Однородные краевые задачи

Для однородных краевых задач часть компонент вектора Y o равна нулю (это следует из краевых условий при е=0). Оставшиеся компоненты вектора Y o находятся из однородных краевых условий при 8=1. Для т-го приближения имеем [c.120]

Если форма осевой линии стержня в критическом состоянии мало отличается от ее формы в естественном состоянии, то система уравнений (1), (3) позволяет определить модуль критической распределенной нагрузки Критическая нагрузка есть собственное значение однородной краевой задачи для системы уравнений равновесия (3). [c.277]

Представляется естественным к точкам, в которых нарушается регулярность решения, относить и те точки, в которых происходит изменение характера краевых условий (даже, если сама граница гладкая). Указанные особенности нельзя выявить заранее, однако весьма важные сведения могут быть все же получены. В работе [122], относящейся к поведению решения общих эллиптических краевых задач (и, следовательно, задач теории упругости) в окрестности нерегулярных точек границы, установлены следующие результаты. Показано, что решение в окрестности этих точек представляется в виде асимптотического ряда и бесконечного дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых задач для модельных областей (для конуса, если на поверхности коническая точка, для клина, если угловая линия). Эти решения зависят только от локальных характеристик (величины телесного или плоского угла и типа краевых условий). В ряде случаев (они далее будут подробно рассмотрены) построение этих решений сводится к трансцендентным уравнениям. Величины же коэффициентов при них зависят от задачи в целом. [c.306]

Следует заметить, что из получаемого множества решений однородных краевых задач следует исключить решения, приводящие к неограниченности энергии. Можно при этом исходить из того соображения, что в случае сглаживания особенности ) энергия конечна и поэтому при переходе к нерегулярной поверхности физический смысл имеют лишь те решения, при которых ограниченность энергии сохраняется. В процессе проведения численной реализации наибольший интерес вызывает то слагаемое, которое (после отсечения решений с неограниченной энергией) содержит наиболее сильную особенность для производных и, следовательно, больше всего затрудняет реализацию расчетной схемы. Слагаемые же, дифференцируемые более одного раза, практически не влияют на реализацию, и нет нужды в их предварительном выявлении. Что касается вопроса о вычислении постоянных множителей, то он будет рассмотрен несколько позднее. [c.306]

Рассмотрим, следуя [312] каноническую функцию однородной краевой задачи (22.11) [c.184]

Если положить 1 = 0 и отбросить постоянный множитель, то каноническую функцию однородной краевой задачи (22.11) можно принять в виде [c.185]

Решение задачи ползучести для составного тела й при > х может быть сведено к решению кусочно-однородной краевой задачи следующим образом. Обозначим чертой сверху над функцией ее приращение после момента сращивания. Например, и определяется формулой (3.10). Из (3.3) — (3.10) вытекает, что приращения деформаций, напряжений и перемещений удовлетворяют кусочно-однородной краевой задаче [c.29]

Здесь г (х) — заданная непрерывная функция. Краевые условия Nj у) — О представляют собой линейные однородные уравнения относительно значений неизвестной функции и ее производных до порядка к — 1 включительно в фиксированных точках х = О и X I. Если однородная краевая задача (1.13), (1.14) (т. е. задача (1.13), (1.14) при г х) = 0) имеет только нулевое решение, то существует функция Грина С х, ). При этом единственное решение краевой задачи (1.13), (1.14) дается формулой [c.236]

Предположение о нерастяжимости витка оправдано практикой, так как модуль упругости армирующих наматываемых волокон неизмеримо больше модуля упругости связующего. В этом случае отыскание критической угловой скорости со = Ио, при которой наступает резонанс, сводится к задаче о собственных значениях следующей однородной краевой задачи [c.28]

Теорема Кирхгоффа не исключает существования разрывных решений однородных краевых задач, когда при отсутствии массовых сил равны нулю перемещения (или поверхностные силы во второй краевой задаче) на поверхности тела. Непрерывное и даже аналитическое в объеме тела решение однородных краевых задач можно построить для значений постоянной Пуассона v вне допустимого интервала ее значений (при v>l/2 или V < —1). [c.184]

Индекс S определяется условием существования нетривиального решения однородной краевой задачи — должен быть равен нулю определитель Л системы линейных однородных уравнений для неизвестных коэффициентов В , С , D , получаемой в записи [c.184]

Дифференциальные уравнения (7.13.6) совместно с краевыми условиями (7.13.9), (7.13.10) дают формулировку однородной краевой задачи условия существования ее нетривиальных решений определяют бифуркационные значения параметра р наименьшее из них представляет критическое давление. Аналогичные вычисления позволяют сформулировать краевую задачу, относящуюся к разысканию критического наружного давления в случае полого круглого цилиндра. [c.797]

Для этой краевой задачи остается в силе (с оговоркой, о которой будет сказано ниже) теорема единственности, доказанная в 5.32. Чтобы показать это, рассмотрим, как и там, соответствующую однородную краевую задачу. Для нее надо считать, что / = О, и принять, что выполняется равенство <7.8.1). Поэтому (7.7.6) примет вид [c.112]

Подставим эти соотношения в уравнение (4.2.4) и в уравнениях для возмущений X, у, д, п, q, к, учитывая малость последних, сохраним только л№ нейные таены. После простых преобразований с учетом решений (4.2.6) получаем для возмущений однородную краевую задачу [c.114]

В итоге приходим к следующей однородной краевой задаче [c.114]

Функцию F/") будем искать в виде разложения по известным собственным функциям F,(5.5.10) однородной краевой задачи (5.5.8) [c.169]

Линейные однородные краевые задачи решаются методом сведения к ряду задач Коши с ортогонализацией по С. К. Годунову. Прогонки осуществляются методом предиктор — корректор переменного порядка с автоматическим уточнением [c.84]

Согласно (3.10), если Ф(2) и 4 (2 ) удовлетворяют граничным условиям, то Ф(С12) и F( i2) ( l — произвольное действительное число) также им удовлетворяют. Вследствие линейности и однородности краевой задачи функции С2Ф г) и 2W z) (С2 — произвольный действительный параметр) также будут решениями. Следовательно, общее решение, порожденное некоторыми решениями Ф(2) и 4 (2), имеет вид соответственно С2Ф(С12) и 2 F( i2) иначе говоря, множество искомых функций допускает группу подобия (автомодельные решения). Согласно определению группового свойства Р ], функции Ф(2) и Ч (2) должны удовлетворять функциональному уравнению [c.60]

Подставляем общее решение (3.38) в систему уравнений р.36) и граничные условия после сокращения общего множи- теля получаем на плоскости ху однородную краевую задачу в области 5 для функций Рт(х,у), где 5 —поперечное сечение цилиндра. Решение этой задачи существует только при некоторых (собственных) значениях X и определяется, очевидно, с точностью до произвольных множителей. Таким образом, мы приходим к типичной задаче на собственные значения. [c.69]

Дадим доказательство принципа Сен-Венана для произвольного сечения цилиндра. Будем доказывать от противного. Пусть существует решение однородной краевой задачи теории упругости для бесконечного цилиндра с чисто мнимым собственным числом X = iy, отличным от нуля (y O). Согласно (3.38), напряжения и деформации, отвечающие этому решению, будут периодическими функциями z с периодом 2п/у. Покажем, что соответствующие им смещения также будут периодическими функциями 2 (с точностью до смещения и вращения тела как жесткого целого). Для этого выпишем следующие три кинематических соотношения [c.70]

Решение однородной краевой задачи определяется с точностью до произвольных множителей, которые находятся только из решения более сложной задачи с учетом краевых эффектов. Во всяком случае, на основании (3.38) краевой эффект (разность между строгим решением и решением Сен-Венана) затухает экспоненциально при z- oo, при этом существенно, что показатель при экспоненте вполне определяется формой поперечного сечения S и не зависит от граничных условий на торце. [c.71]

Из сказанного вытекает, что неоднозначность возмущения равновесной конфигурации может появиться лишь на пределе устойчивости. При этом отвечающая (6,95) однородная краевая задача имеет нетривиальные собственные решения лишь при определенных (собственных) значениях входящих в нее параметров внешних нагрузок — при критических нагрузках. Собственные решения задачи (6.95) уместно называть собственными возмуш е-ниями конфигурации тела. Появление собственных возмущений означает пересечение в рассматриваемой точке (конфигурации) различных решений, т. е. бифуркацию решений. [c.281]

Задача заключается в определении минимального значения параметра Т , при котором линейная однородная краевая задача (4.3.4), (4.3.5) допускает нетривиальное решение. Это решение строим в форме рядов Фурье [c.114]

Итак, сформулирована линейная однородная краевая задача (4.5.5), (4.5.6) на собственные значения, минимальные из которых — критическая интенсивность давления. Упростим эту задачу, опустив в системе уравнений (4.5.5) подчеркнутые члены, которыми учитывается влияние докритических деформаций. В гл. 7 будет показано, что неучет влияния этих членов приводит к несущественной относительной погрешности в определении критических интенсивностей давления для длинной круговой жестко защемленной панели и ими допустимо пренебречь. Опустив в (4.5.5) подчеркнутые слагаемые, приходим к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Относительно простое строение матрицы ее коэффициентов позволяет в явном виде указать четыре собственных значения этой матрицы [c.125]

С математической точки зрения проблема заключается в определении собственных значений и собственных элементов линейной однородной краевой задачи для системы уравнений (5.3.4). В отдельных случаях (каноническая форма пластинки, однородное докритическое состояние, специальный вид краевых условий) решение этой задачи не вызывает затруднений и осуществляется элементарными методами. Примером может служить задача об устойчивости шарнирно закрепленной прямоугольной пластинки, равномерно сжатой в своей плоскости в одном или в двух направлениях. Однако в большинстве случаев исследование устойчивости равновесия пластинки является сложной математической проблемой, требующей для своего решения применения специальных методов. [c.144]

Соответствующая (7.4.1) однородная краевая задача имеет вид [c.210]

Известно [150], что если однородная краевая задача (7.4.2) имеет только тривиальное решение, то существует единственная матрица Грина С(л , р), удовлетворяющая условиям (7.4.3)—(7.4.5). Эта матрица допускает непрерывное продолжение на стороны р = О, р = 1 квадрата Q, а для любого непрерывного на [О, 1 ] вектора f x) решение j (a ) неоднородной задачи (7.4.1) единственно и имеет вид [c.210]

Предполагаем, что для каждого < G (О, 1 ] однородная краевая задача, соответствующая неоднородной задаче (7.4.6), (7.4.7), имеет только тривиальное решение [c.211]

И В 2л -периодичности решения по угловой координате (р. Спектр бифуркационных нагрузок и соответствующих им форм потери устойчивости определяется путем интегрирования линейной однородной краевой задачи на собственные значения для данной системы дифференциальных уравнений с частными производными. Коэффициенты Т, Т, Т, dw/ds, dw/d

[c.257]

Общее решение однородной краевой задачи [c.92]

Если частотный параметр Q внешней силы совпадает с одним из собственных значений однородной краевой задачи (3.46) = [c.115]

Перейдем к динамическим краевым задачам для действительной системы. Исходя из условия (9.27), убедимся, что действительная система описывается не однородной краевой задачей (9.25), а [c.62]

Рассмотрим, следуя 1.4)2] каноническую фул]сцию однородной краевой задачи (22.11) [c.178]

Заметим, что разработан метод определения указанных коэффициентов для общего случая эллиптических краевых задач [154, 155]. Для них получены явные интегральные представления, в которые входят исходные краевые условия и некоторые специальные решения вспомогательной однородной краевой задачи. Указанные решения зависят только от конфигурации области и характера краевых условий. Они определяются однозначно главными членами своей асимптотики и так же, как функции (8.17), имеют особенность в нерегулярной точке границы. Реализация этого метода представляется особенно эффективной тогда, когда требуется для одной и той же области решить совокупность однотипных краевых задач, поскольку потребуется лишь один раз решать вспомогательную задачу. В [162] приведены примеры, иллюстрирующие применение метода в задачах теории упругости. [c.312]

Покажем, используя кетод разделения переменных Фурье для получения решения линейной однородной краевой задачи для функции W, что и. (х, у, )->0 при t oo. Рассмотрение проведем на примере соответствующей одномерной задачи в области Имеем [c.131]

Примером могут служить однородные краевые задачи для полого шара, ограниченного концентрическими сферами R = Rq, R — R. Решение может быть построено с помощью бигармони-ческой функции Лява (п. 1.10) вида [c.184]

Тензор представляет линейный дифференциальный оператор над вектором w. При отсутствии добавочных массовых и поверхностных сил (k = О, / = 0) ) задача разыскания w сведется к однородной системе линейных относительно w дифференциальных уравнений второго порядка с однородными краевыми условиями. Это —так называемые уравнения нейтрального равновесия. Они допускают, конечно, тривиальное решение и> = 0. Но могут иметь место решения, отличные от тривиального, когдя наряду с рассматриваемым состоянием равновесия У-объема, нагруженного силами К, F, существуют близкие к нему равновесные состояния. Значения параметров нагружения, для которых уравнения нейтрального равновесия имеют нетривиальное решение, называются бифуркационными. Сформулированная однородная краевая задача позволяет найти бифуркационные [c.725]

Привыборе a2fe+i,i = 1 R /R (fe = 0,1, 2,...) вместо (1.16) предложенный метод будет эквивалентен известному методу малого параметра [4]. В этом случае появится серия амплитудных параметров так как при N = 2 + 1иА = существуют ненулевые решения однородных краевых задач для уравнений (1.13). Их необходимо определять из условия разрешимости краевой задачи при iV = + 3. [c.386]

В большинстве практически важных случаев для описания докритического равновесного положения оболочки можно использовать линейные уравнения изгиба. При этом характеристики основного напряженно-деформированного состояния пропорциональны параметру нагрузок. Если же в уравнениях устойчивости сохраняются члены, которыми учитывается влияние перемещений и деформаций перед потерей устойчивости, то зависимость коэффициентов этих уравненй от параметра нагрузок в общем случае остается нелинейной. Эта зависимость становится линейной лишь тогда, когда пренебрегается как нелинейностью основного равновесного состояния, так и влиянием докритических деформаций. В этом случае решение задачи устойчивости сводится к определению собственных чисел и собственных элементов линейной однородной краевой задачи для системы дифферециальных уравнений с частными производными. Упрощенные уравнения такого типа позволяют выявить точки бифуркации и нашли широкое применение [c.61]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...