Сходимость — Скорость

Речь будет идти об использовании двух типов рядов не вполне обычной структуры для представления решений нелинейных уравнений с частными производными. Ряды эти пока еще применяются не очень часто, хотя сфера их приложения, по-видимому, может быть суще-ственно расширена. Дело в том, что опыт использования таких рядов для решения конкретных задач показал, что предлагаемые конструкции рядов обладают следующими полезными свойствами нелокальной областью сходимости, хорошей скоростью сходимости, наличием для широкого класса краевых задач эффективных и экономичных способов точного вычисления коэффициентов рядов. [c.238]

Введем обозначения, используемые в алгоритме величины с индексами 1,1—1 относятся к текущей и предыдущей итерации на временном этапе т — Ат, т и 2 — соответственно скорость продольной (осевой) деформации при растяжении ( i > > 0) и сжатии ( 2 < 0) образца р — параметр сходимости итерационного процесса бд — заданная погрешность вычислений остальные параметры те же, что и в подразделе 3.4.1. [c.179]

В большинстве задач скорость сходимости удается увеличить, применяя релаксационные методы, когда требуется такое упорядочение уравнений, чтобы диагональные элементы матрицы Якоби были отличны от нуля. На очередной (гЧ-1)-й итерации вектор неизвестных [c.227]

Метод Ньютона, характеризуемый высокой скоростью сходимости, широко распространен в процедурах автоматизированного проектирования. Однако по сравнению с предыдущими методами реализация метода Ньютона связана с увеличенными затратами памяти, требующимися для размещения матрицы Якоби. Кроме того, увеличивается трудоемкость вычислений на одной итерации. [c.228]

В методе простых итераций И может достигать неприемлемо больших значений, поэтому целесообразно ввести на И ограничение Игр сверху. Если принять Ягр=1,5-10 , то из соотношения Ягр = —0,5 Ц Ige при е=10" получаем, что метод простых итераций можно применять только к решению системы уравнений, у которых матрица Якоби имеет Ц< 0. Методы Зейделя, Якоби, последовательной верхней релаксации (ПВР) имеют аналогичный характер зависимости И от Ц, хотя скорость сходимости у них часто оказывается несколько выше, чем в методе простых итераций. [c.234]

Эффективность методов поиска локального оптимума определяется скоростью их сходимости к X, а критериями оценки качества выбора направления являются [c.282]

Процесс (6.42) будет определен, если указаны способы построения вектора ДХ и вычисления величины а на каждой итерации. От того, каким образом строится вектор ДХ и определяется множитель а., непосредственно зависят свойства процесса поведение функции F( ) на элементах последовательности Х< > , сходимость последовательности к решению, скорость сходимости и др. В то же время различные способы построения вектора ДХ, и множителя а требуют различных затрат машинного времени и различной емкости оперативной памяти ЭВМ. [c.283]

Описанные варианты реализации градиентного метода отличаются друг от друга способом выбора длины шага. Скорость сходимости этих методов примерно одинакова, а трудоемкость каждой итерации вариантов процесса (6.42) различна только в способах определения параметра а. Как правило, вычисления градиента в меньшем числе точек требует метод наискорейшего спуска. [c.286]

При решении задач минимизации выпуклых функций метод Ньютона обеспечивает более высокую скорость сходимости последовательных приближений к решению по сравнению с градиентными методами, однако количество вычислений на итерации метода Ньютона высоко за счет необходимости вычисления и обращения матрицы вторых производных. Минимизация квадратичных функций происходит за один шаг. [c.288]

Этим численным методом получено особое решение с учетом всех начальных условий и условий в горле. Было принято во внимание, что течение без трения на стенке имеет дозвуковую скорость в горле относительно скорости звука в смеси и что звуковое сечение, обусловливающее сингулярность, расположено за горлом. Были тщательно исследованы сходимость решения и пригодность метода Рунге —Кутта [261,649], а также проверена правильность составленной программы для вычислительной машины. [c.314]

Скорость сходимости метода точной релаксации можно увеличить с помощью введения параметра ы. Здесь переход от и к + осуществляется в два этапа на первом этапе определяется число + минимизирующее функцию одной переменной [c.342]

Это следует из таких соображений в первом случае функция Q i) и, следовательно, q(t) разрывны, тогда как q и q непрерывны, так как координата всегда изменяется непрерывно и жестких ударов, по предположению, нет, т. е. скорости также непрерывны ряд же Фурье для непрерывной со своей первой производной функции q(t) имеет коэффициенты, убывающие как п-З если же q, q, Q(t), т. е. и (t) непрерывны, то сходимость будет порядка не ниже чем n . [c.539]

При алгоритмической реализации метода штрафных функций большое значение для обеспечения сходимости поиска имеет выбор коэффициента штрафа г. Для иллюстрации в табл. 5.6 приведены результаты минимизации объема генератора с использованием метода внешних штрафных функций в зависимости от значения г [28]. В данном случае оптимальным с точки зрения скорости определения экстремума [c.168]

Однако можно заметить, что скорость сходимости существенно зависит от вида функции со (е). Если материал стержня обладает [c.312]

Для оценки влияния отношения EJE, т. е. степени упрочнения материала, на скорость сходимости процесса итераций в табл. 10.1 представлены значения е при Е /Е = 0,5 и 0,25. [c.313]

Для сравнения скорости сходимости итерационного процесса [c.315]

Среди различных функций ф(. г), для которых выполняется условие (3.6), лучшей будет та, которая обеспечивает более высокую скорость сходимости итерационного процесса. Очевидно, что чем меньше величина 0, тем быстрее скорость сходимости. Можно показать, что функция ф( с), определяемая выражением [c.57]

Модуль / (х), определяющий скорость сходимости метода, по мере приближения х к корню стремится к нулю. Отсюда следует, что метод Ньютона сходится с ускорением — чем ближе к корню, тем быстрее сходимость. Для оценки ошибки можно использовать общий метод (2.12), но можно получить и специальную формулу. Для этой цели представим функцию F (х) в виде отрезков рядов Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа [c.78]

Оценим скорость сходимости метода. По формуле Тейлора имеем [c.29]

Здесь f r hx)— матрица, обратная матрице производных, эле-менты которой. Метод Ньютона всегда сходится, если начальное приближение выбрано достаточно близко к решению. Основное время при вычислениях по формулам (1.84) расходуется на обращение матрицы (х< )). Для сокращения этого времени матрицу вычисленную на ( +1)-й итерации, используют для вычисления не только х< + ), но и нескольких следующих приближений. Можно один раз найти /J (х ) и вычисления по (1.84) проводить при постоянной матрице. При этом скорость сходимости итерационного процесса замедляется, однако общий выигрыш во времени может быть большим. [c.31]

Следует заметить, что соотношения (13.2.6) не предполагают возможности разложения функций и v в ряды по собственным формам колебаний или фундаментальным функциям ф . Начальное распределение скоростей вообще может быть даже не непрерывным, и если говорить о сходимости, то речь может идти лишь [c.435]

На первый взгляд кажется, что для повышения скорости сходимости целесообразно использовать только а> 1. Однако часто поведение и при увеличении номера итерации s носит колебательный характер, при котором и переходит от значений, меньших U , к значениям, большим точного решения. При этом чрезмерное увеличение а может лишь увеличить такие колебания. Поэтому в ряде случаев для ускорения сходимости решения имеет смысл тормозить изменение значений задавая аС 1. В большинстве реальных задач оптимальное значение множителя а подбирают путем численных экспериментов. [c.14]

Основным недостатком итерационных методов является трудность получения оценок их скорости сходимости. Довольно часто получается слишком медленная сходимость и выгоднее решать систему прямыми методами. Для определения оценок скорости сходимости и оптимального значения параметра релаксации а из (1.22) приходится предпринимать специальные исследования, в частности вычислять минимальное и максимальное собственные числа матрицы. Обычно это имеет смысл делать только в случае, когда линейную систему с данной матрицей предполагается решать многократно. [c.15]

Таким образом при линеаризации по методу Ньютона на каждой итерации решают задачу относительно приращений Aun , а затем вычисляют температуры согласно (3.71). Этот метод имеет более высокую скорость сходимости по сравнению с методом последовательных приближений, но оказывается несколько сложней в программной реализации и требует вычисления производных для [c.109]

Проведем сопоставление скоростей сходимости методов ячеек и Монте-Карло. Из (6.23) вытекает, что погрешность определения многомерного интеграла с помощью метода Монте-Карло убывает пропорционально MYN, где N — число многомерных точек. Причем скорость сходимости не зависит от размерности интеграла. В методе ячеек, применяемом для кусочно-аналитических подынтегральных функций, которые, как было указано, часто встречаются при расчете угловых коэффициентов, скорость сходимости пропорциональна 1/л, где п — число отрезков разбиения по каждой координате. Поскольку в методе ячеек для расчета /п-мерного интеграла необходимо рассчитывать N = п " многомерных точек, погрешность численного интегрирования в этом случае будет иметь порядок [c.188]

Повышение эффективности выражается в большей точности (степени приближения к экстремуму) и/или в большей скорости сходимости к приемлемому результату. Так, в задаче синтеза расписаний с помощью НСМ удавалось получать более точные результаты за отрезок времени, оцениваемый 30...40 тыс. обращений к процедуре вычисления целевой функции, чем в альтернативных генетических алгоритмах при в несколько раз большей трудоемкости. [c.241]

Имеются и некоторые другие способы проверки сходимости, которые целесообразно рассматривать для каждой задачи. Том [1933], а также Том и Апельт [1961] предложили критерий сходимости, основанный на величине невязки (см. разд. 3.2.3 и 3.2.4). Вообще говоря, даже для линейных уравнений такой тип проверки может оказаться ненадежным см. Форсайт [1970]. Браун [1967] отметил, что в задаче тепловой конвекции температуры и скорости переноса тепла (которые представляют наибольший интерес) сходились задолго до того, как сходились скорости течения убедившись в сходимости по скоростям, в дальнейшем он мог прекращать итерационный процесс раньше, как только устанавливалось поле температур. [c.269]

Метод Ньютона — Рафсона и его модифицированный вариант успешно применялись на практике для решения больших систем нелинейных уравнений. Важная роль этих итерационных методов связана и с их теоретической ценностью, поскольку для них существует ряд теорем, позволяющих ответить на вопросы о существовании и единственности решения, сходимости и скорости сходимости итерационного процесса на основе сведений о начальной точке Хо и о значениях и д fllдXj . Кроме [c.314]

К сожалению, итерационные методы имеют плохую сходимость, если скорости потока близки к скорости звука. Это объясняется тем, что распределение источников перестает быть малым возмущением. В разультате в процессе итераций важные члены, характеризующие сжимаемость газа, в каждом последующем цикле остаются практически такими же, какими они были в предыдущем. [c.175]

Решение задачи о характеристиках свободной струи, несущей твердые или капельно-жидкие примеси, с учетом описанной модели явления приведено в работе [5]. Сравнение расчета этих характеристик с экспериментальными данными [87] показало вполне удовлетворительную их сходимость. Согласно расчетам [5] запыленная струя становится уже и дально-бойнее не только тогда, когда в ней содержатся тяжелые примеси, но и тогда, когда чистая газовая струя распространяется в запыленном газовом потоке. Выше было отмечено, что если примесь не имеет начальной скорости (папрн.мер, когда газовая струя вытекает в спутный лоток газа большей плотности), то затухание скорости происходит быстре(, чем в незапы-ленном потоке, т. е. интенсивность расширения такой струи увеличивается с увеличением плотности спутного потока. Это кажущееся противоречие [5] объясняется тем, что в случае распространения газовой струи в запыленном потоке на степень расширения струи влияют два фактора с одной стороны, большая плотность окружающей среды, с увеличением которой степень расширения струи увеличивается, а с другой стороны, подавление турбулентности частицами, попадающими из внешнего потока в струю, которое с ростом концентрации частиц в потоке растет и, следовательно, уменьшает степень расширения струи. Согласно расчету, второй фактор оказывает более сильное влияние на степень расширения струи, чем плотность окружающей среды. [c.317]

Поэтому в САПР находят ирименеиис также итерационные методы, для которых имеются сравнительно простЕяе способы обеспечения сходимости. Недостаток этих методов — меньшая скорость сходимости, что ири-водЕЕТ к значительным затратам машинного времени. Основными представителями этих методов являются ре-лаксационные методы. [c.53]

Существует и используется большое число математических методов численного решения задач условной оптимизации (см., например, [18]). Эти методы, так же как ih разработанные на их основе алгаритмы и программы, различаются требованиями к начальному приближению решения, скоростью сходимости процесса, чувствительностью к погрешностям в задаваемых параметрах, точностью локализации координат экстремума, объемом необходимой оперативной памяти и требованиями к быстродействию ЭВМ, удобством работы и другими характеристиками. В некоторых случаях экстремум функции (22.8) иш ется непосредственно в заданной допустимой области, другие методы основаны на решении с + с( > +... +нелинейных уравнений [c.187]

Заметим, что сходимость ряда (IV.56) обеспечивает также и сходимость ряда (1У.58), причем этот последний ряд можно почленно ди(1)ференцировать по t. Таким образом, скорость движения точки М б щет также представлена сходящимся тригонометрическим рядом. [c.351]

Вернемся к методу установления. Для возмущения специального вида скорость сходимости определяется модулем перехода X, который для явной схемы (5.24) имеет вид (128). Наиболее медленно убывают низкочастотные возмущения, для которых из (5.28) получаем —х са + (И2 ). Условие устойчивости (5.29) огранич1[вает сверху допустимый шаг т положим [c.137]

Полученные теоретические зависимости дают хорошую сходимость с результатами экспериментов для участков трубы с развившимся ламинарным режимом при равномерном движении жидкости. Однако на практике встречаются случаи неравномерного движения на начальных участках трубопроводов. Начальным называется участок, на котором происходит формирование профиля скоростей ламинарного режима движения (рис. 4.4). Для нахождения длины начального участка /нач можно воспользоваться формулой /нач/ =0,029Ке. При подстановке в эту формулу значения критического числа Рейнольдса получаем максимальную длину начального участка, равную 66,5 диаметра. [c.44]

Здесь итерационное перемножение на втором этапе теоретически должно приводить к появлению на месте [У] искомых собственных векторов, а на третьем этапе — к появлению на месте [S] диагональной матрицы с элементами, равными собственным числам. Применение матрицы [Г ] на пятом этапе эначительно ускоряет этот процесс. Если для каких-либо i, ] на четвертом этапе отношения (Ьц — bjj)/bjj и Ьц/Ь , вместе не превосходят заданную точность вычислений, то необходимо положить tij — О (этот случай соответствует близким собственным значениям). После нахождения в результате этапа (57.22) диагональных элементов матрицы [Б] они сортируются по величине, ц, соответственно, меняются местами векторы в массивах W] и [У]. Погрешность вычисления г-го вектора оценивается скалярным произведением ( и — Скорость сходимости метода одно- [c.474]

В известных генетических алгоритмах при решении сложных задач большой размерности типичным является характер приближения к решению, в котором скорость улучшения значений целевой функции в процессе поиска экстремума постепенно уменьшается и может наступить стагнация популяции при значениях целевой функции, существенно отличаюшихся от оптимальных. Поэтому необходимо использовать различные способы как ускорения сходимости, так и преодоления стагнации на уровнях, далеких от экстремума. [c.230]

Итак, задача моделирования роста трещин в случае несинфазности может быть решена с помощью эквивалентного коэффициента интенсивности напряжения, определяемого по соотношению (6.43). Пример и результаты моделирования по соотношению (6.43) с использованием данных табл. 6.6 в сравнении с экспериментальными данными в интервале скоростей роста трещины от 2,7-10 до 1,7-10 м/цикл представлены на рис. 6.34. Результаты моделирования свидетельствуют об удовлетворительной сходимости прогноза с экспериментом. Очевиден небольшой разброс в точности прогноза с учетом офаниченности экспериментальных данных но поправочным функциям и результатам испытаний образцов. [c.335]

В указанны размер входит длина трещины АС и последующий отрезок движения трещины до достижения скорости (или высоты скоса от пластической деформации), равной скорости на момент перегрузки. Последующий отрезок длины существенно зависит от искривления фронта трещины после перегрузки. Поэтому суммарная величина может существенно отличаться от двойного размера зоны пластической деформации. Для области = О видно достаточно хорошее совпадение расчетных значений и полосы разброса измеренных значений А . Для области V 1 расчет дает существенное расхождение с результатами измерений. Поэтому необходимо вычислять размер зоны пластической деформации, учитывая вторую компоненту напряжений через существующие критерии прочности при сложном напряженном состоянии. Оценка близости результатов эксперимента к расчету показала, что паилучщую их сходимость [c.438]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...