Примеры краевых задач

Уравнение (3.15) аппроксимирует (3.1) со вторым порядком точности. Числовое решение этого уравнения трудностей не представляет. Поясним это на примере краевой задачи для уравнения (3.1) в области. х 0, с условиями w(0, Jt) = [c.80]

Примеры краевых задач можно встретить во многих областях, в таких, как тепло- и массоперенос, течение жидкости, электростатика и механика твердого тела. К примеру, установившееся распределение тепла описывается дифференциальным уравнением в частных производных (уравнением Лапласа) =0, где Т — температура, и в любой корректно поставленной задаче в каждой точке границы С заданы либо температура, либо тепловой поток (температурный градиент). В эластостатике дифференциальные уравнения в частных производных — это уравнения упругого равновесия и в каждой точке границы С задаются нормальные напряжения или смещения и касательные напряжения или смещения. [c.9]

На рис. 7.17 приведен простой пример краевой задачи для неоднородного тела. Рассматриваемая область состоит из кольца а < < г с Ь с упругими постоянными Vi и Gi внутри круглого отверстия радиуса г = Ь в большой пластине с упругими постоянными Vj и Ог- Внутренняя поверхность кольца находится под действием нормальных напряжений = —р, а пластина свободна от напряжений на бесконечности. Решение этой задачи, удовлетворяющее условию непрерывности радиальных напряжений и смещений на поверхности контакта г = Ь, можно получить по стандартным формулам для толстостенных цилиндров (см., например, 127, стр. 125—126]) М. Радиальные и тангенциальные напряжения определяются формулами I [c.177]

Интенсивное исследование численных методов решения вариационных задач оптимального управления и применение для этой цели ЭВМ началось в пятидесятых годах и развивалось, как уже отмечалось выше, параллельно с развитием общей математической теории оптимальных процессов. Основные усилия прежде всего были направлены на создание методов, использующих необходимые условия оптимальности в форме уравнений Эйлера — Лагранжа. Основные трудности, возникающие здесь, были уже кратко охарактеризованы выше в 8. Напомним их здесь еще раз, остановившись подробнее на примере краевой задачи (6.6) — (6.7). На основании принципа максимума дело сводится к следующей двухточечной задаче [c.198]

Приведем конкретный пример краевой задачи для разреза, ограничившись для простоты плоским случаем. Пусть упругая плоскость с разрезом вдоль отрезка (—1, -1-1) оси х растягивается в направлении оси / напряжением величины р ху — прямоугольные декартовы координаты). Соответствующая краевая задача в терминах потенциала Колосова— Мусхелишвили Ф(2) формулируется так [c.262]

ГЛАВА III ПРИМЕРЫ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [c.38]

Сначала изучим абстрактную ситуацию, а потом дадим пример краевых задач. [c.251]

Перше примеры краевых задач второго порядка [c.26]

При переходе от дифференциальной краевой задачи к разностной необходимо также аппроксимировать граничные условия. Так, в рассмотренном примере (1.77) граничные условия при использовании (1.78) можно аппроксимировать точно [c.45]

Приводя здесь без доказательства ьти краткие сведения о связи между особенностями возникающей стационарной точки с особенностями краевой задачи, определяющей прямой путь, приведем лишь два примера, разъясняющих, каким образом в задачах механики появляются кинетические фокусы. [c.283]

Полная постановка краевых задач включает, как и в предыдущем примере, граничные условия (и, если нужно, условия на бесконечности) и начальные условия, определяющие начальные скорости в начальный момент времени [c.45]

Пример 5.5. Пусть состояние у и управление и связаны краевой задачей [c.303]

Пример 5.6. Рассмотрим задачу определения оптимального управления и, которое минимизирует функционал (5.431), причем связь управления и с состоянием у и) определяется краевой задачей [c.305]

Пример 5.7. Для упрощения предположим, что управление распределено по области, и зададим связь управления с состоянием краевой задачей [c.306]

Таким образом, если некоторая краевая задача, содержащая наряду с уравнениями некоторые неравенства (пример приведен в главе 5), приводится к неравенству вида [c.337]

Определение решения системы дифференциальных уравнений движения (52) при заданных начальных значениях координат и скоростей (55) представляет собой пример так называемой задачи Коши. Эта задача, как доказывается в теории дифференциальных уравнений, при весьма общих ограничениях, накладываемых на правые части дифференциальных уравнений, имеет решение и притом единственное. В теоретической механике могут ставиться задачи и другого тша —краевые задачи. Так, например, можно задать положения точки, соответствуюш,ие двум различным моментам времени t = to и t = t[ при этом система (53) также приведет к шести уравнениям с шестью неизвестными, но, в отличие от задачи Коши, такого рода краевая задача может и не иметь решения, а если будет иметь, то это решение может оказаться не единственным. [c.33]

Технику применения МКР поясним на очень простом, но характерном примере (рис. 8.3). В симметричной балке найдем прогибы v в узловых точках 7 и 2, решая краевую задачу для уравнения изгиба балки [c.231]

Где ф (х) — известное число, так как х (О, /). Изложенный метод решения начально-краевых задач известен как метод продолжения. Метод продолжения был продемонстрирован на примере задачи о распространении тепла в стержне конечных размеров. Метод, естественно, применим и в случае полубесконечного стержня (О X < 4 Оо), когда используется лишь одно краевое условие и за дача (4.100) трансформируется в такую [c.152]

Установив на примере алгоритм решения краевой задачи методом разделения переменных, наметим, в заключении, ход решения более общей краевой задачи, рассматриваемой на области D с i " для уравнения второго порядка [c.174]

Можно показать, что не всякая разностная задача является разрешимой. В качестве примера рассмотрим краевую задачу для разностного уравнения второго порядка [c.228]

Рассмотрим некоторые примеры. Обратимся к ранее изученному оператору — (Ри/с1х = 2, заданному на отрезке [О, 1] при краевых условиях (0) = н(1) = 0. Этот оператор — положительно определенный. Решением краевой задачи является функция и — х —х), которая минимизирует функционал [c.137]

Перейдем к изложению основных идей МКЭ на примере одномерной задачи [247]. Рассмотрим двухточечную краевую задачу [c.162]

Понятие погрешности аппроксимации можно ввести и другим способом. Для этого в соотношении ah = Rh u)—R u) под и следует подразумевать не обязательно точное решение краевой задачи, а произвольную достаточно гладкую функцию из некоторого функционального класса LI. Тогда говорят о погрешности аппроксимации схемы по отношению к классу функций U. Покажем на примере того же уравнения (3.3), что порядок аппроксимации для точного решения может быть выше, чем для класса функций, обладающих такой же гладкостью. Пусть г=, т. е. x = h. Если и — точное решение уравнения (3.1), то, дифференцируя (3.1), получаем [c.77]

При переходе от дифференциальной краевой задачи к сеточной нужно аппроксимировать не только внешние граничные условия, входящие в постановку краевой задачи, но и внутренние граничные условия, вытекающие из системы дифференциальных уравнений. Наиболее естественным способом аппроксимации внутренних граничных условий является замена соответствующих характеристических соотношений их сеточными аналогами. На практике часто применяют и другие способы. В частности, вместо характеристических соотношений используют некоторые из уравнений основной системы. Эти уравнения аппроксимируют с помощью явной схемы уголок , имеющей первый порядок аппроксимации, или с помощью неявной схемы прямоугольник второго порядка точности (см. п. 3 3.2, пример 6). Заметим, что в последнем случае трудности при решении уравнений для искомых функций на верхнем слое не возникают, так как в соседнем с границей узле все неизвестные могут быть определены по основной явной схеме. [c.99]

Например, при е=0,01, а=1, Л = 0,01 получаем N 9200. Из этого примера видно, что простейшие итерационные процессы, основанные на явных аппроксимациях нестационарной краевой задачи, могут оказаться неэффективными. [c.137]

Идею применения интегралов Коши к решению плоской задачи теории упругости мы проиллюстрируем на примере первой краевой задачи для круговой области. Пусть радиус круга равен единице, условие (10.5.1) выполняется при z = о = е . Умножим [c.339]

Четвертая глава посвящена важнейшему вариационно-разностному методу решения краевых задач — методу конечных элементов. Изложена основная идея метода и особенности его программной реализации на примере решения двумерного стационарного уравнения теплопроводности в области сложной формы. Материал данной главы не связан с последующей. [c.5]

Для решения конкретных задач должны быть заданы краевые условия, преобразование которых к системе переменных Ф,ш1г, иг должно вьшолняться с учетом условий расчета. В качестве примера рассмотрим задачу [66], где граничные условия задавались в следующем виде [c.101]

Примером приложения развиваемой ниже теории. ползучести для наращиваемого тела является краевая задача теории вязкоупругости для тел, граничная поверхность которых изменяется во времени из-за фазовых переходов [34]. [c.27]

Перечисленные краевые задачи не исчерпывают всё многообразие краевых задач матем. физики, это простейшие классич. примеры краевых задач. Краевые задачи, описывающие реальные физ. процессы, могут быть сложными системы ур-ний, ур-ния высших порядков, нелинейные ур-ния. К ним в первую очередь относятся ур-ние Шрёдингера, ур-ния гидродинамики, переноса, магн. гидродина.мики, ур-ния Максвелла, теории упругости, ур-ния Дирака, ур-ния Гильберта — Эйнштейна, ур-ния Янга — Миллса и др. В связи с поисками нетривиальных моделей, описывающих взаимодействие квантовых полей, возрос интерес к классич, нелинейным ур-ниям (см. Нелинейные уравнения математической физики). [c.65]

X 6L матриц и решения алгебраической проблемы собственных значений для 2L-E(ju) X 2Ь-Е /л) матрицы. В рассмотренном далее примере краевые задачи для матричных дифференциальных уравнений решены методом инвариантного погружения, а при численном решении алгебраической проблемы собственных значений использовался QR-алгоритм в сочетании с предварительным приведением матрицы коэффициентов системы (8.6.26) к форме Хессснберга [353 ]. При вычислениях принималось L = 6, что согласно оценкам, полученным в предыдущих разделах, достаточно для обеспечения высокой точности результата. Данные о скорости сходимости метода относительно параметра /г приведены ниже. Расчеты выполнены с использованием МВК Эльбрус-2. [c.272]

На цилиндрической поверхности кривые 0 = onst представляют собой винтовые линии, проходящие через точку х = О, у = 0. Кривые р = onst — пространственные кривые, которые на развертке цилиндра представляют систему концентрических окружностей с центром в точке х = у = 0. Множество примеров краевых задач для уравнения вида (7.4) можно найт 1 в книге [1.15]. [c.309]

Проблема устойчивости течения жидкости хорошо известна в классической гидромеханике. В обш ем виде эту проблему можно сформулировать следующим образом. Пусть дана хорошо постаь-ленпая краевая задача. Может существовать (и даже быть получено в явном виде) точное решение уравнений движения, удовлетворяющее всем граничным условиям, которое является стационарным в эйлеровом смысле d dt = 0). Все же такое решение может быть неустойчивым в том смысле, что если в некоторый момент времени наложить на это решение малые возмущения, то эти возмущения самопроизвольно будут стремиться возрастать с течением времени, а не затухать. Это означает, что существует другое (возможно, нестационарное) решение уравнений движения и что практически наблюдаемый режим течения будет нестационарным, поскольку, конечно, в реальном случае невозможно избежать каких-либо возмущений. Типичным примером этого является турбулентное течение в трубе постоянного сечения, где имеется также стационарный, но неустойчивый режим течения, называемый ламинарным. [c.297]

На макроуровне используют математические модели, описывающие физическое состояние и процессы в сплошных средах. Для моделирования применяют аппарат уравнений математической физики. Примерами таких уравнений служат дифференциальные уравнения в частных производных—уравнения электродинамики, теплопроводности, упругости, газовой динамики. Эти уравнения описывают поля электрического потенциала и температуры в полупроводниковых кристаллах интегральных схем, напряженно-деформированное состояние деталей механических конструкций и т. п. К типичным фазовым переменным на микроуровне относятся электрические потенциалы, давления, температуры, концентрадии частиц, плотности токов, механические напряжения и деформации. Независимыми переменными являются время и пространственные координаты. В качестве операторов F и У в уравнениях (4.2) фигурируют дифференциальные и интегральные операторы. Уравнения (4.2), дополненные краевыми условиями, составляют ММ объектов на микроуровне. Анализ таких моделей сводится к решению краевых задач математической физики. [c.146]

Нестационарные краевые задачи. Во всех рассмотренных выше примерах МКЭ применялся для решения стационарных краевых задач. Алгоритм метода и особенности отдельных его этапов остаются неизменными и при решении нестационарных задач, в уравнениях которых присутствуют не только частные производные по пространственным координатам, но и частные производные по времени, как, например, в (1.4), (1.7). В этом случае член с частной производной по времени рассматривается как функция пространственных координат в каждый фиксированный момент времени, или, как принято говорить, на каждом шаге численного интегрирования по времени. Например, в рассмотренной выше задаче пестациоиарное температурное поле в стерж не описывается уравнением [c.39]

Совокупность разностного уравнения и разностных краевых условий называется разностной схемой краевой задачи. Так, в нашем примере уравнения (1.79) и (1.83) явл яются разностной схемой краевой задачи (1.77). [c.45]

Примером указанного подхода к решению краевых задач служат методы интегральных граничных элементов (МГЭ). Развитие МГЭ началось сравт1Ительно недавно, [c.60]

В этом параграфе будет приведена общая схема peuJeния краевых задач механики деформируемого твердого тела при этом не будем вдаваться в анализ возможных форм связи напряжений с деформациями, отметим только, что эта проблема получила удовлетворительное решение лишь для высокоэластичных материалов типа резины (примеры определяющих уравнений будут приведены ниже). [c.276]

Книга содержит нетрадиционное изложение курса теории упругости, базирующегося на специальных разделах теории дифференциальных уравнений в частных производных и математического анализа. В первой главе в достаточно компактной форме дается конспективное изложение тех математических дисциплин, которые уже с успехом используются и могут быть использованы в дальпейи1ем при решении на современном уровне различных задач теории упругости. Две следующие главы посвящены концентрированному, по вместе с тем достаточно полному изложению собственно предмета теории упругости, включая такие сравнительно новые разделы, как. злектромагнитоупругость и механика хрупкого разрушения, постановке краевых задач, а также изложению некоторых приемов сведения краевых задач теории упругости к классическим задачам математической физики, В остальных главах книги (главы VI—VIII) конкретные математические методы, указанные в заглавии, применяются к решению определенных классов задач теории упругости. В ряде случаев эффективность того или иного метода демонстрируется на примерах таких задач, решение которых было получено только в последнее время. Большое внимание уделяется как вопросам строгого математического обоснования тех или иных алгоритмов, так и приемам их численной реализации. [c.2]

Остановимся на так называемом альтернирующем методе, предложенном Шварцем (см., например, [69]). Этот метод заключается в последовательном решении задач для любой области, ограниченной лишь одной поверхностью. Рассмотрим для простоты пример области, ограниченной (для принятой выше индексации) поверхностями 5о и 51. Первоначально решается, например, задача для области Оа при заданном на поверхности краевом условии и при этом определяется значение функции (или ее нормальной производной) на поверхности 51. После этого решается краевая задача для области 5Г при краевом условии, равном разности между заданным по постановке задачи условием и определенными значениями на первом этапе решения. Далее находятся значения на поверхности 5о, доставляемые эти решения, и т. д. Доказана сходимость метода Шварца. [c.106]

Заметим, что разработан метод определения указанных коэффициентов для общего случая эллиптических краевых задач [154, 155]. Для них получены явные интегральные представления, в которые входят исходные краевые условия и некоторые специальные решения вспомогательной однородной краевой задачи. Указанные решения зависят только от конфигурации области и характера краевых условий. Они определяются однозначно главными членами своей асимптотики и так же, как функции (8.17), имеют особенность в нерегулярной точке границы. Реализация этого метода представляется особенно эффективной тогда, когда требуется для одной и той же области решить совокупность однотипных краевых задач, поскольку потребуется лишь один раз решать вспомогательную задачу. В [162] приведены примеры, иллюстрирующие применение метода в задачах теории упругости. [c.312]

Как отмечалось в 12 гл. I, решение краевых задач методом Ритца может приводить к неустойчивому алгоритму. Проиллюстрируем это утверждение иа примере одной задачи об изгибе пластинки в форме кругового сектора при смешанных краевых условиях [158]. [c.629]

Покажем, используя кетод разделения переменных Фурье для получения решения линейной однородной краевой задачи для функции W, что и. (х, у, )->0 при t oo. Рассмотрение проведем на примере соответствующей одномерной задачи в области Имеем [c.131]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...