интегрирования является следствием закона сохранения энергии и единственности рассматриваемого сингулярного решения. Действительно, для одного и того же сингулярного решения нарушение однозначности Г-интегрирования означало бы нарушение закона сохранения энергии. [c.359]

Изобретение Г-интегрирования позволяет любому студенту легко и единообразно выводить подобные основополагающие формулы, связывающие силовые и энергетические характеристики сингулярности любого физического поля с интенсивностью этой сингулярности, описываемой некоторым множителем в сингулярном решении. Таким путем из соответствующих инвариантных Г-интегралов можно получить (соответствующие вычисления были проведены в [1 —12]) все известные физические законы о классических взаимодействиях закон Ньютона взаимодействия двух точечных масс — в теории тяготения законы Кулона, Био — Савара, Фарадея — в теории электромагнетизма формулу Жуковского — Чаплыгина и формулы для сил, действующих на источники, впхревые линии и кольца, — в гидродинамике идеальной жидкости формулу Стокса — в гидродинамике вязкой жидкости формулу Пича — Келера — в теории дислокаций формулу Ирвина — в линейной механике разрушения формулу Эшелби — в теории точечных включений и др. Таким же путем для новых типов сингулярностей, или новых физических полей, или новых комбинаций известных физических полей можно получать новые закономерности. [c.360]

В работе предложена улучшенная (повышающая точность асимптотических формул) процедура сращивания внешнего и внутреннего асимптотических представлений, требующая решения системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов при сингулярных решениях во внешнем представлении. При этом задача построения асимптотики контактного давления сводится к одному (вместо нескольких последовательно решаемых) так называемому ) связанному интегральному уравнению. [c.130]

Подчеркнем, что коэффициенты в разложении (1.70) определяются из системы линейных алгебраических уравнений (1.75). Уточнение асимптотического представления (1.70) потребует привлечения полимоментов М2 и, отвечающих им, сингулярных решений (1.59). [c.132]

В работе К- Форсберга и В,- Флюгге [70] (1966 г.) дано решение для оболоч- ки типа эллиптического параболоида при нормальной сосредоточенной силе. Сингулярное решение строится в виде ряда по косинусам полярного угла. Решения для каждого коэффициента ряда разложено тю степеням параметра, характеризующего форму параболоида. Коэффициенты степенного ряда определены через модифицированные функции Бесселя из рекуррентных, дифференциальных уравнений. , [c.254]

Краевая задача для области называется сингулярной (singular), ее решение — сингулярным решением. Теория сингулярных решений в ли-130 [c.130]

Другие составляющие м получаются из (2.35) простой перестановкой индексов. Отметим следующие свойства симмет Я1и этих сингулярных решений а) функции - четные функщга Хз при /, А = 1, 2 б) функщш [c.143]

Проверим выполнимость общего условия корректности (3.117) в,рассматриваемом случае. Простой анализ выражения (3.122) для р показывкет, что максимум р в случае плоской деформации равен 1пЗ/2я (при vi = О, Ц2=°°), т. е. ехр(—1/ р Х 0,0007, что гораздо меньше 1. Поэтому найденное сингулярное решение имеет физический смысл. [c.97]

В силу сингулярности решения в конце трещины его асимптотическое поведение определяетсй характером функции /(/) при 1- оо. Применяя принцип микроскопа и результаты исследования особенностей в конце трещины для линейно-упругого и степенного тел (см. 5 и 10 главы 3), приходим к следующим выводам. [c.244]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...