Дискретная вариационная задача

Дискретная вариационная задача [c.166]

Дискретная вариационная задача 167 [c.167]

Другой подход к определению оптимального управления дает метод динамического программирования. При этом используется дискретная форма вариационной задачи и функционал (6.22) заменяется суммой [c.224]

В тех случаях, когда постоянная времени электромеханического переходного процесса из-за большого момента инерции вращающихся частей значительно превышает электромагнитную постоянную времени двигателя, процесс разгона рассматривается как квазистатический. Тогда исходная вариационная задача представляется в дискретной форме (6.27), которая для времени разгона fp. С, принимает вид, аналогичный зависимости (3.1) [c.225]

Универсальность этих представлений при численном моделировании деформирования сложных конструкций по существу, основана на дискретном описании континуальной задачи и определении мощности внутренних сил для набора введенных дискретных элементов. Взаимодействие внутренних, внешних сил и сил инерции задается посредством принципа виртуальных скоростей в дискретной форме. Эти положения являются основополагающими для дискретно-вариационного метода, рассмотренного в следующих главах. [c.82]

Дискретные динамические уравнения движения для каждого узла i в проекциях на неподвижную систему координат следуют из (4.4.5) с помощью выделения независимых вариаций бу , путем использования конкретных формул для выражений (eas)e, через i . Запись дискретного вариационного принципа (4.4.5) автоматически обеспечивает диагональный вид матрицы масс в форме матричной записи системы уравнений движения. В МКЭ прп решении динамических задач также применяется упрощенная процедура счета с диагональной матрицей масс [37, 208]. Однако в общем случае необходима специальная подпрограмма обращения и хранения согласованной матрицы масс, которая в МКЭ диагональной не является. [c.97]

Матрица системы (3.16) является симметричной и положительно определенной. Дискретные рещения (3.15) сильно сходятся в (Я- /2(Г))з к рещению ф вариационной задачи (3.14), причем для f —Фл имеют место оценки вида (3.5) и (3.6), где нормы в скалярных пространствах нужно заменить нормами в соответствующих векторных пространствах. [c.235]

Решение заДач неупругой приспособляемости (расчет стабилизированных циклов) при наличии пластических деформаций сводится с помощью экстремального принципа, рассмотренного в разд. 9, к неклассическим вариационным задачам, аналогичным задачам приспособляемости. В частности, при определении напряжений и приращений (размахов) деформаций система ограничений задачи включает условия (9.2), (9.4) — (9.6), (9.1) или (1.3) и соотношения ассоциированного закона течения. Критерием оптимальности является функционал (9.7). В дискретной форме при исследовании кусочно-ли- [c.40]

Как известно, в динамике дискретных систем подобная вариационная задача, приводящая к уравнениям Лагранжа 2-го рода, составляет содержание принципа стационарного (или наименьшего) действия. Согласно этому принципу рассматривается совокупность траекторий движения изображающей точки в пространстве конфигураций системы, характеризуемой функцией Лагранжа между двумя положениями и (/1) при этом утверждается, что по сравнению с соседними траекториями вдоль траектории действительного движения [c.434]

Перейдем от описания специальной ситуации систем с дискретным временем к общей постановке задач лагранжевой механики, сформулированной в 5.3. Мы хотим показать, что решение уравнения Лагранжа (5.3.2), переписанное ниже как (9.4.2), которое описывает ньютонову динамику, эквивалентно решению вариационной задачи, т. е. нахождению критических точек некоторого функционала. В отличие от случая дискретного времени, которым мы занимались до этого, естественно определенный функционал действия оказывается заданным на некотором бесконечномерном пространстве. Это приводит к существенным техническим усложнениям и требует развития локальной теории. Со временем мы научимся находить минимумы такого функционала действия (определенного ниже), как мы уже умеем делать в случае дискретного времени. Прежде всего найдем взаимосвязь между уравнением Лагранжа и вариационными задачами. [c.371]

Эквивалентность дифференциальных уравнений и вариационных задач составляет основу выбора вычислительной схемы. Дифференциальное уравнение можно аппроксимировать дискретной системой, используя конечные разности, а" вариационный функционал можно минимизировать на конечномерном пространстве функций, как в методе конечных элементов. В приложениях вариационная постановка часто бывает первичной и следует из физических соображений, а дифференциальное уравнение — результат такой постановки. Неудивительно поэтому, что нас интересует прежде всего, как приближенно минимизировать квадратичные функционалы. [c.19]

Мы хотим предложить объяснение этого чуда, основанное на нашем наблюдении, что обычное измерение числа обусловленности для этих матриц неестественно. В вычислительных целях мы будем рассматривать эти матрицы как преобразования евклидова пространства (дискретного Ж°) в себя и потому возьмем одну и ту же норму для невязки уравнения и для результирующей ошибки в решении. Это целиком противоположно тому, что делается в дифференциальной задаче, или тому, что происходит при оценке ошибки дискретизации / измеряется в норме пространства Л1 и ее ошибка — в ш и ее ошибка — в Ж. (В вариационной задаче соответственно и Ж .) В самом деле, оператор I = с каким-либо обычным краевым условием вполне обусловлен как преобразование из Ж в Ж°. Ограниченность операторов I и была существенным моментом в разд. 1.2. Можно показать, что это верно и для разностного оператора б , а также для любого приемлемого аналога в методе конечных элементов, если только эти естественные нормы сохраняются. Следовательно, должен быть алгоритм решения уравнения КО, = Р, отражающий это свойство, и тогда чудо развеялось бы ошибки в Л1 и ш соответствовали бы их положению. [c.147]

В теории дискретных, в частности стержневых, систем, рассматривая один и тот же объект, задачу можно поставить двояко, либо как вариационную, либо как задачу об экстремуме функции. [c.495]

Рассмотрим решение двумерной задачи о сжатии двух цилиндров. Краевая задача на каждой итерации решалась вариационно-разностным методом. Зона возможного контакта не превышает 1/5 Л и при выбранной дискретизации содержит 21 узел. При решении предлагаемым методом рассмотрен диапазон нагрузок, при которых в контакте находится от 3 до 19 узлов. Для пробной площадки контакта на первой итерации принималось от 1 до 21 узла (с учетом симметрии от 1 до 11). Во всем диапазоне нагрузок и при любом начальном выборе площадки контакта для сходимости потребовалось не более четырех итераций. На рис. 4.11 для одного варианта нагрузки приведена итерационная последовательность количества опорных узлов п для всех вариантов начальной площадки. Например, при 5 = Гк число опорных узлов составило по итерациям 11—8—7—6. Применение операторов ортогонального проектирования в дискретной задаче ускоряет сходимость по сравнению с последовательным перебором возможных площадок контакта [20]. [c.146]

Если для выбора динамически оптимального закона движения у(х) наиболее уместны вариационные методы, то для определения дискретных параметров оптимизации целесообразно использовать поисковые методы [50]. Поскольку настоящая par бота посвящена в основном использованию вариационных методов в задачах динамической оптимизации механизмов машин- [c.84]

Вариационное исчисление позволяет получить для рассматриваемой задачи дифференциальные уравнения вида (2-11) или (2-13). Заметим, что при дискретном времени уравнение Эйлера (2-11) идентично условию равенства нулю частных производных <32Я/Й2в.б1 по уровню водохранилища 2в.бг. [c.36]

Вариационная формулировка задачи одностороннего дискретного контакта [c.154]

Итак, полученная асимптотическая модель одностороннего дискретного контакта с линейно-деформируемым основанием сведена к вариационному неравенству (3.21), которое формулируется как задача отыскания вектора Q > О, удовлетворяющего неравенству (3.21) при любом векторе S с неотрицательными компонентами. [c.155]

До еих пор мы выводили принцип виртуальной работы и связанные е иим вариационные принципы для различных упругих задач. В последующих пяти главах эти принципы будут применяться к различным задачам стержней, балок, пластин, оболочек и дискретным конструкциям. В этих приложениях материал тела будем считать изотропным и однородным и будем пользоваться теорией малых перемещений, если обратное не оговорено. Далее в этих задачах мы будем использовать обычные обозначения. В гл. 7—9 вместо будут применяться обозначения и, [c.154]

В качестве примера построения вариационного уравнения дискретно-континуальной теории рассмотрим квадратично геометрически нелинейную задачу деформирования оболочки со свободно проскальзывающими упругими изотропными слоя- [c.104]

Методы граничных элементов (МГЭ) — нетрадиционный термин, который в последнее время появился в зарубежной литературе для обозначения совокупности быстро развивающихся и успешно применяемых универсальных численных методов решения теоретических и прикладных задач. Уже само название выделяет характерную особенность МГЭ возможность решения задачи с использованием дискретизации лишь границы области (в отличие от методов конечных элементов (МКЭ) и методов конечных разностей (МКР). применение которых требует дискретизации всей области). Естественно, что реализация такой возможности в МГЭ предусматривает предварительный переход от исходной краевой задачи для дифференциальных уравнений, описывающих некоторый процесс, к соотношениям, связывающим неизвестные функции на границе области (или ее части). Эти соотношения, по существу, либо представляют собой граничные интегральные уравнения, либо выражаются некоторыми функционалами (они могут и не выписываться явно, а сразу заменяться их дискретными аналогами). В первом случае МГЭ сводятся к методам граничных интегральных уравнений (ГИУ), во втором — к вариационным методам. [c.5]

Дискретные задачи на сетке построим вариационно-разностным способом с использованием концепции базовой схемы [16-18]. Путем соответствуюш его суммирования значений базовых схем в каждом узле сеточной области о получим дискретные задачи, которые аппроксимируют соответствуюш,ие континуальные задачи. [c.336]

В процессе работы над вторым изданием практически все разделы подверглись переработке. Введены новые разделы уравнения механики неголономных систем, устойчивость движения, дискретные модели механических систем. Включение в сборник раздела по дискретным моделям связано с интенсивным использованием вычислительной техники для решения задач механики. При составлении разностных схем для интегрирования уравнений движения механических систем важно, чтобы дискретные модели имели те же законы сохранения, что и исходные непрерывные системы. Такой алгоритм построения дискретных моделей может быть получен, в частности, из вариационных принципов механики. Добавлено свыше трехсот новых задач. Исправлены обнаруженные опечатки и неточности. Порядок следования разделов остался прежним. [c.5]

Следует отметить, что задачу, подобную рассмотренной выше, можно легко и с высокой точностью решить на вычислительной машине с помощью программы расчета, основанной на использовании метода дискретных ординат. Интересно, однако, сравнить точное решение с тем, которое может быть получено вариационным методом. [c.236]

Широко изучались обобщения приведенного метода на многогрупповые задачи с различными пробными функциями [44]. Физические принципы, положенные в основу этих обобщений, рассматривались в предыдущих разделах, но часто очень сложно применить их к детальным многогрупповым расчетам. С помощью вариационных принципов были, кроме того, получены уравнения метода дискретных ординат [45]. [c.246]

Замечание 8.3.1. В принципе аппроксимирующая линейная форма должна быть также задана в виде суммы интегралов по отрезкам . Однако правая часть дискретной вариационной задачи обычно определяется в технической литературе, как в (8 3.30), где считается, что прилагаемая сила аппроксимируется суммой сосредоточенных сил —очевидное упрощение из вычислительных соображений. К тому же это упрощение теоретически оправдано, так как оно, как мы увидим, не уменьшает [юрядок сходимости. [c.443]

Условие стационарности функционала 65 = О формулирует континуальную вариационную задачу с бесконечным числом компонент перемещений, определяющих разыскиваемые функции-экстремали. Идея метода, предложенного еще в начале века немецким ученым Ритцем, состоит в том, чтобы от континуальной формулировки перейти к дискретной, когда функционал Э = Э и, v, w), заменяется функцией Э = Э а ) (г = 1, 2,. . ., п), зависящей от конечного числа аргументов После этого задача определения экстремалей функционала перейдет в стандартную задачу исследования указанной функции дискретного числа аргументов на экстремум. Другими словами, от континуальной задачи с бесконечным числом степеней свободы в отношении формы деформирования тела мы переходим к задаче для системы с конечным числолг степеней свободы. [c.58]

Вариационную задачу (7.3 1), записанную для непрерывных перемещений и(г, г) и w(r, z), заменим вариационной задачей для и,п и — дискретных значений смещений т-х узловых точках. Таким образом, в качестве основных неиз вестны.х принимаем смещения в узловых точках it , и (т — номер [c.122]

Сформулированная выше вариационная задача не поддается решению регулярными методами. Однако линейность максимизируемого функционала (3) и всех уравнений и неравенств, входящих в систему ограничений, позволяет при некотором изменении формулировки задачи попытаться применить к ней методы линейного программирования [3, 10]. Изменение постановки задачи связано, прежде всего, с тем, что решение задачи линейного программирования не может быть получено в виде функциональной зависимости х = х (ф) оно дает только значения искомой функции в дискретном ряде точек. В данном случае такое видоизменение задачи несущественно, потому что профиль кулачка привода клапана быстроходного двигателя внутреннего сгорания всегда изготовляется на основе дискретного ряда значений подъема толкателя, сведенных в таблицу на чертеже кулачка. [c.164]

Вариационную задачу, записанную относительно непрерывных пере-меш,ений и г, z) и ly (г, z), заменим теперь вариационной задачей относительно дискретных значений j и Wi j, расположенных на дересечениях линий основной и в пoмoгaтeл .нoй сеток, как это показано на рис. 1. При этом значения yl j, определяются в узлах основной сетки, а [c.104]

В предлагаемом подходе при любых положительных весовых коэффициентах тип системы уравнений Э-0 не меняется. Однако, так как при Ар = О, Ао 7 О система становится смешанного эллиптико-гиперболического типа, то и для устойчивости вы-числений при решении уравнений Э-0 весовые коэффициенты выбирались таким образом, чтобы вклад слагаемых, соответсвующих /о, /а, не превосходил /р. В противном случае в дискретной ситуации задача может оказаться неустойчивой. Подробные рекомендации для выбора весовых коэффициентов в вариационных методах, основанных на решении уравнений Э О, на примере уравнений Брекбилла-Зальцмана приведены в [10, 21]. Отметим, что численное решение уравнений Э-0 не единственный путь для реализации вариационных принципов. Более эффективными при построении сеток могут оказаться прямые методы минимизации дискретных функционалов [16, 23]. [c.521]

В главе 4 описана общая схема дискретно-вариационного метода, имеющего наглядный физический смысл и основанного на дискретных энергетических представлениях — задании вида мощности внутренних сил для дискретных элементов, объединенпе которых моделирует деформируемое тело. Обсун<даются вопросы взаимосвязи ДВМ с МКЭ и ВРМ, отличительные особенности метода, его использование в численном моделировании однородных и неоднородных тел, многокомпонентных сред и сред с заданной структурой. Рассматривается обобщение ДВМ, проводится сопоставление его с миогоскоростными моделями гетерогенных сред. Для получения дискретных уравнений движения обобщенных узловых масс или уравнений Ньютона системы материальных точек с внутренними и внешними связями используется принцип виртуальных скоростей в дискретной форме. Решение этих уравнений — интегрирование по времени — осуществляется по явной схеме типа крест. Определяющие уравнения или реологические соотношения могут быть достаточно общего вида. Для удобства алгоритмизации они представляются в форме, разрешенной относительно напряжений п их скоростей. Приведены примеры построения дискретных моделей и алгоритмов численного решения одно-, дву- и трехмерных задач динамического деформирования оболочек на основе ДВМ. [c.7]

Особое место среди многошаговых методов оптимизации занимает динамическое программирование [11]. Причем метод динамического программирования может быть реализован в виде непрерывного и дискретного алгоритма (дискретное динамическое программирование). Непрерывный многошаговый алгоритм динамического программирования используется для решения вариационных задач, т. е. относится к аналитическим методам оптимизации. В этом случае решение задачи оптимизации сводится к решению уравнения в частных производных (управнения Веллмана), составленного по целевой функции и уравнениям динамики объекта. [c.197]

Решение этой шростой задачи вариационным методом встретило бы значительные затруднения в связи с необходимостью наперед установить функцию, отвечающую условиям задачи. Дискретный метод не связан с этими затруднениями. [c.360]

По выражению (3.37) можно варьировать напряжения в теле с помощью и параметров X, (i = l, 2,. . ., п), т. е., как и в методе Ритца, от континуальной задачи мы перешли к дискретной для системы с п степенями свободы. Вычислив U, получим функцию U = = и (Xi, р) i = i, 2, п). Из вариационного уравнения (3.34) [c.65]

В книге дан обзор известных методов статистической динамики, обоснованы вариационные методы исследования, приведены прикладные задачи и инженерные методы расчета дискретных колебательных систем, й также статические и динамические задачи для упругих конструкций (балок, пластин, оболочек), вопросы распространения волн в стохастически неоднородных средах. [c.5]

В настоящей главе дается описание известных искривленных конечных элементов тонких оболочек, поотроенных в предположении справедливости гипотез Кирхгофа-Лява. Исходным вариационным принципом для всех злементов из зтой главы является принцип Лагранжа, и вое они объединяются единым методом построения матрицы жесткости - классическим методом перемещений ( I.I). Большое внимание уделено качественным аспектам используемых аппроксимаций с точки зрения даваемой ими точности при изменении геометрических параметров злемента - толщины и степени непологости ( 1.2,4,7). Рассмотрены вопросы построения аппроксимаций, удовлетворяющих необходимым условиям глад- кости, как для треугольных ( 1.3,4), так и четырвхугольннх злементов ( 1.2,5). Описаны способы ослабления требований гладкости первых производных от прогиба с помощью методов штрафа и множителей Лагранжа и даются примеры их использования для оболочек ( 1.9,10). Много места уделено особенностям расчета оболочек сложной геометрии в отличив от оболочек канонических форм ( 1.4, 5,7). Затронуты вопросы параметризации поверхности оболочки в случае дискретного задания ее геометрии и приведены требования к аппроксимации радиуса-вектора средин-нйй поверхности ( 1.5,6). Дается сравнительный анализ точности, даваемой различными КЭ, на примере некоторых общепринятых задач ( 1.8). [c.16]

Во второй части книги рассматриваются вопросы применения МКЭ к решению нелинейных задач МДТТ. Результирующие линеаризованные уравнения равновесия (движения) относительно приращений перемещений получаются из принципа возможных перемещений. При квазистатическом деформировании уравнения равновесия относительно скоростей перемещений получаются из вариационных принципов. Показана тесная связь конечноэлементных уравнений, сформулированных относительно приращений и скоростей. Приведен вывод дискретных уравнений движения (равновесия) относительно приращений (скоростей) узловых перемещений. Рассматриваются процедуры пошагового решения нелинейных задач и определения напряжений для различных моделей материалов. Предложены алгоритмы решения задач устойчивости и контактных задач. [c.12]

Итак, переход от классической модели деформирования слоистых тонкостенных пластин к той или иной корректной уточненной модели сопровождается увеличением не только порядка системы дифференциальных уравнений, но и спектрального радиуса матрицы ее коэффициентов и, как следствие, появлением быстропеременных решений, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и описывающих краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом поперечных сдвигов и обжатия нормали. Такая ситуация характерна не только для балок или для длинных прямоугольных пластинок, изгибающихся по цилиндрической поверхности, но, как будет показано ниже, и для элементов конструкций других геометрических форм — цилиндрических панелей, оболочек вращения и др. Отметим, что стандратные методы их решения, которые согласно известной (см, [283 ]) классификации делятся на три основные группы (методы пристрелки, конечно-разностные методы, вариационные методы, метод колло-каций и др.), на этом классе задач малоэффективны. Так, группа методов пристрелки, включающая в себя, в частности, широко используемый и весьма эффективный в задачах классической теории оболочек метод дискретной ортого-нализации С.К. Годунова [97 ], на классе задач уточненной теории оболочек оказывается практически непригодной. Методами этой группы интегрирование краевой задачи сводится к интегрированию ряда задач Коши, формулируемых для той же системы уравнений. Для эллиптических дифференциальных уравнений теории оболочек такие задачи некорректны (см., например, [1]), что при их пошаговом интегрировании проявляется в форме неустойчивости вычислительного [c.109]

В настоящее время большое внимание уделяется созданию адекватных моделей нелинейных процессов деформирования, связанных с большими деформациями, неупругим поведением материала и нелинейными динамическими волновыми явлениями в слоистых и композиционных материалах. Построение общих сложных моделей, как правило, сочетается с необходимостью разработки достаточно простых, но в то же время эффективных моделей описания процессов с требуемой точностью, выделением главных или ведущих параметров рассматриваемых процессов деформирования и созданием экономичных программ их численной реализации. При решении задач механики сплошных сред и деформирования элементов конструкций достаточно универсальными и широко распространенными являются метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ), вариационно-разностные методы (ВРМ), метод конечных разностей (МКР) в различных вариантах и сочетаниях с другими методами. В основу этих методов положено дискретное представление функций непрерывного аргумента и областей их определения, ориентированное на использование современных ЭВМ с дискретным способом обработки информацш, включая вычислительную технику новой архитектуры с векторными и параллельными процессорами. В механике, в частности в строительной, дискретное представление тел или конструкций в виде набора простых элементов имеет глубокие исторические корни, которые в свое время и послужили отправной точкой развития и обобщений МКЭ. [c.5]

Те же методы применялись и к задаче теплопереноса между плоскими пластинами в линейном приближении [15, 5, 53, 30, 97—99]. На рис. 44 приводится сравнение теплового потока, соответствующего точному численному решению по БГК-модели [53], с экспериментальными данными Тигена и Спрингера [100]. Численные результаты лежат всюду ниже, чем экспериментальные. То же самое имеет место и для вариационных решений, основанных на различных моделях (твердые сферы, максвелловские молекулы) [99], и это, по-видимому, исключает возможность того, что расхождение обусловлено использованием БГК-модели. Как указал в частном сообщении Спрингер, это расхождение, возможно, объясняется разницей между давлением в камере и давлением между пластинами, в то время как экспериментальные данные получаются в предположении, что эти давления одинаковы. Расхождение такого же типа обнаружено в работе [30], в которой течение Куэтта двухатомного газа исследуется методом дискретных ординат на основе модели Хол-вея [101]. [c.406]

Анализ результатов расчетов. По описанной методике выполнены расчеты для композитного материала, армированного двумя волокнами конечных размеров. С целью повышения скорости сходимости вычислительных процессов и повышения точности полученных результатов расчетов решение дискретных задач выполнялось комбинированным способом на последовательности сгущаемых сеток. Указанный способ решения дискретных задач заключается в следующем сначала в расчетной области вводится сетка с минимальным количеством узлов, которая позволяет получить качественную картину решения затем выполняется решение дискретной задачи прямым методом (метод Холецкого, метод итерирования подпространств) далее выполняется уплотнение сетки по каждому из направлений с последующей интерполяцией полученных результатов решения в дальнейшем решение дискретной задачи выполняется градиентным методом (метод сопряженных градиентов, метод градиентного спуска), для которого в качестве начального приближения используется решение, полученное на предыдущем этапе. Сходимость градиентных методов, являющихся методами вариационного типа, сильно зависит от качества начального приближения. Поскольку, прямые методы на небольшой сетке позволяют быстро и точно получить качественную картину решения дискретной задачи, указанный комбинированный способ позволяет в несколько раз (по сравнению с традиционными процедурами реализации расчетов) снизить время, необходимое для получения решения задач, повысить точность полученных результатов, а также снизить требования к вычислительным ресурсам. [c.337]

Монография посвящена сравнительно новому направлению вычислительной гидродинамики. Дискретные модели несжимаемой жидкости представляют собой конечномерные математические модели, получаемые непосредственно из вариационных принципов классической механики, и предназначенные для численного моделирования движения несжимаемого континуума. Книга, в сущности, демонстрирует некоторый новый подход, в котором с единых позиций строятся эффективные численные методы для различных классов задач динамики несжимаемой жидкости со свободной границей. Приводятся примеры расчетов от простейших задач для длинных волн и солитонов, до трехмерных течений со свободной границей. Построенные методы позволили численно смоделировать некоторые нетривиальные гидродинамические эффекты, среди которых — маховское отражение уединенных волн и удержание шара вертикальной струей жидкости. Для физиков, математиков, механиков, включая аснирантов и студентов университетов. [c.1]

Один из основных вариационных принципов аналитической механики дискретных систем — принцип Даламбера — Лагранжа успешно применяется для изучения общих закономерностей сплошной среды и полей различной физической природы [18, 40, 76, 78]. Для описания движения термоупругих сред, в частности для линейных связанных задач термоупругости этот принцип впервые был установлен Био [8] в 1965 г. Обобщение этого принципа на случай связанных задач термоупругостп с тепловыми источниками дано в работе [5]. В монографии [86] подробно изложена последовательность применения вариационного принципа Даламбера — Лагранжа к анизотропным термоупругим средам. [c.124]

В. Н. Кагпорр и J. С. Fung [1.2181 (1970) исследовали свободные колебания консольных балок Тимошенко переменной толщины. Масса балки принимается сосредоточенной в дискретных точках. Уравнения движения, полученные вариационным путем, записаны в матричной форме. Задача сведена к нахождению собственных значений симметричной матрицы порядка п, где м —число разбиений балки. Построена итерационная схема расчета верхних границ собственных значений. В качестве примера рассчитаны собственные частоты и формы колебаний балки Тимошенко (пять первых частот) и усеченного клина (три первые частоты). Приведены результаты сравнения с известными точными решениями, получено достаточно хорошее совпадение. [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...