Разностная задача

Для работы на ЭВМ более удобна конечно-разностная форма этих уравнений. Для этого временная шкала разбивается на конечные интервалы Считаем, что в начальный момент времени /о координаты q,° и скорости V, всех частиц заданы. Тогда в нашем случае имеем разностную задачу [c.190]

Таким Образом, приходим к разностной задаче-(7.251), (7,253), аппроксимирующей дифференциальную (7.33), (7.13) [c.186]

Основная идея применения разностных методов состоит в замене непрерывных переменных дискретными. Функции и аргументы заменяются набором чисел, заданных в точках множества, называемого сеткой. Исходные дифференциальные или интегральные уравнения заменяются системой алгебраических уравнений высокого порядка. Хотя в принципиальном плане задача упрощается, но из-за высокого порядка алгебраической системы возникают большие вычислительные трудности, как правило, непреодолимые без использования ЭВМ. При решении дифференциальных уравнений производные в уравнениях и граничных условиях заменяются отношением конечных разностей функций и аргументов. Исходной задаче ставится в соответствие разностная задача или разностная схема. В дальнейшем разность аргументов в соседних узлах сетки будем называть шагом сетки. Будем говорить, что разностное уравнение аппроксимирует исходное дифференциальное, если при неограниченном измельчении сетки разностное уравнение стремится к точному. [c.224]

Разностное уравнение (7.8) с соответствующим начальным условием составляют разностную задачу. Из уравнения (7.8) следует [c.226]

Это есть решение разностной задачи если в нем перейти к пределу при п оо 0), то можно получить точное решение исход- [c.227]

Можно показать, что не всякая разностная задача является разрешимой. В качестве примера рассмотрим краевую задачу для разностного уравнения второго порядка [c.228]

Следует заметить, что хорошая обусловленность разностной краевой задачи является лишь необходимым условием ее решения. Существуют вычислительные алгоритмы, которые не пригодны для расчета разностных задач, при их применении решение разностной задачи может сколь угодно сильно отличаться от точного решения при любом измельчении сетки. Такие алгоритмы не пригодны также и для решения хорошо обусловленных задач. [c.229]

Говорят, что решение разностной задачи сходится к точному решению, если при измельчении шага и ) [ы]д. Чтобы придать точный смысл сходимости, используем понятие нормы. Пусть пространство, в котором рассматриваются функции, является метрическим (см. 2.1). Назовем нормой величины / число, характеризующее меру отклонения этой величины от нуля, обозначим ее II/ . Норма есть аналог расстояния между двумя точками, [c.229]

Дадим определение сходимости, сделаем это на примере разностной задачи [c.230]

Определение. Решение ы ") разностной задачи при измельчении сетки сходится к точному решению [m]/j, если норма разности [c.230]

Для того, чтобы точное решение [и] удовлетворяло разностной задаче, к ее правой части следует добавить величину б/ ). [c.230]

Можно повысить порядок точности разностной задачи. Для этого необходимо воспользоваться представлением производной по формуле (7.4), со вторым порядком аппроксимации. Если при этом дополнительные условия (в данном случае начальные) также будут аппроксимированы со вторым порядком, то при условии сходимости разностная задача будет иметь второй порядок точности. [c.231]

Заметим, что хотя в рассмотренных здесь простейших случаях порядок аппроксимации производных совпадает с порядком точности решения соответствующей разностной задачи, в общем случае это может быть не так. Ясно, что порядок точности разностной схемы не может превосходить порядка аппроксимации. Для того, чтобы точность решения разностной задачи совпала с порядком аппроксимации исходной задачи, необходимо требование устойчивости вычислительного алгоритма. [c.231]

Дадим определение устойчивости разностной схемы. Разностную схему (7.12) будем называть устойчивой, если существуют такие Ло > О и б > О, что при h < Нд и всяком удовлетворяющем е< ) < б, разностная задача [c.231]

Из сказанного следует, что если решение разностной задачи устойчиво относительно малых изменений правой части, то из аппроксимации (б/< > О при Л 0) следует сходимость - [и ]д при А - О, т. е. сходимость есть следствие аппроксимации и устойчивости. 0 можно сформулировать в виде теоремы. [c.231]

Если разностная схема (7.12) аппроксимирует задачу (7.11) с порядком k и является устойчивой, то решение ы ) разностной задачи сходится к точному [и]д, причем имеет место оценка [c.232]

На примере рассмотренной разностной задачи (7.62), видно, что часто применяемый экспериментальный способ установления [c.250]

Для дву- и трехмерных нестационарных задач теплопроводности число неизвестных в разностных схемах значительно возрастает. Вследствие этого возрастает и число выполняемых при ре-шении разностной задачи арифметических операции. Для различных разностных схем возрастание объема вычислительной работы неодинаково. Поэтому для таких разностных схем рассматривают <- ще одно свойство — экономичность. [c.245]

Экономичность определяется общим числом арифметических операций, необходимых для решения разностной задачи с заданной степенью точности. Считают, что разностная схема экономичная, если число арифметических операций на каждом 50 шаге по времени пропорционально числу узлов сетки N. Явная схема в этом смысле экономична, но устойчива лишь при жестком ограничении шага по времени [соотношения (23.20), (23.21)]. Неявная схема абсолютно устойчивая, но для дву-и трехмерных задач не является экономичной, так как при решении системы алгебраических уравнений общего вида необходимо совершить число операции, пропорциональное N . [c.245]

HXi, yj, Z , T ) yj, z , T ) t xt, yj,, tJ p(xi, yj, z , t ) заменим задачу (1) — (4) разностной задачей. При этом разностное уравнение движения приведем в проекции только на одну ось координат х, поскольку для двух других осей уравнения аналогичны. В результате получим [c.113]

Исследование сходимости разностной задачи к точному решению системы нелинейных дифференциальных уравнений (1)—(4) при- заданных краевых условиях представляет большие трудности. [c.114]

Разностная задача (9) — (16) решается следующим образом. Условия (13) и (14) определяют значения Ит, tm И V°- 2 [c.151]

Рассмотрим разностную задачу, соответствующую задаче (2.12). Для этого нужно ввести сеточную область U = hi [c.169]

Полученную разностную задачу (3.2), (3.5), (3.6) можно записать в виде [c.175]

Рассмотрим разностную задачу, соответствующую задаче (3.10), [c.176]

Пусть известно, что система (3.7)-(3.9) устойчива. Изучим некоторые способы ее решения. Рассмотрим однородную первую краевую разностную задачу [c.178]

Заметим, что в предыдущем параграфе мы также рассматривали решение разностного уравнения второго порядка (2.23). Однако там вместо краевых условий (3.33) были начальные условия (2.24), благодаря чему матрица системы была треугольной, и поэтому система разрешалась в явном виде (разностная задача Коши). Ищем решение краевой разностной задачи (3.32), (3.33) в виде [c.178]

Рассмотрим теперь другой метод реализации разностной задачи (3.7)-(3.9), известный под названием метода прогонки [19]. Ищем решение этой задачи в виде [c.181]

Как, известно из работы / ], при решении разностны задач с сильно ме-няпцимися коэффициентами наиболее целесообразным является использование потокового варианта метода прогонки, поскольку при использовании обычной прогонки происхомт существенная потеря точности, а последующее численное дифференцирование с цельв нахождения теплового потока на границе стенка - жидкость может привести к накоплению ошибка я, как следствие, - к неверяоцу результату. [c.104]

Порядок системы линейных алгебраических уравнений (7.251), (7.253), которую надо решить, сравним с N", где N h. Для достижения хорошей точ-иости решения нужно брать h достаточно мальш. Если h 1/100, то порядок системы 10 . При решении системы столь высокого порядка общими методами, например методом исключения Гаусса, нужно выполнить около = арифметических операций. На машине, делающей 0 onepatviH а секунду для этого потребуется несколько месяцев машинного времени. Это время можно сократить да 20—30 мин, если воспользоваться методом матричной прогонки (см. [24], с. 100—102), учитывающим специфику матрицы разностной задачи (ее триди-атональность) этот метод требует операций [c.186]

Чтобы еще более существенно сократить машинное время, нужно использовать не только специфику матрицы системы, но и отказаться от нахождения ав TtwHoro решения. На самом деле точное решение разностной задачи не столь уж цгино, поскольку оно само лишь приближается к решению исходной дифферен-ц альной задачи с точностью h . Поэтому имеет смысл искать решение раз-шктной задачи тоже приближенно с точностью е 1/А/ , [c.186]

Задание нижней границы спектра разностной задачи (см [57]) ори KVR = 1 — рис. 7.28, а, npnKVR = 2 — рис. 7.29, б. [c.422]

Решерие разностной задачи модифицированным итерационным методом Ричардсона [57]. [c.422]

Краевая задача (7.9), (7.10) может вообще не иметь решений, либо решение может быть неединственным. В то же время можно указать широкий круг разностных уравнений, для которых разностные задачи типа (7.9), (7.10) разрешимы и более того, обладают слабой чувствительностью к ошибкам в задании правых частей ((/т), ф, Ч )- Дадим определение хорошо обусловленной краевой задачи. [c.228]

Здесь использован сеточный шаблон, показанный на рис. 7.2, б при h X. Уравнение (7.33) соответствует неявной разностной схеме, в нем присутствуют значения функций в трех точках верхнего временного слоя. Хотя разностные уравнение и начальное условие при измельчении сетки стремятся к исходному дифференциальному уравнению и начальному условию, решение разностной задачи, как уже отмечалось, может не стремиться к точному. Сходимость может зависеть от выбора сетки, в частности, от параметра а = т/Л. Если заданы начальные условия на отрезке 1а, Ь], то, согласно общей теории, решение уравнения (7.25) может быть получено в треугольнике определенности с основанием [а, Ь], боковыми сторонами которого являются пересекающиеся характеристики разных семейств х t = onst, х — t = onst, проходящие соответственно через точки а и Ь (рис. 7.3), Угол наклона характеристик к оси абсцисс в этом случае равен л/4. [c.238]

В качестве примера изложенного метода рассмотрим результаты восстановления (рис. 3.9) вектора нормальных усилий Рг(>") на торце полого кругового цилиндра с теми же геометрическими размерами поперечного сечения, что и в приведенном выше примере. Высота цилиндра -100 мм. Исходная информация бралась в виде радиальной компоненты вектора перемещений на наружной поверхности цилиндра. Внутренняя и наружная поверхности цилиндра свободны от нагрузок, нижний торец закреплен от осевых перемещений. Расчеты проводились вариационноразностным методом на регулярной сетке Аг = 10 мм, Дг = 5 мм. Вначале решалась прямая задача по заданному вектору нормальных усилий на горце р (г) находился вектор перемещений на внешней грани цилиндра затем обратная задача. На выбранной сетке строились матричные аналоги интегральных операторов уравнений (3.16) и (3.17), по которым находился матричный оператор уравнения (3.18). Методом последовательных приближений решалась разностная задача для уравнения (3.18). На рисунке приведены точное решение — пунктирная линия нерегуляризованное решение, соответствующее решению интегрального уравнения первого рода (3.9) и не имеющее ничего общего с искомым решением - кружки с крестиками решение уравнения (3.18), полученное методом последовательных приближений при различных начальных приближениях вектора р°(г) (осциллирующая функция — квадраты, сосредоточенная сила - треугольник. Из рисунка видно, что метод дает устойчивое приближение к искомой функции и мало чувствителен к выбору начального приближения. [c.78]

Решение разностной задачи (5) — (8) при заданных краевых условиях, которые также должны бытБ представлены в форме разностных соотношений, производится в следуюш,ей последовательности. Начальные условия определяют значения функций ufj , v% , я1т> й]т, Р%т- Переходя от шага к шагу вдоль оси т, можно при помощи уравнений (5)— [c.114]

Поставленная разностная задача должна быть корректной, т.е. должно существовать единственное ее решение и должна иметь место устойчивость. Однако допущенный нами волюнтаризм в написании граничных условий (3.8), (3.9) может привести к тому, что задача (3.8)-(3.9) не будет имееть решения. [c.175]

При наш1сании граничных условий для разностной задачи поступим таким же образом, как и при выводе условий (3.5) и (3.6). Тогда [c.176]

Полученное решение можно трактовать как линейную комбинацию решений двух разностных задач Коши. В самом деле, из тождественных преобразований (полагая Uj = / , / — некоторый паргшетр), где [c.179]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...