Теорема существования

Возможности решения уравнений обобщенной модели ЭМП определяются основными положениями теории обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Теоремы существования и единственности гарантируют однозначное решение на некотором интервале времени при условии непрерывной дифференцируемости переменных и непрерывности коэффициентов уравнений в зависимости от времени. Получаемые при этом решения, в свою очередь, являются непрерывными функциями времени. [c.62]

Действительно, если силы, стоящие в правых частях уравнений (2), не зависят от ускорений точек, то система, представленная в форме (2), разрешена относительно старших производных. Для систем такого рода (систем типа Коши) в теории дифференциальных уравнений установлены теоремы существования и единственности решения при заданных начальных данных. Эти теоремы утверждают, что при некоторых нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на правые части дифференциальных уравнений, существует решение этих уравнений, причем задание начальных данных — координат qj и скоростей qj, число которых соответствует порядку системы, — полностью определяет это решение, т. е. в нашем случае — последующее движение. [c.136]

В силу теоремы существования и единственности решения уравнений (6.1) интегральные кривые не мог ут пересекаться и, следовательно, все другие решения находятся внутри полос, образуемых решениями х х , л = [c.215]

Для того, чтобы воспользоваться полученным результатом на практике, необходимо иметь результаты о достаточной регулярности решения в частности, если используются конечные элементы Лагранжа класса С с А=1, то для применения теоремы 4.10 необходимо иметь иеЯ (Й), что в общем случае неверно, так как теорема существования в рассматриваемом случае дает лишь иеЯ ( ). [c.194]

Оказывается, факт сходимости можно установить, опираясь только на результаты, вытекающие из теоремы существования. [c.194]

Существование решения полученных задач минимизации в случае, когда непусто, вытекает из теоремы существования П.З приложения II. Случай S =(7) требует особого рассмотрения отметим без доказательства, что при S —0 для существования решения необходимо потребовать, чтобы было выполнено условие [c.289]

Имеет место следующая теорема (существования), если [c.336]

При достаточно малом шаге градиентные методы сходятся к решению при выполнении тех же предложений, что и в теореме существования и единственности. [c.341]

Данный метод называется методом точечной релаксации. Он является сходящимся при выполнении ограничения (11.128), предположения о непрерывной дифференцируемости функции J и условий теоремы существования и единственности. [c.341]

На основании теоремы существования и единственности решения задач теории упругости можем сделать заключение, что совокупность двух бесконечных систем линейных уравнений (7.68), [c.195]

Доказательство теоремы существования решения задач теории упругости представляет значительные математические трудности. [c.92]

Первоначальные сведения о доказательствах теоремы существования решения, которые даны Корном (1907) и Лихтенштейном (1924), можно получить в работах [5, 31. [c.92]

Допустим, что для изучаемого класса течений теорема существования и единственности решений уравнений Навье — Стокса доказана. Зафиксируем конкретные значения критериев (5.89) и сформулируем в безразмерных величинах условия однозначности для безразмерных уравнений Навье — Стокса. Тогда решив их, получим единственное решение, в которое в качестве параметров войдут зафиксированные значения чисел Fr, Ей, Re, Sh. Это решение определит целый класс физически реальных процессов, размерные параметры которых в сходственных точках будут отличаться только численными множителями, а безразмерные будут одинаковыми. Иначе говоря, получим класс механически подобных потоков. [c.123]

Допустим, что для изучаемого класса течений теорема существования и единственности решений уравнений Навье — Стокса доказана. [c.132]

Таким образом, правая часть в (2.16) есть положительная величина, а левая — отрицательная. Поэтому отношение (1—Яо)/(1+Хо) есть число отрицательное. Следовательно, А.о 1. С другой стороны, точка Х=1 соответствует задачам 1+ и П , решения которых единственны. Если же допустить, что эта точка есть полюс резольвенты, то пришли бы к неединственности краевой задачи. Другое дело точка Х = —1, соответствующая задачам 1 и И+. Если бы эта точка не была полюсом резольвенты, то интегральное уравнение задачи 11+ было бы разрешимо при произвольной правой части, а тогда и краевая задача была бы всегда разрешима, но это противоречит теореме существования. Следовательно, точка X = —1 обязательно является полюсом резольвенты. Поскольку же уравнение задачи И является союзным (а альтернативы Фредгольма выполняются), то и здесь интегральное уравнение будет разрешимо лишь при определенных краевых условиях, хотя для исходной краевой задачи они не являются необходимыми ). [c.564]

На основании теоремы существования и единственности интеграла дифференциального уравнения второго порядка решение s=s будет единственным решением уравнения (2 ), для которого начальными условиями будут 5 = So и s = 0. Отсюда следует, что при сделанных предположениях материальная точка остается в равновесии в начальном положении. [c.30]

Далее, легко видеть, что в моменты t я —t, равно отстоящие от t = 0, движущаяся точка занимает одно и то же положение, но имеет равные по абсолютной величине и противоположные по знаку скорости. Это обстоятельство также непосредственно вытекает из теоремы существования и единственности интеграла, если принять во внимание, что уравнение (2 ) не изменится при замене t на —t. Действительно, отсюда выводится, что если функция s t) есть решение уравнения (2 ), принимающее при / = 0 значение время как ее производная обращается в нуль, то функция s —t) также будет решением уравнения (2 ), удовлетворяющим тем же начальным условиям. Отсюда получаем тождество [c.33]

Такое изучение предполагает, что интеграл, соответствующий заданным начальным з словиям, существует и является вполне определенным, по крайней мере внутри известного множества значений независимой переменной и неизвестных функций. Известно, что для систем дифференциальных уравнений нормального типа теорема существования и единственности интеграла имеет место, вообще говоря, только внутри тех множеств значений независимого переменного и неизвестных функций, в которых правые части остаются правильными ) функциями. [c.101]

Наконец, обе функции ф(г ) и v t), определенные таким образом, удовлетворяют системе (28 ) при t = t они принимают заданные значения 9 = — а, v = v и обе остаются правильными при возрастании t от до бесконечности. Так как, далее, во всем этом интервале существует условие v w Q, обеспечивающее возможность применения теоремы единственности (помимо теоремы существования интеграла для системы (28") (п. 17), то таким образом движение снаряда охарактеризовано однозначно. В частности, мы получили при этом следующие результаты 1) касательная к траектории (ориентированная в сторону движения) вращается всегда в одном и том же направлении, стремясь стать в вертикальное положение при t— o 2) скорость допускает отличный от нуля минимум. [c.105]

Какой бы из этих способов представления траекторий ни иметь в виду, оказывается выгодным задачу изучения траекторий поставить в дифференциальной форме таким способом мы достигнем уточнения числа существенных постоянных, от которых зависят траектории, применяя для этого, как увидим, обычные теоремы существования интегралов систем дифференциальных уравнений. [c.338]

Для избежания недоразумений необходимо лучше выяснить смысл и свойства этого последнего условия, заключающегося в том, что отклонение точек Р и Р друг от друга остается неопределенна долго меньше е. Если ограничиться сравнением решений оно в промежутке времени Т, хотя и большом, но вполне определенном, то всегда возможно (в тех условиях, в которых теоремы существования общих интегралов, имеющие силу при каком-нибудь t, обеспечивают им непрерывность в отношении произвольных постоянных) при всяком е поставить ему в соответствие начальное отклонение т), достаточно малое, для того чтобы во всяком интервале времени от до отклонение между точками в один и тот же момент времени оставалось меньше s. Может, однако, случиться, что когда заставляют Т возрастать до бесконечности, - i будет стремиться к нулю (при всяком е, заданном достаточно малым). Решение о называется устойчивым, когда эта возможность исключена. [c.379]

Но достаточно принять во внимание, что уравнение (37) тождественно удовлетворяется (при подходящем значении постоянной) какими угодно решениями х уравнений (36), чтобы видеть, что уравнение (38) в силу того же самого удовлетворяется тождественно, т. е. при произвольно выбранных значениях, в некоторой подходящей области переменных х и t, от которых зависит /. Действительно, мы уже знаем, что как бы ни задавались (в области, в которой для системы (36) имеет место теорема существования общего интеграла) [c.271]

Предположим, что это начальное положение движущейся точки выбирается в некоторой л-мерной области, в которой осуществляются условия, требуемые теоремой существования и единственности интегралов системы (36) предположим, кроме того, что промежуток изменения t выбран так, что указанные только что условия продолжают выполняться. [c.290]

Из рассуждений п. 63 гл. V, основанных на теореме существования интегралов, следует, что 2я — 2 произвольными постоянными можно воспользоваться для определения геодезической линии, накладывая на нее условие прохождения через произвольно заданную точку в произвольно заданном направлении. Добавим еще, что можно определить эти постоянные так, чтобы были удовлетворены какие-нибудь другие 2п — 2 условий, лишь бы они были совместными между собою например, можно заставить геодезическую линию пройти через две различные точки (достаточно близкие). [c.415]

Основная теорема существования ничего не говорит о единственности решения. В общем случае решение не является единственным, если только функции X не подчинены некоторым дополнительным ограничениям. Для доказательства достаточно рассмотреть простой пример, в котором т = 1 [c.358]

Промежуток времени I в формулировке основной теоремы существования в общем случае не является наибольшим промежутком, в котором существует решение, проходящее через точку (ai, 2, , ml т). Обычно этот промежуток можно расширить влево и вправо и получить решение, определенное на максимальном открытом интервале а < i < Ь, называемом естественным интервалом определения решения. При этом числа а и Ъ зависят от выбора точки ( ь г,. . ., а О и выбранной ветви решения, если оно не единственно. В рассмотренном примере а может равняться — оо, а Ъ может равняться так что имеются четыре типа естественного интервала определения решения. [c.358]

По теореме существования и единственности, условия которой выполнены, через каждую точку полосы (6.3) проходит и притом единственная интегральная кривая ш= ш t) уравнения (6.1) движения ротора, выражающая определенный закон изменения его угловой скорости в зависимости от времени t. [c.207]

На основании теоремы существования и единственности решений системы уравнений движения машинного агрегата (независимо от формы записи), учитывая выражение (19.6), можно записать [c.132]

Теорема существования и единственности для решений рассматриваемой системы уравнений заключается в следующем система дифференциальных уравнений (8.12) имеет решение у (), непрерывное вместе с первой производной по при I j, единственным образом определяемое допустимым набором величин уо, [c.232]

Следовательно, сформулированные выше условия в данном случае оказываются не только необходимыми, но и достаточными для существования механического подобия. Однако такое заключение нельзя распространить на произвольное движение вязкой жидкости, поскольку теорема существования и единственности решения уравнений Навье — Стокса доказана хотя и для многих, но все же частных классов движения. В общем случае необходимые и достаточные условия подобия не определены. Правда, это не исключает возможности практического использования теории подобия. В практике при постановке эксперимента существование и единственность группы потоков, подобных натурному, предполагают apriori, модель выполняют, исходя из необходимых условий подобия, и ее принадлежность к указанному классу проверяют на основе сопоставления частично известных натурных данных с результатами измерений на модели. [c.123]

Теорема существования и единственности. Если границы односвязных областей D и Л состоят более чем из одной точки, то существует и притом одна функция w = w (г), конформно отображающая область D на область Д так, чтош (го) = Wo, w (Zy) = wr, где zo, Wo, Zy, Wr — заданные числа (точки), причем Zq D, wq A, Zy 7, Wr 6 Г, где v. Г — границы областей D, A. [c.186]

Первый вопрос, который естественно поставить, состоит в том, всегда ли существует решение. Теоремами существования решения задач теории упругости занимались многие авторы. Для линейной теории упругости теоремы существования доказывались Фредгольмом, Лауричелла, Коссера, Лихтенштейном и другими авторами в начале этого столетия. [c.245]

Система (96 ), (96"), как мы видим, представляет собой все еще нормальную систему второго порядка относительно п неизвестных функций t, q ,, q - независимого переменного q . Поэтому на основании обычной теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений можно утверждать, что для системы (96 ), (96") существует решение и притом единственное, для которого в соответствии с заданным значением независимой переменной остальные п—1 переменных q и соответствующие им производные q вместе с и принимают наперед заданные произвольные значения. Условие того, что кривая в пространстве Г проходит через заданную точку в заданном направлении, выражается тем обстоятельством, что при указанном значении координаты q остальные (п—1) координат и их производные q принимают заданные значения. Отсюда можно заключить, что через каждую точку пространства Г в каждом из возможных направлений проходит по крайней мере одна траектория. Так как точек в пространстве Г будет оо" и из каждой из них выходит оо"" направлений, а на К35КДОЙ кривой существует оо точек и в каждой из них, за вычетом лишь исключительных (особых точек), однозначно определяется направление касательной, то можно поэтому сказать, что траектории дифференциальной системы второго порядка (96) с п неизвестными функциями образуют множество, состоящее по крайней мере из элементов. [c.339]

Этим мы не хотим утверждать абсолютно, что ш существует других первых интегралов напротив, для всякой нормальной дифференциальной системы первого порядка с п неизвестными функциями от одного перемен-яого из теоремы существования общего решения, зависящего от п произвольных постоянных, необходимо следует существование и первых интегралов, которые теоретически можно получить, разрешая относительно произвольных постоянных уравнения общего решения. Если из этих п первых интегралов, зависящих от t, исключим это переменное, то придем во всяком случае к л — 1 первых интегралов, связывающих только неизвестные величины задачи. Но во все теоремы существования входят разложения в степенные ряды или другие виды последовательных приближений, т. е. бесконечные алгоритмы, которые, вообще говоря, не приводят к функциям, выражающимся элементарно (алгебраическим, показательным или тригонометрическим), а когда в механике говорят о первых интегралах, известных или подлежащих определению (если нет явно выраженной оговорки о противном), то подразумеваются именно интегралы, выражаемые в этой Элементарной форме. [c.100]

Основная теорема существования для уравнений (19.1.2) впервые была доказана Пеано в 1885 г. Предположим, что функции X однозначны и непрерывны в области R, которая является связным открытым множеством вещественного (т + 1)-мерного евклидова пространства (х , ., t). Пусть ( i, аг,. . ., а т) будет точкой пространства R. Основной результат заключается в том, что существует решение уравнений (19.1.2), проходящее через точку (ai, оса, т Точнее, существуют положительное число времени /, [c.358]

Если вектор-функция / (/) является ограниченной и кусочнонепрерывной, то в соответствии с теоремой существования и единственности решение системы дифференциальных уравнений (7.2) существует на любом конечном интервале изменения независимого переменного t и единственным образом определяется начальными данными [c.193]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...