Однозначность потенциала

Из теоремы Томсона вытекают свойства сохраняемости вихревых движений в идеальной баротропной жидкости. Действительно, пусть в начальный момент времени суммарная интенсивность вихревых трубок в некоторой части движущейся жидкости-имела значение J. В силу теоремы Стокса циркуляция Г по любому замкнутому контуру, охватывающему эти трубки, равна 2J. Так как по теореме Томсона dY/dt = О, то циркуляция, а значит, и интенсивность J не изменятся во все время движения. В частности, если в начальный момент движение было полностью безвихревым (всюду в области течения Г= О и У= 0), то оно останется безвихревым во все время движения. Иными словами, в идеальной баротропной жидкости вихревые движения не могут возникать или исчезать, если действующие на жидкость силы имеют однозначный потенциал . [c.118]

Рассмотрим здесь некоторые вопросы, связанные с динамикой вихрей Б идеальной жидкости. Докажем прежде всего теорему Томсона, имеющую большое значение в динамике идеальной жидкости. Она гласит если массовые силы имеют однозначный потенциал и идеальная жидкость баротропна, то циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру будет постоянна во все время движения. [c.93]

Очевидно, что величина Е равняется кинетической энергии жидкости в объеме V. Формула (12.16) показывает, что кинетическая энергия жидкости в объеме V представляется поверхностным интегралом по граничной поверхности S. По смыслу формулы (12.16) существенно предположение об однозначности потенциала ф.Если объем V, в котором потенциальное движение регулярно, односвязный, то однозначность потенциала ф получается автоматически. Если V — многосвязный, то предположение об однозначности ф существенно. [c.164]

Заметим, что если граничная поверхность 2 простирается до бесконечности, то проведенное выше рассуждение о поведении гармонических функций в бесконечности недействительно. В этих случаях требуется отдельное специальное аналогичное исследование, в частности, это необходимо для плоских задач, в которых поверхности 2 — бесконечные цилиндры. Однако и в этом случае требование об исчезновении скорости при удалении от внутренних границ области в бесконечность и требование об однозначности потенциала гарантируют единственность решения рассматриваемых основных краевых задач. [c.173]

Гидростатика. Равновесие жидкости возможно только при силах, имеющих однозначный потенциал. Свободная поверхность жидкости есть эквипотенциальная поверхность. Тяжелая жидкость. Тяжелая вращающаяся жидкость. Вращающаяся жидкость, частицы которой притягиваются одной точкой и.т между собой по закону Ньютона. Сжатие Земли. Давления, которые жидкость производит на сосуд, в котором она заключается, или на погруженное твердое тело. Принцип [c.110]

При рассмотренных в предыдущей лекции движениях жидкости, простирающейся во всех направлениях в бесконечность, обусловленных движением твердого тела, мы предполагали движение тел заданным. Теперь мы будем заниматься задачей, как определить это движение, если даны силы, действующие на тело и жидкость. При этом относительно силы, действующей на жидкую частицу, мы будем предполагать, что она имеет однозначный потенциал, так как предположение о существовании потенциала скоростей, которое мы там приняли, мы удержим и здесь. [c.198]

Чтобы применить аналогию типа А для определения потенциала скорости (и непосредственно скорости) в любом заданном потоке с циркуляцией скорости, необходимо обеспечить однозначность потенциала скорости в области течения. Для этого область течения превращается в односвязную с помощью разрезов, проводимых (во внешней области течения) из бесконечно удаленной точки к границам обтекаемых тел. При использовании электрического моделирования разрезы целесообразно проводить по эквипотенциальным линиям (в модели — выполнять из проводника с постоянным напряжением) или, еще лучше, по линиям тока (выполнять из изолятора). [c.249]

Те интегралы уравнений гидродинамики, при которых существует однозначный потенциал скоростей, мы можем назвать интегралами первого класса. Те же интегралы, при которых имеет место вращение некоторой части жидких частиц, и вследствие этого в области частиц, не находящихся во вращении, существует многозначный потенциал скоростей, мы назовем интегралами второго класса. В последнем случае иногда задача требует рассмотрения лишь тех частей пространства, которые пе заключают в себе вращающихся частиц жидкости например, при движении воды в кольцеобразных сосудах, можпо представить себе, что вихревая нить проходит через ось сосуда таким образом, эта задача принадлежит к числу тех, которые могут быть разрешены, при допущении потенциала скоростей. В гидродинамических интегралах первого класса скорости жидких частиц пропорциональны по величине и совпадают по направлению с силами, которые вызывало бы известное распределение магнитных масс вне жидкости, относительно магнитной частицы, помещенной на месте частицы этой жидкости. [c.26]

Класс случаев, в которых существует однозначный потенциал скоростей, охватывает все те движения, которые возникают из состояния покоя под действием сил рассмотренного здесь типа. В самом деле, мы имеем в начале движения [c.33]

Всякое действительное состояние движения жидкости, для которого существует однозначный потенциал скоростей, может быть мгновенно получено из состояния покоя приложением подходяще выбран ной системы импульсивных давлений. Это предложение получается из указанных уравнений, из которых, кроме того, следует, что [c.34]

Безвихревое движение жидкости в односвязной области характеризуется существованием однозначного потенциала скоростей. Если обозначить через — <р поток от фиксированной точки А к переменной точке Р, то будем иметь [c.55]

При принятых условиях движение жидкости характеризуется существованием однозначного потенциала скоростей 9>, который удовлетворяет уравнению неразрывности [c.200]

Другими словами если инерционными членами можно пренебречь, то установившееся движение жидкости, возникающее под действием постоянных сил, имеющих однозначный потенциал, характеризуется тем свойством, что рассеяние в этом движении для каждой области оказывается меньше, чем рассеяние во всяком другом движении с теми же самыми значениями и, V, IV на границе. [c.776]

В том слзгчае, когда внешние силы имеют однозначный потенциал, второй интеграл в формуле (11) обращается в нуль, поэтому будем иметь [c.777]

В том случае, когда внешние силы не имеют однозначного потенциала или когда мы на граничной поверхности задаем вместо определенных значений скоростей определенные значения напряжений, высказанные теоремы должны быть несколько видоизменены. Избыток рассеяния над удвоенной работой, производимой в единицу времени внешними силами (включая и напряжения на границе), стремится к определенному минимуму, который будет достигнут только тогда, когда движение сделается установившимся ). [c.778]

Представим себе, для простоты, что тело движется в идеальной жидкости прямолинейно и система координат неподвижно с ним связана. Предположим, что движение жидкости, вызванное телом, потенциально и потенциал скоростей есть однозначная функция координат. Граничные условия (на поверхности тела и в бесконечности) и условие однозначности потенциала скоростей полностью определяют потенциал, а следовательно, и поле скоростей, т. е. определяют D как функцию координат и времени. Величина v должна быть при этом в каждой точке пропорциональна скорости движения тела V. В самом деле, при изменении V граничные условия и уравнение Лапласа для потенциала скоростей будут удовлетворены, если потенциал скоростей изменится пропорционально V но тогда v также изменится [c.313]

Кроме движения с однозначным потенциалом, порождаемого телом, перемещающимся в жидкости, может существовать другое потенциальное движение, при котором компонента скорости, нормальная к поверхности тела, равна нулю. Этот потенциал может быть только многозначным, так как однозначный потенциал, удовлетворяющий условию (1.25), является единственным. [c.19]

Из этого свойства вытекает, что при существовании однозначного потенциала линии тока не могут быть замкнуты, иначе бы получилось, что циркуляция вдоль такой линии не обратилась бы в нуль, так как все элементы линейного интеграла имели бы один и тот же знак. [c.32]

Ограничимся случаем одной односвязной ) полости в твердом теле. Предполагается, что заполняющая ее целиком жидкость — идеальная, несжимаемая и однородная тогда абсолютное движение ее будет безвихревым и в рассмотрение может быть введен в системе неподвижных осей 0 7]С однозначный потенциал скоростей — гармоническая функция Oj ( , т]. С) координат частиц жидкости, градиент которой равен вектору абсолютной скорости частицы. [c.469]

Напомним, что эта теорема при несколько более тесных условиях в смысле аналитичности поля скоростей и в то же время при отсутствии требования однозначности потенциала объемных сил была доказана в конце 23. [c.188]

Квазиуравновешенное движение динамически возможно тогда и только тогда, когда по определяемому в нем вектору места может быть найден однозначный потенциал ускорений —выполнено условие (4). При этом условии тензор напряжений определяется уравнением [c.305]

Назовем сумму кинетической и потенциальной энергий материальной точки ее механической энергией. Мы видим, что при движении материальной точки под действием силы, имеющей однозначный потенциал, ее механическая энергия сохраняет постоянную величину. Этот результат является частным случаем общего закона сохранения энергии, установленного работами Р. Майера и Гельмгольца в качестве универсального закона природы. Согласно этому закону, все явления, происходящие в окружающем нас мире, сопровождаются переходом энергии из одной ее формы в другую (например, из механической в тепловую, из электрической в механическую и т. д.) и притом так, что общий запас энергии, заключенной в замкнутой системе, остается постоянным. Движение материальных тел также сопровождается, вообще говоря, переходом механической энергии в другие формы энергии, и обратно. Такой переход не имеет места при движении материальной точки в потенциальном поле в этом частном случае механическая энергия, не переходя в другие формы энергии, сохраняет постоянное значение. [c.64]

Обратимся к рассмотрению движения, совершаемого механической системой под действием сил, имеющих (однозначный) потенциал. [c.217]

Это уравнение выражает закон сохранения энергии, который мы можем формулировать следующим образом при движении системы, находящейся под действием сил, имеющих (однозначный) потенциал, и подчиненной двусторонним и идеальным (не зависящим от времени) связям, сумма ее кинетической и потенциальной энергий сохраняет постоянную величину. [c.218]

Поскольку для того, чтобы превратить решение задачи без массовых сил в-задачу с массовыми силами, имеющими однозначный потенциал, достаточно лишь подобрать соответствующее поле давления, а поле давления произвольно, мы мало что теряем в общности, полагая при рассмотрении задач для несжимаемых тел Ь = 0. [c.173]

Легко понять, что если поле и имеет однозначный потенциал ср в целом на М при i = О (т. е. форма ш точна), то это свойство имеет место при всех t. [c.108]

Внешность поверхности тела, область, в которой происходит непрерывное возмущенное движение жидкости, может быть. многосвязноп. Однозначность потенциала, связанная с равенством нулю циркуляции по любым замкнутым контурам, следует из теоремы Томсона и условия непрерывности движения жидкости. [c.188]

Рассмотрим теперь случай, в котором указанный случай заключается как частный. Предположим, что в жидкости, покоящейся в бесконечности, движется известным образом неизменяе.мое тело произвольной формы требуется найти движение жидкости. При это.м допустим, что существует однозначный потенциал скоростей тем самым мы исключаем из задачи те случаи, когда тело заполняет многосвязное пространство, а, следовательно, и жидкость также занимает многосвязное пространство. [c.189]

Понятие потенциального течения, оскованноо на гипотезе идеальной жидкости , неявно использует два независимых топологических предположения линии тока Сплошь заполняют все прост1занство вне тела локально однозначный потенциал скорости однозначно определен во всем пространстве. В то же время не существует никаких математических доводов против корректности течений Н.Е.Жуковского с циркуляцией, течений со следом и многих других топологических типов течений. Очевидно, можно сделать заключение о неполноте теории не- [c.64]

Одмако условие Жуковского никоим образом не дает надежной теории подъемной силы в общем случае Так, в трехмерном пространстве область вне самолета, очевидно, является односвязной. Следовательно, любое локально безвихревое течение в пространстве должно иметь однозначный потенциал скоростей и при нулевой подъемной силе. Если бы это было действительно так, полет был бы невозможен. [c.31]

Задача найти распределение импульсивных сил с компонентами X, У I, отнесенныз к единице массы, которое породило бы мгновенно из положения равновесия действительное движение с компонентами скорости и, V, является до известной степени неопределенной однако решение, достаточное для наших целей, можно получить следующим образом. Предположим, что проведена односвязная поверхность 5, заключающая все вихри. Мы обозначим через однозначный потенциал скоростей, который имеется вне 5, и через — то решение Aq) = О, которое конечно всюду внутри 5, а на поверхности связано непрерывно с 95. Другими словами, (р есть потенциал скоростей того движения, которое возникает внутри 5, когда на поверхности 5 приложены импульсивные давления Qq). Если мы предположим теперь, что для внутренних точек имеют место равенства [c.268]

Невозможность существования безвихревого движения с однозначным потенциалом в односвязной области, на границе которой скорости равны нулю, производит на первый взгляд парадоксальное впечатление. В дальнейшем станет ясно, что такого рода движения в идеальной жидкосги образуются и происходят за счет создания внутри объема некоторых особенностей вихрей, нарушающих однозначность потенциала скоростей, источииков, стоков или диполей, приводящих к нарушению конечности значений потенциала в точках внутри области течения и др. Вместе с тем огсюда вытекает и важность рассмотрения безвихревых потоков с особенностями для приближения к действительно существующим движениям. [c.222]

Если же область определения вектора А неодносвязна, то гарантировать однозначность потенциала (р нельзя. В этом случае к значению интеграла в (1.87) в некоторых случаях добавляется определенная постоянная (циклическая постоянная) каждый раз при обходе по замкнутому контуру особенности, нарушающей связность области. Этот вопрос будет подробно рассмотрен дальше ( 6). [c.105]

Применим это выражение к случаю, когда сила / имеет однозначный потенциал /=gradi/ и движение баротропно, т. е. р = р(р). При этих условиях [c.144]

Трубок, опоясанных этим контуром, можем на основании теоремы Кельвина заключить, что при принятых оговорках о баротропности движения и наличии однозначного потенциала объемных сил сохраняются также интенсивности вихревых трубок [c.188]

Положим, что на материальную точку М в данном поле действует сила Р (имеющая однозначный потенциал). Под действием силы Р происходит движение точки М. Возьмем какие-либо два положения Му и /Из точки М на ее траектории (черт. 38) и применим закон кинетической энергии к движению точки Ж на участке М1М2. Обозначая скорости точки М в положениях Му и М2 через чгу и 2> 3 работу силы Р на пути М1М2 через / , будем иметь [c.63]

Предположим, что все задаваемые силы, приложенные к системе, имеют (однозначный) потенциал потенциальную энергию системы обозначим через V. Все связи системы предположим двухсторон-йими и идеальными (и не зависящими от времени). Положим, что в течение некоторого промежутка времени система переходит из одного положения (назовем его положением /) в другое положение (пусть это будет положение //). Обозначая значения кинетической энергии системы в положениях / и // через 7 и 7 2. а сумму работ задаваемых сил на перемещение системы из положения / в положение II через 2 имеем по закону кинетической энергии [c.217]

П0верх/ 0стями уровня или поверхностями равного потенциала. Если, как мы считаем, силовая функция является однозначной функцией координат, то поверхности уровня не могут пересекаться и через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. При любом перемещении вдоль поверхности уровня Ui= U2= , и работа сил поля, как следует из уравнения (57), будет равна нулю. Поскольку сила при этом ие равна нулю, то отсюда заключаем, что в любой точке потенциального силового поля с)1ла направлена по нормали к позёрх/юсти уровня, проходящей через эту точку. [c.319]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Очевидно, частице, находящейся в точке О поля, всег да можно приписать любое наперед выбранное значени( потенциальной энергии. Это соответствует тому обстоя тельству, что работа сил поля определяет лишь разносп потенциальных энергий в двух точках, но не их абсолют ное значение. Однако как только фиксирована потенци альная энергия в какой-либо точке, значения ее во все остальных точках поля однозначно определяются фор мулой (4.10). [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...