Функции аналитические

Интеграл Коши. Пусть f z) — функция, аналитическая в односвязной области 5, ограниченной простой кусочно-гладкой замкнутой линией L, и непрерывная в S+L. Тогда значение функции f z) в любой точке z S определится граничным значением этой функции на линии L в виде [c.136]

Дифференцирование и интегрирование. При численном дифференцировании таблицы экспериментальных данных возможность получения приемлемых результатов часто ограничена, так как последние очень чувствительны к погрешностям эксперимента. Удовлетворительные результаты в этом случае могут быть получены лишь после выполнения каким-либо, способом операции сглаживания результатов эксперимента, например, графическим путем или с помощью их аппроксимации методом наименьших квадратов-функцией с относительно небольшим числом свободных параметров (п< Ы). Последний способ удобен еще и потому, что позволяет проводить дифференцирование полученной функции аналитически. [c.100]

Поскольку всякой аналитической функции и (х, у) соответствует другая гармоническая функция v х, у), связанная с ней условиями Коши — Римана, то отсюда следует, что всякую гармоническую функцию и (х, у) можно рассматривать как действительную часть некоторой аналитической функции w (2) = и х, у) + + iv х, у), мнимая часть которой v х, у) определяется равенством (5.9). Но в формуле (5.9) содержится произвольная постоянная С V (хо, у ). Следовательно, соответствуюш.ая гармонической функции аналитическая функция определяется с точностью до чисто мнимой постоянной i . [c.180]

Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла аргумента и модуля производной функции комплексного переменного. Пусть W =- W (z) — функция аналитическая на области D комплексной плоскости г. Предположим, что w (z) Ф О на D и обозначим w (г) = Ле . Так как w (г) О на D, то в каждой точке Z D числа А, а однозначно определены (ноль не имеет аргумента). Пусть С — некоторая гладкая кривая на области D, имеющая уравнение z = z (t), а с / < р, где z (t) — дифференцируемая функция, dz/dt =/= О на (а, Р). Функция комплексного переменного W W (z) осуществляет отображение области D ее определения (лежащей в плоскости z) на область Д ее значений (лежащей в плоскости w). При этом отображении кривой г = z (t) будет соответствовать ш = а [г (01 = (О и так как суперпозиция непрерывных функций есть снова непрерывная функция, то непрерывная кривая С с= D, уравнение которой z = z (t) при отображении W W (z) перейдет в некоторую непрерывную кривую Г с= Д, [c.183]

Таким образом, установлены следующие фундаментальные особенности интеграла Лапласа (изображения по Лапласу). Интеграл сходится в полуплоскости Re /7 > Sq, где Sq — показатель роста оригинала, и равномерно сходится в полуплоскости s Si > > So, где Sj — произвольное сколь угодно близкое к о число (но не равное ему). Равномерная сходимость интеграла Лапласа и непрерывность по параметру р подынтегрального выражения / (/) обеспечивают непрерывность интеграла (изображения) в полуплоскости Re /7 > о и делают возможным при интегрировании изображения F (р) изменять порядок интегрирования в получаемом двукратном интеграле. Наконец, интеграл Лапласа (изображение F (р)) есть функция аналитическая при Re р > Sq, допустимо дифференцирование под знаком интеграла при Re р > о и при Re /7 -> + оо интеграл Лапласа исчезает (см. (6.37) ). [c.202]

Формуляры на линейное звено общего вида и нелинейность содержат раздел для ввода передаточной фу кции в виде графика и раздел для ввода передаточной функции аналитически. [c.192]

Установленные результаты могут иметь несколько неожиданное следствие. Пусть на контуре задана функция ср(0> имеющая индекс нуль. Тогда эту функцию всегда можно представить в виде отношения двух функций, являющихся краевыми значениями функций, аналитических соответственно в 0+ и 0 (исключая бесконечно удаленную точку), для чего необходимо считать ее коэффициентом вспомогательной однородной задачи Римана. [c.21]

Слева присутствует краевое значение функции, аналитической в области П+, справа — аналитической в области 0 , исключая бесконечно удаленную точку, в которой полюс порядка не более к. На основании теоремы Лиувилля [33] получаем, что эти функции являются взаимно аналитически продолжи- [c.21]

Функция [(г) как функция, аналитическая в круге, допу- [c.32]

Образуем теперь функцию, аналитическую вне круга, /1=0 [c.32]

Аналогичным образом рассматривается случай, когда плотность есть краевое значение функции, аналитической вне контура. [c.32]

Трансформанта f(a)—функция, аналитическая в полосе / < Irn а < г/+ (ввиду оценок (4.26)). Сделав замену переменной а = ip, получим из (4.27) [c.71]

Лемма Жордана дает возможность при вычислении интеграла вдоль прямой в комплексной области использовать теорию вычетов. Для этого рассматривается совокупность конечных отрезков, переходящих в пределе в заданную прямую. Концы каждого из отрезков соединяются какой-либо другой, а заданная на прямой функция аналитически продолжается на эти дуги, и далее рассматриваются интегралы по образованным таким образом замкнутым контурам. В лемме Жордана специально оговаривается случай, когда с увеличением длины дополнительной дуги интеграл по этой дуге стремится к нулю. Наиболее просто требуемые оценки получаются, когда такой дугой выбирается дуга окружности. [c.75]

Слева присутствуют функции, аналитические в области О, а справа—в области. Ввиду совпадения их предельных значений получаем, что они представляют собой единую в области О —О и 07 аналитическую функцию, которую и обозначим через Р г). Следовательно, доказано, что функция [c.365]

Поскольку функция ф( ) есть функция, аналитическая в области 0+, то правая часть (3.2) оказывается краевым значением функции, аналитической в области 0+. Согласно интегральной теореме Коши (1.6) гл. I получаем [c.378]

Это уравнение принадлежит классу уравнений Фредгольма. Проведем исследование этого уравнения, которое сводится к установлению условий разрешимости, а также к доказательству того факта, что любое его решение (функция ф(Д) должно представлять собой краевое значение функции, аналитической в области о+. [c.379]

Являющимися краевыми значениями функций, аналитических в 0 . [c.379]

ТО ОНИ ДОЛЖНЫ обращаться в нуль на бесконечности. Следовательно, функции Ф(г ) и V (г ) тождественно равны нулю. Из условия же обращения в нуль функции Ф(г ) при г е D будет следовать, что функции <р(/) есть краевое значение функции, аналитической в Ь+, что и требовалось доказать. [c.380]

Отсюда следует, что функции ф (() и ф (/) являются краевыми значениями функций, аналитических в областях и Оа, причем ф (оо) = о и ф (оо) = 0. [c.384]

Рассмотрим теперь третье слагаемое. Функция ф((т) есть функция, сопряженная к ф(сг), являющейся краевым значением функции, аналитической в области П+. Покажем, что эта функция ф(а) является краевым значением функции, аналитической в области 0 , откуда сразу будет следовать, что интеграл обращается в нуль. [c.387]

Функции, стоящие в левой и правой частях (4.37), представляют собой предельные на Ц значения функций, аналитических внутри 1 1 < 1. В связи с этим равенство (4.37) будет иметь место и во всей области, а поэтому имеем право написать [c.396]

Функция ф(/) есть краевое значение функции, аналитической в области О, функция Г— (.г До ) есть краевое зна- [c.406]

Тогда из (6.4) (строго говоря, в этом равенстве следует подразумевать значения it) и ( )) получаем, что функции ф (г) и Фд (г) совпадают на контурах (у Ф 0). Поскольку же каждая из функций (г) аналитична в соответствующих областях, то получаем, что все они представляют собой единую функцию, аналитическую в суммарной области 1) О " и 11 1) ш)- [c.415]

Аналогично предыдущему убеждаемся, что функции ф (г) представляют собой единую функцию, аналитическую во всей области О. Поскольку все дополнительные слагаемые в (6.6) и (6.9) известны и могут быть вычислены, то исходная задача сводится к задаче теории упругости уже для сплощной области О. Для получения соответствующих краевых условий обратимся к условию (6.3), выразив предварительно функции фо(г) и фо(г) через Ф (г) и ф (г) согласно (6.6) и (6.9). В результате приходим к следующей краевой задаче [c.415]

Таким образом, определяемое продолжение функции будем называть продолжением посредством сопряжения. Аналогичным образом функция, аналитическая в 0-, может быть продолжена в область 0+. Можно показать, что функция ф(2) является аналитической в функцией. Очевидно, что между предельными (на действительной оси) значениями функций ф(г) и ф(2) выполняются соотношения [c.417]

Совершенно аналогично может быть рассмотрен второй вспомогательный случай, когда / =/г представляет собой краевое значение функции, аналитической в полуплоскости г/ < 0. При этом отраженные волны описываются с помощью потенциалов [c.438]

Ньютона интерполяционная 520 Функции аналитические 180 [c.575]

На границе раздела колес в проточной части, если эта граница совпадает с линией ортогональной линиям тока, составляющую осевой силы можно найти, если в (II.72) подставить (II.54). Но так как на этих границах трудно найти простую и общую функцию аналитической связи между г и 1 , то это вызывает трудности при [c.45]

Основу книги составляют сведения, изложенные в учебнике автора Курс теории механизмов и машин (М., Высшая школа, 1978 г.), написанном совместно с О. Н. Левитской, для студентов технических вузов. Однако более высокая физико-математическая подготовка большей части предполагаемых читателей позволила изложить все проблемы теории механизмов и машин с привлечением математического аппарата теории функций, аналитической механики, теории колебаний и автоматического управления. [c.8]

В ряде случаев закон движения толкателя задается сложной функцией, аналитическое интегрирование которой затруднительно. В этом случае закон перемещения толкателя получается применением операторной функции INTGR (гм. гл. 5) [c.172]

Пусть f z)—функция, аналитическая в одиосвязной бесконечной области S-, ограниченной простой кусочно-гладкой замкнутой линией L, включая и бесконечно удаленную точку, т. е. f(oo)= o, и непрерывная в S +L. Тогда [c.136]

Можно показать, что для определения величин Р и La не обязательно знать полное выражение комплексного потенциала, а достаточно иметь коэффициенты первых трех членов разложения функции й dWidz в ряд Лорана. Действительно, в теории функций комплексного переменного доказывается, что всякую функцию, аналитическую вне окружности некоторого радиуса с центром в начале координат, стремящуюся к конечному пределу в бесконечности, можно представить равномерно сходящимся рядом Лорана вида [c.233]

Аг)—Ф(2)], равного производной функции Ф(2). Как известно (см., например, [33]), для функции комплексного переменного из существования первой производной следует существование всех остальных производных. Заметим, что понятие интеграла типа Кощи распространяется и на случай разомкнутых контуров, что приводит к функции, аналитической во всей плоскости, исключая разрез. [c.13]

Поскольку присутствующие в (3.21) внеинтегральные члены являются функциями, аналитическими в О, то эти слагаемые можно представить в виде интегралов Коши от их предельных значений. Поэтому, если ввести на контурах Т, функции [c.384]

Левая часть этого уравнения представляет собой функцию, аналитическую в полуплоскости IntdL> if, а правая - функцию, аналитическую в области Inv L . По принципу непрерывного продолжения можно утверждать, что левая и правая части этого уравнения являются аналитическими продолжениями друг друга. Остается выяснить поведение определенной таким образом функции, аналитической во всей плоскости dm, в бесконечно удаленной точке. Допустим теперь, что имеют место оценки [c.18]

СУЩЕСТВОВАНИЕ ЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА. Нижеследующие построения являются специфически двумерными. Будет показано, что по коэффициентам Е, F, G, V лагранжиана можно определить, есть ли у задачи линейный интеграл. Предполагается, что все рассматриваемые функции — аналитические (если аналитическая функция не равна нулю в одной точке, то ни в какой области она не равна тождественно нулю). [c.183]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...