Поведение решений

П о н т р я г и н Л. С., Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных, Изв. АН СССР (сер. матем.) 21, вып. 7 (1957). [c.381]

Второе требование, обусловливая поведение решения вблизи пространственно-временной границы, обеспечивает, как показывают многочисленные примеры, единственность решения задачи математической физики. [c.126]

Рассмотрим поведение решения гг( ) около состояния за волной (g -> —оо, и- Us), когда и, + у, у <и . Для возмущения у получим линейное уравнение [c.46]

Из структуры решения (1.41) (вернее, из формулы для функции Р(г)) сразу следуют ограничения ), которым должна удовлетворять функция g i). Пусть точки, в которых функция g t) имеет особенность, отличны от точки i. Тогда в силу свойств интеграла Коши следует, что если плотность имеет разрыв первого рода, то решение будет иметь логарифмическую особенность (см. (1.23)), а если функция имеет степенную особенность, то решение — также степенную особенность. Если же точка, в которой функция g t) имеет особенность, есть i, то разрыв первого рода не влияет на решение, для степенной же особенности происходит суперпозиция особенностей функции (t—в связи с чем необходимо потребовать, чтобы суммарная особенность была меньше 1. Заметим, что в этом случае решение всегда окажется неограниченным. Изложенная выше теория автоматически распространяется на случай нескольких точек разрыва коэффициента G(t), причем разрезы следует проводить из одной точки через каждую из точек разрыва в бесконечность. Допускается, что в каждой из точек разрыва может быть свое ограничение на поведение решения. [c.25]

Если искать решение в предположении о конечности энергии деформации, то поведение решения на бесконечности вполне определяется и относительно этого поведения не нужно делать никаких априорных допущений. [c.244]

Естественно, что при периодических колебаниях (так же, как и в пространственном случае) необходимо задавать поведение решения на бесконечности, удовлетворяющее условиям излучения. В отличие от (1.15), для плоской задачи эти условия имеют вид [c.284]

Поведение решения в окрестности [c.305]

Представляется естественным к точкам, в которых нарушается регулярность решения, относить и те точки, в которых происходит изменение характера краевых условий (даже, если сама граница гладкая). Указанные особенности нельзя выявить заранее, однако весьма важные сведения могут быть все же получены. В работе [122], относящейся к поведению решения общих эллиптических краевых задач (и, следовательно, задач теории упругости) в окрестности нерегулярных точек границы, установлены следующие результаты. Показано, что решение в окрестности этих точек представляется в виде асимптотического ряда и бесконечного дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых задач для модельных областей (для конуса, если на поверхности коническая точка, для клина, если угловая линия). Эти решения зависят только от локальных характеристик (величины телесного или плоского угла и типа краевых условий). В ряде случаев (они далее будут подробно рассмотрены) построение этих решений сводится к трансцендентным уравнениям. Величины же коэффициентов при них зависят от задачи в целом. [c.306]

Разумеется, когда области содержат бесконечные точки, необходимо в формулировку задач включать и условия поведения решения на бесконечности, даваемые формулами (2.21). [c.376]

Перейдем теперь к рассмотрению задачи 1 . Здесь использование представления смещений в виде потенциала двойного слоя сразу приводит к ограничению на поведение решения в бесконечности ( и(р) ] < с/Д ), хотя по постановке задачи такое ограничение и не требуется. Поэтому уравнение (2.2) может оказаться и неразрешимым. Заметим, что само установление этого факта представляет собой достаточно сложную задачу, поскольку необходимо определить собственные функции союзного уравнения. [c.561]

Stn, расположенных вне друг друга, и поверхность 5о такая, что все остальные поверхности расположены вне или внутри ее (поверхность 5о может и отсутствовать). Допустим, что область Во, заключенная между поверхностями 5о, 5ь. ... ... 5ш, заполнена средой с постоянными Ко и ро, области/) — средами с постоянными X/ и р/ (/ = 1,2,. .., т). Таким образом, поверхности 5, (/э О) оказываются поверхностями сопряжения (контакта) сред. На поверхности 5о задается краевое условие того или иного типа. При отсутствии поверхности 5о (когда область Оо простирается в бесконечность) необходимо задавать поведение решения в бесконечности. [c.617]

И. О поведении решений основных краевых задач упругости в окрестности особых точек границы. — В кн. по теор. и прикл. механике. Аннотации докладов.—М. [c.678]

Запишем матрицу перехода S, определяющую поведение решения специального вида Wm" = w e , w"+ =5w . Имеем [c.97]

В интерполяционные формулы можно вводить как параметрические искомые функции Шд (<) ж q (/), определяющие поведение решения вблизи центра симметрии и вблизи ударной волны. [c.256]

Асимптотическое поведение решения при = 0 изучено в 9 главы IV там было показано, что при ш < 3 давление на внутренней границе равно нулю в рассматриваемом случае (О = 2,5. [c.324]

Для доказательства единственности внешних задач на основе формулы (12.16), кроме условий о поведении решения вблизи 2, необходимо еще учесть, что область 2) содержит бесконечно удаленную точку, и необходимо показать, что добавочное требование о регулярности и конечности потенциала ф вблизи бесконечно удаленной точки гарантирует сходимость интеграла (12.18), распространенного на бесконечную область интегрирования 3). Для решения этого вопроса ниже мы [c.165]

На основании формулы (2.9) легко определить поведение решения вблизи обоих концов щели. Вблизи правого края щели положим 2 — а = ге , где г — малая величина. Из (2.9) следует, что при малых а верна асимптотическая формула [c.518]

Видно, что асимптотические выражения для компонент напряжений и перемещений вблизи концов щели зависят только от значения величины /с1. Можно показать, что поведение решения у концов щели в конечных пластинах имеет тот же вид. Для конечных пластин граничные условия и расположение щели в случае действия на берегах щели симметричной нормальной нагрузки определяют в асимптотических формулах у каждого края щели соответствующий параметр /с — коэффициент интенсивности напряжений ). Из линейности задачи следует, что если нагрузки возрастают пропорционально некоторому параметру, то коэффициент интенсивности напряжений возрастает пропорционально тому же параметру. В общем случае для данной щели к фО даже при сколь угодно малых внешних нагрузках, наличие концентрации напряжений при малых нагрузках хорошо отвечает действительности и, вообще говоря, не связано с разрушением. [c.519]

О поведении решений уравнений гидродинамики при переходе числа Рейнольдса через критическое значение. Докл. АН СССР, 1968, 162, вып. 4, 731—734 [c.211]

Введение. В настоящем параграфе исследуется асимптотическое поведение решений краевой задачи теории ползучести для неоднородных стареющих тел с односторонними идеальными связями как внутри, так и на границе этих тел [40]. [c.38]

Изучим прежде всего поведение решения в особой точке г = 0. Так называемое определяющее уравнение, характеризующее поведение интеграла в особой точке, будет в данном случае иметь вид [c.670]

Характер поведения решения (18.19) зависит от знаков корней (о) ), и которые в свою очередь определяются значе- [c.315]

Общие свойства поведения решений уравнения [c.28]

Подробное исследование поведения решений уравнения (1. 35) движения машинного агрегата содержится в работе [18]. Поэтому здесь приводятся лишь сведения, необходимые для дальнейшего изложения теории предельных режимов. [c.29]

В этом случае вопрос о взаимном поведении решений уравнения движения (7. 2) машинного агрегата получает уточнение. [c.255]

Для изучения сходимости метода, т. е. изучения поведения решения И/, при /i = max h = max diam достаточно на осно- [c.160]

Вывод о некорректности следует пз анализа поведения решений системы (4.1.1) или (4.1.22) для возмущений с длинами волн L = 2к/к, стремящимпся к нулю. По указанные системы уравнений правильно описывают поведение дисперсной смеси только тогда, когда характерные расстояния, рассматриваемые в [c.311]

И е (особые точки в плоскости Vip, в которой ое является сепаратрисой), нужно исследовать поведение решения в малой окрестности начальной точки о. Пример такого аналитического исследования, основанного на линеаризацпи системы дифференциальных уравнений в малой окрестности точки о и позволяющего выйти па особой точки о вдоль искомой сепаратрисы, дан в 3—5 и 10 гл. G применительно к исследованию структуры ударных волн в жидкости с пузырьками газа. Интегральную кривую ое можно найти и численно с помощью пристрелки по двум параметрам по следующей схеме. Так как л не входит в правые части дифференциальных уравнений (4.4.15), интегральные кривые допускают произвольное смещение вдоль оси х. Поэтому фиксируем для х/ = 0 некоторое v,f, такое, что 1г 1/1 < va и Vif мало отличается от Va (для размытой волны индекс / внизу относится к начальной точке интегрирования, в которой производится пристрелка). Далее при фиксированном Vtf подбираем такие Mif и Pf (как указано в обсуждении после (4.4.17), остальные искомые функции однозначно определяются по значениям Vif, Pf при этом Мг И Pf ДОЛЖНЫ быть такими, чтобы v i < 1 2/1 < 1 о1), чтобы интегральная кривая с этими граничными условиями в точке Xf имела при х оа ъ качестве предела начальное состояние. [c.345]

Область, в которой ищется решение, может отличаться от прямоугольной. В результате влияния граничных линий, пересекающих сетку произвольным образом, шаг по х будет неравномерным. Это нежелательно неравномерность обусловлена формой границ и не связана с характером поведения решения. Поэтому после нахождения решения на новом слое узлы на нем нужно перераспределять. Иногда удобно преобразовать координаты, включающие границы в координатную сетку. Пусть нужно найти решение в области DAB (рис. 4.4,г), где у4В —начальный слой, ВС —правая граница, уравнение которой x = (p t), а Л/) —левая граница, уравнение которой д = 1з( ) (рис. 4.4,6). В результате преобразования t = t, х = [х—т 5(0Мф(0— [c.124]

Найдём асимптотическое поведение решения вблизи внутренней границы. На этой границе т—s-0, и так как г = г — конечная величина, то из (6.9) очевидно, что при г—s-r имеем Л/—>0. Поэтому уравнения (6.10) вблизи г г стремятся к уравнениям (9.6) главы IV. Физически это связано с тем, что силы пьютонианского тяготения вблизи внутренней границы малы и в пределе равны нулю. [c.323]

При условии IfAjI <1 Ifijl в поведении решения (т) можно выделить два временных интервала начальный и основной, причем длительность первого значительно меньше, чем длительность второго. На начальном интервале происходит быстрое изменение второго слагаемого в решении, имеющего экспоненциальный множитель с большим по абсолютной величине показателем. К началу основного этапа быстрая экспонента практически полностью затухает и процесс определяется первым слагаемым с большой постоянной времени. [c.40]

Рассмотренному отличию в поведении решений, полученных по явной и неявной схемам, можно дать следующее физическое объяс- [c.82]

Кроме краевых условий (10.23), для получения конкретных решений уравнений (10.20) и (10.21) необходимо воспользоваться еще дополнительными условиями о поведении решения при г/- ооиа 1Ь°°и, вообще говоря, начальными условиями. Можно также изучать установившиеся стоячие или прогрессивные волны и т. п. [c.404]

Оценить условия, нри которых существуют ударные волны с осциллирующей структурой, можно исходя из рассмотрения асимптотического поведенйя решения уравнения (9-57) при z—v—оо, [c.259]

Из теорем о первом приближении вытекает, что при АкфО уравнения (4) в ряде вопросов дают неплохое представление о поведении решений точной системы. Особенно важна роль этого приема на практике, где ценность всякого приближения усиливается тем, что фактически важно поведение решений лишь на каком-то конечном интервале времени. [c.100]

ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ. Поскольку Н = Н р), общее реще-ние уравнений Гамильтона получается по формулам (13) в виде [c.267]

В упомянутой работе Н. Н. Лузина [20] проведено качественное исследование поведения решений уравнения движения поезда [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...