Численное решение уравнений

О численном решении уравнений, описывающих сферически-симметричные процессы движения тепло- и массообмена около частицы, капли и пузырька. В общем случае полученные уравнения решаются только численно. Кратко рассмотрим соответствующие возможные алгоритмы. [c.275]

В работе [15] изложен метод численного решения уравнения (2. 4. 26) при помощи факторизованного представления (2. 4. 28). [c.35]

Результаты численного решения уравнений (4. 4. 20) и (4. 4. 22) [c.144]

Рис. 53. Траектории относительного движения пузырьков, полученные при численном решении уравнения (4.4.4).

Постоянные А , а., были определены из сравнения с численным решением уравнений (4. 5. 9), (4. 5. 10). Графики соответствующих функций изображены на рис. 52 пунктиром. [c.153]

Поэтому для практических целей могут быть использованы лишь результаты численного решения уравнений (4. 9. 9), (4.9. 10). При этом вид функций О (V, V) ж К V, V) нужно определять для каждого конкретного случая. [c.183]

Точное аналитическое решение уравнения (6. 7. 19) может быть получено только для дискретного набора значений параметра W. Поэтому, для того чтобы не сужать область возможных значений W, решение этого уравнения проводится при помощи приближенного метода конечно-разностных схем [98]. Этот метод сводится к тому, что производная по каждой переменной заменяется разностью. Результаты численного решения уравнения (6. 7. 19) затем используются при определении профиля концентрации целевого компонента Ф (6. 7. 14). [c.274]

Во второй главе изложены методы численного решения уравнений равновесия (нелинейных и линейных). Для решения нелинейных уравнений равновесия рассматривается приближенный метод последовательного нагружения, когда на каждом шаге нагружения решаются линейные уравнения. [c.61]

Частное решение уравнения (2.7) можно получить двумя способами численным решением уравнения (2.8) при нулевых начальных данных и с использованием матрицы Грина. Остановимся более подробно на втором способе получения частного решения линейных дифференциальных уравненпй. Частное решение уравнения (2.5), если воспользоваться методом вариаций произвольных постоянных, можно представить в виде [c.63]

При потере устойчивости относительно деформированного состояния (например, потеря плоской формы изгиба спиральной пружины см. рис. 3.4) необходимо предварительно определить критическую равновесную форму стержня [уравнения (3.10) — (3.14)], от параметров которой (и, Q, М ) зависят линейные уравнения равновесия стержня [уравнения (3.24) — (3.27) или уравнение (3.28)] после потери устойчивости. Так как критическая форма стержня заранее не известна, то требует проверки устойчивость всех состояний равновесия при непрерывном увеличении нагрузки. При решении нелинейных уравнений равновесия, рассмотренных в гл. 2, нагрузки, приложенные к стержню, были известны, поэтому, воспользовавшись одним из возможных методов численного решения уравнений равновесия (например, методом, использующим поэтапное нагружение), можно получить векторы, характеризующие напряженно-деформированное состояние стержня, соответствующее заданным нагрузкам. [c.123]

При исследовании устойчивости стержня нагрузки неизвестны и требуется найти такие нагрузки, которые удовлетворяют нелинейным уравнениям равновесия (3.10) —(3.14) и линейным уравнениям (3.24) — (3.27) при однородных краевых условиях. Численное решение уравнений (3.10) — (3.14) для каждого шага нагружения изложено в 2.3. Возможны различные варианты нагружения стержня а) пропорциональное увеличение нагрузок б) последовательное нагружение, например вначале стержень нагружается силами, при которых нет потери устойчивости, а затем дополнительно нагружается или распределенной нагрузкой, или сосредоточенной силой или моментом. Возможны, конечно, и более сложные варианты нагружения, когда стержень дополнительно нагружается несколькими силами или моментами (распределенными или сосредоточенными). Во всех перечисленных случаях можно выделить одиу нагрузку и, увеличивая ее, довести стержень до критического состояния. Это существенно при численном счете, когда надо определять собственные значения (критические силы) краевой задачи. [c.123]

Считая перемещения точек осевой линии малыми, определить напряженно-деформированное состояние стержня (рис. 4.14) численным решением уравнений равновесия. (Ограничиться уравнениями нулевого приближения, положив I Pol =0,5.) [c.183]

Получить численное решение уравнений равновесия нулевого приближения для стержня, показанного на рис, 4.15, при 9о=1- [c.183]

Полученные выражения (5.113), (5.114) позволяют в ряде случаев получить решение (выражения для компонент векторов Q<°> и М °>) в аналитической форме записи. При численном решении уравнений (5.99), (5.100) частные решения можно получить, решая исходные уравнения при пулевых начальных данных. [c.210]

Рассмотрим пример численного решения уравнения равновесия стержня, находящегося в жестком криволинейном канале и нагруженного крутящими моментами, приложенными к торцовым сечениям. [c.226]

Входящий в полученные выражения для проекций аэродинамической силы qi, коэффициент Сь(аа) зависит от угла атаки и формы сечения стержня. Как уже указывалось выше, зависимость от угла Ga можно получить только экспериментально. Экспериментально полученные графики, устанавливающие зависимость аэродинамических коэффициентов с ,, l и Ст для ряда сечений, приведены в 6.3. При численном решении уравнений равновесия стержней, нагруженных аэродинамическими силами, достаточно иметь числовые значения в зависимости от аа, что и получают при обработке экспериментальных данных. Для стержня, который под действием аэродинамических сил и моментов деформируется, угол атаки аа=аао+ааь где аао — начальный (известный) угол атаки о.а — дополнительный угол атаки, вызванный деформацией стержня, который определяется из решения уравнений равновесия стержня в потоке. Выражение для угла Oai при малых перемещениях точек осевой линии стержня и малых углах поворота связанных осей выводится дальше [см. соотношение (6.85)]. [c.251]

Алгоритм численного решения уравнения (6.106) изложен в гл. 2. В рассматриваемой задаче решение (6.107) должно удовлетворять следующим краевым условиям 1) е=0, 0[ = з=0 2) 8=1, Q2=Mi = M2=M3=0. [c.260]

На рис. 6.21,а, 6, 6.22, 6.23,а—г приведены результаты численного решения уравнения (6.106) для трех значений скорости потока Uq 1 — 5-10 2—10 3—15-1Q3. [c.260]

По форме записи системы уравнений (1.57) — (1.61) и (6.115) — (6.119) тождественны, поэтому методы численного решения уравнений равновесия стержня без потока жидкости, изложенные в гл. 2, могут быть полностью использованы и для решения задач статики стержней, заполненных потоком жидкости [с учетом того, что краевым условиям должна удовлетворять компонента Qi, а не Qi< > (Qi( )-Qi-(Po+ i o ))]. [c.265]

Метод начальных параметров. Задавшись числовым значением X, на.ходим (численно) решение уравнения (4.14) [c.77]

При численном решении уравнения (4.14) удобнее на каждом из участков стержня брать свое начало отсчета. В этом случае при приведении уравнений к безразмерной форме можно взять, например, длину первого участка /ь Тогда на первом участке г изменяется от О до 1, а на третьем участке — от 0 до Из [c.81]

Задавшись значениями а и Р, получаем численное решение уравнения (4.96) [c.100]

Точное численное решение уравнений. Уравнения малых колебаний стержней (3.11) — (3.15) были получены в 3.1. Исключая Аи н полагая АР=АТ=0, получаем уравнения свободных колеба- [c.119]

Точное численное решение уравнений. При установившихся колебаниях решение уравнения (5.39) можно представить в виде [c.125]

В результате численного решения уравнения (7.84) получаем в зависимости от отношения 61/60 следующие значения Ло.с 1) для первого случая [c.184]

В результате численного решения уравнения (7.84) с матрицей (7.85) (в ходе решения определялась и уточнялась фундаментальная матрица К(е) по алгоритму, изложенному в 4.1) найдены безразмерные частоты Хо/ (/=1, 2, 3, 4) в зависимости от юо для ряда значений безразмерных осевых сил Q)o и крутящих моментов Мю- На рис. 7.8,о приведены графики изменения Х и Х02 на рис. 7.8,6—графики изменения Хоз и Хс4- Из графиков следует, что первые две частоты с увеличением Оюо сближаются, в то время как третья и четвертая частоты вначале (до дюо = л ) сближаются, а затем (до юс = 5зт/3) расходятся и снова начинают сближаться при 1со>5я/3. [c.185]

Задачи динамики стержней являются более сложными, чем задачи статики, так как их решение часто требует определения статического напряженно-деформированного состояния, от которого зависят уравнения движения. Кроме того, уравнения движения стержней — это уравнения в частных производных, решение которых существенно сложнее, чем решение уравнений в обыкновенных производных, с которыми приходится иметь дело при решении задач статики, поэтому при подготовке специалистов задачам динамики стержней уделялось мало внимания, несмотря на то что в инженерной практике они и.меют очень широкое распространение. Только с развитием вычислительной техники и новых методов численного решения уравнений в частных производных появились реальные возможности решения задач динамики сплошной среды и в том числе задач динамики стержней. В настоящее время при численном решении уравнений в обыкновенных и частных производных используются различные методы и их комбинации, выбор которых и эффективность зависят от опыта исследователя и конкретных особенностей задачи. [c.276]

Численное решение уравнения переноса для чистых металлов при низких температурах. [c.309]

Для численного решения уравнение (1.1.1) приведено к виду [11] [c.11]

При численном решении уравнений (2.4.1) и (2,4.2) числа Рейнольдса (Ве = мо/ ц/у), Фруда (Рг = М() / (gRQ)), Прандтля (Рг = у/а) и Вебера ( Уе = р о У) изменялись в следующих пределах Ке - от 15(Ю до 20000, Рг - от 400 до 50(Ю, Рг - от 1 до 50, Уе -- о г 50 до 25(Ю. [c.72]

Для ламинарного течения аппроксимационная формула для числа Стантона, полученная на основании численного решения уравнений (2.5.1) - (2.5.3) при У ,ф = V, зф = а имеет вид [c.76]

Найдем численное решение уравнения (11.31) с шагом по времени равным At = 10 сут при А = 1, у = 0,025 1/сут. Заметим, что [c.368]

Математический эксперимент — это мощный метод исследования, основанный на численном решении уравнений, описывающих физическое явление. Получение важных научных результатов на основе этого метода стало возможным только тогда, когда при его реализации стали использовать ЭВМ. Поэтому математический, эксперимент часто называют машинным (или численным). [c.51]

Здесь изложена лишь общая идея численного решения уравнений Навье—Стокса. При его реализации возникают частные вопросы, требующие более подробного рассмотрения. Одним из важнейших является вопрос об устойчивости и сходимости вычислительного процесса, который подробно изложен в работе [18]. 324 [c.324]

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [c.224]

МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРОГОНКИ [c.252]

В соответствии с экспериментальными данными [211] принимаются следующие значения параметров, входящих в уравнение (2.73) / о = 1,0-10-4 мм бн = 0,72 Kp = 9fi-, рн = 20,0 мм . В результате численного решения уравнения (2.73) при различных значениях параметра С была получена искомая зависимость Ef = Bf dmlGi), представленная на рис. 2.23. При amlOi = = 0,53, что отвечает средней жесткости напряженного состояния на этапе деформирования при одноосном растяжении, расчетное значение Bf— 1,67. По данным работы [211], соответствующее экспериментальное значение е/=1,8-ь2,0. Из сопоставления расчетных и экспериментальных результатов видно, что модель дает весьма удовлетворительную оценку нижней границы критической деформации, что является следствием принятого в расчете допущения, при котором не учитывается деформация на этапе нестабильного слияния пор. [c.121]

Численное решение уравнения (2.75) позволило определить критическую деформацию Ef. Полученная расчетная зависимость Ef = ef (7mlOi), а также зависимость, предложенная Хэнкоком и Маккензи, = 0,07-Ь 2,99 ехр (—1,5ат/<7,) [333] представлены на рис. 2.24, из которого видно, что уравнение Маккензи опреде- [c.122]

При численном решении уравнений равновесия более удобно лриращения векторов представить линейно зависящими от векторов U и д. Например, для системы (1.54) имеем [c.32]

Методы численного решения уравнений нулевого и последующих приближений изложены в гл. 2. Во многих прикладных задачах, а также в учебных курсах, 1как правило, ограничиваются исследованием системы уравнений (1.107) — (1.111), соответствующей нулевому приближению без оценки справедливости принятого допущения о малости перемещений осевой линии стержня и углов поворота связанных осей и малости компонент векторов Q(i) и Система уравнений (1.158) — (1.161) [или в коорди- [c.55]

Результаты численного решения уравнения (5.172) приведены на рис. 5.20,а—е. На рис. 5.20,а—в приведены графики для /(е)=1. На рис. 5.20,г—е приведены графики для /(e)= osne. [c.228]

Сравнение экспериментальных значений теплового сопротивления с теорией задерживалось вследствие отсутствия надежного решения уравнений переноса при низких температурах. Из теории вытекало, что при самых низких температурах удельное тепловое сопротивление должно меняться пропорционально квадрату температуры (это приближенно соответствовало наблюдениям), однако коэффициент в этом теоретическом соотношении оставался неопределенным. Вильсон [60] получил приближенное решение, обсуждавшееся позже Макинсоном [61]. Зондгеймер [64] решил уравнение с большей точностью и показал, что результат Вильсона близок к действительности Клеменс [69] нашел, что величина теплопроводности, полученная численным решением уравнения переноса, отличалась от значения, найденного из теории Зондгеймера только на 11%. [c.224]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...