Пространство бесконечномерное

Так как пространство бесконечномерно, можно выбрать последовательность линейно независимых ограниченных действительных функций / 1, /12 Е ин таких, что [c.155]

Понятие скалярного произведения позволяет ввести понятия ортогональности (элемент а ортогонален элементу Ь, если (а, Ь) = 0) и длины ( а = = (а, а)). Отсюда следует, что каждое пространство со скалярным произведением является нормированным линейным пространством. Бесконечномерное банахово пространство со скалярным произведением, полное по норме II а II = называется гильбертовым прост,ранством. [c.41]

В математической литературе это бесконечномерное функциональное пространство (или конечномерные пространства, которыми оно может быть в некоторых случаях заменено —см. ниже) часто называют фазовым. Мы не пользуемся здесь этим термином во избежание смешения с более конкретным смыслом, который он обычно имеет в физике. [c.155]

Линейные бесконечномерные векторные пространства [c.127]

Теория линейного конечномерного векторного пространства, рассмотренная в 21, справедлива при любых конечных размерностях, в том числе и сколь угодно больших. Это означает, что геория бесконечномерных линейных векторных пространств может быть построена исходя из теории конечномерного векторного пространства при стремлении числа измерений к бесконечности, т. е. обобщением результатов 21 на случай бесконечного числа измерений. [c.142]

Она имеет определенный смысл и может быть использована при любом сколь угодно большом значении п, но не имеет смысла при и, следовательно, нуждается в видоизменении при обобщении на бесконечномерное линейное пространство. Это видоизменение очевидно при переходе от дискретных значений Х( к непрерывно изменяющейся величине х сумма в (22.6а) переходит в интеграл, т. е. скалярное произведение бесконечномерных векторов д и /), базисные представления которых задаются [c.143]

Если в пространстве U существует не больше п линейно независимых векторов, то такое пространство называется линейным п-мерным пространством. Если же в пространстве U существует любое число линейно независимых векторов, то оно называется бесконечномерным. [c.206]

В инженерно-физических приложениях используются конечно- и бесконечномерные действительные или комплексные векторные пространства, соответственно определяемые как линейные (векторные) пространства над полем действительных и комплексных чисел в зависимости от того, допускается ли умножение векторов только на вещественные или на любые комплексные числа. 206 [c.206]

Класс Z,2(0) всех действительных или комплексных квадратично интегрируемых функций, определенных в некоторой области D, образует действительное или комплексное бесконечномерное унитарное векторное пространство, если рассматривать функции 1 ... как обобщенные векторы и определить [c.208]

Конечномерное пространство Е, снабжённое С. п., наз. евклидовым пространством. Бели Е является бесконечномерным и полным, то оно ваз. гильбертовым пространством. С. п. (ех, е), где вектор ех фиксирован, а вектор е рассматривается как переменная, определяет числовую ф-цию /(е) = (ех, е) на гильбертовом пространстве. Эта ф-ция линейно зависит от е и обладает свойством непрерывности [если е -> ец, то /(е) /(во) [c.536]

В бесконечномерном случае можно сформулировать аналог этого утверждения для самосопряжённых компактных операторов. Оператор А, действующий, напр., в пространстве Р бесконечномерных векторов / = = (а],а ,...) с конечной нормой [c.568]

Наличие С. в. у операторов в бесконечномерных пространствах — явление довольно редкое, хотя для физ. приложений существенно, что операторы спец, классов (интегральные, дифференциальные и т. п.) часто обладают обширными наборами С. в. Наиб, важным для физики бесконечномерным векторным пространством является пространство векторов /, у вида [c.569]

СПЕКТР ОПЕРАТОРА — обобщение на бесконечномерный случай понятия множества собственных значений матрицы линейного преобразования в конечномерном векторном пространстве. [c.605]

Идеи и методы Т. многообразий в ряде случаев удаётся применить к изучению функциональных пространств, рассматривая их как бесконечномерные многообразия. Важнейшими примерами являются пространство путей с фиксированными концами, расположенных на данном многообразии А/", а также пространство петель (замкнутых кривых) на М". Т. пространства путей и пространства петель на многообразии М" оказывается тесно связанной с Т. многообразия Л/". Это обстоятельство исключительно важно для решения задач вариационного исчисления в целом (см. ниже). [c.146]

Гидродинамическая турбулентность, описываемая уравнениями Навье-Стокса, имеет много общего с движением динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, о которых шла речь в предыдущей главе. Связь эта определяется действием вязкости, которая лишает моды с высокими номерами самосто-ятельности . Хопфом даже была высказана гипотеза о том, что все множество траектории уравнения Навье-Стокса (его фазовое пространство бесконечномерно) притягивается к конечномерному множеству. Отсюда сразу следует, что при i оо движение жидкости можно описывать конечномерными уравнениями. Эта гипотеза, правда, до сих пор не доказана, но она кажется совершенно естественной, если учесть, что вязкость препятствует существованию мелкомасштабных возмущений. Добавим, что уже обнаруженные для уравнения Навье-Стокса основные бифуркации носят конечномерный характер [5]. Это, например, переход стационарного устойчивого течения в периодическое (рождение из состояния равновесия предельного цикла), установление двухпериодического течения (рождение двумерного тора) и др. Поэтому есть все основания считать, что и очередная бифуркация — переход к неупорядоченному течению — для многих гидродинамических задач также окажется конечномерной. [c.496]

III. Если пространство бесконечномерно, то существует усреднимая группа ii = g- унитарных преобразований [c.302]

Поэтому, по Дираку, состояние квантовой системы описывается бра-вектором (ifi или сопряженным ему кет-вектором 1113) = = (( ф )" " состояния (с волновой функцией j)(q, /)=) в бесконечномерном гильбертовом (функциенальном) пространстве. В этом линейном пространстве в качестве базиса используются ортонормированные т т ) — 6fnm ) собственные функции il3m = = (q m) (Щт) = т т)) любой физической величины, представляемой эрмитовым оператором M = / i+, при этом Ст(0=( ф)-Условие полноты базиса т) (т-представления) символически можно записать в виде [c.188]

Основным понятием квантовой механики, с помоп(ью которого описывается состояние, являе1ся вектор, называемый вектором состояния. Однако в отличие от классической механики вектор состояния даже для одной частицы является бесконечномерным. Совокупность всех таких векторов составляет пространство, в котором оперирует квантовая механика. Для удовлетворения принцигса [c.129]

Бесконечномерный вектор. Из определения размерности векторного пространства заключаем, что в нем число линейно независимых векторов бесконечно. Следовательно, ортонорми-рованиый базис состоит из бесконечного числа ортов и в базисном представлении вектор описывается бесконечным числом проекций. [c.142]

Бесконечномерные группы Ли являются обобщением ГЛ. Элементы таких Г. характеризуются заданием бесконечного набора числовых параметров (или нек-рого количества ф-ций). В физике используют в осн. Г. линейных операторов в бесконечномерных линейных пространствах, Г. диффеоморфизмов гладких многообразий и Г. калибровочных преобразований. Теория таких Г. разработана в гораздо меньшей степени, чем теория обычных (конечномерных) ГЛ. Большинство результатов здесь носит отрицат. характер эти Г. не являются локально компактными, на них не существует инвариантного интеграла, они могут не иметь полпой системы унитарных представлений. [c.542]

Виды динамических систем. По характеру ур-ний и методам исследования Д. с. делят на классы. Конечномерные и бесконечномерные (распределённые) Д. с.—системы с конечномерным и бесконечномерным фазовым пространством. В конечно-мерно.м случае консервативные и диссипативные Д. с. — системы с сохраняющимся и несохраняющимся фазовым объёмом. Г амильтоновы системы с ф-цией Гамильтона, не зависящей от времени, образуют подкласс консервативных систем. У диссипативных систе.м с неогранич. фазовым нространством часто существует ограниченная область в нём, куда попадает навсегда любая траектория. Д. с. с н е п р е-рывным временем (потоки) и Д. С. с дискретным временем (каскады) дискретность времени иногда отражает существо реального процесса (дискретность моментов прохождения импульса через усилитель п оптическом квантовом генераторе, сезонность в экологии, смена поколений в генетике н т. д.). Грубые и пегрубые Д. с. понятие грубости (структурной устойчивости) характеризует качественную неизменность типа движения Д. с. при малом изменении её параметров. Значения параметров, при к-рых система перестаёт быть грубой, наз. б и ф у р-к а ц и о н н ы м II (см. Бифуркация). При размерности фазового пространства больше 2 могут существовать целые области в пространстве пара.метров, где Д. с. оказывается негрубой. [c.626]

Иногда (не совсем точно) дисспнативной наз. систему, в K-poii уменьшается объём любой области фазового пространства при сдвиге по траекториям. (В бесконечномерном случае предполагается, что уменьшается объём любого /с-мерного шара при достаточно большом к.) Для конечномерной Д. с., заданной системой диффе-ренц. ур-ний ж = Х .х), диссипативность в этом смысле соответствует неравенству div Л <0. [c.626]

В конечномерных пространствах, наоборот, у всякой Я Мерной матрицы А имеется хотя бы один С. в., отвечающий, вообще говоря, комплексному собств. значению Я, а если к тому же матрица А яевырождеиа, (1е1Л yi о, то у такой матрицы найдутся ровно п разл. комплексных С. в. Это справедливо, в частности, для унитарных конечномерных матриц А Л - = А -). В физ. приложениях часто возникает необходимость разложить произвольный вектор в сумму по С. в. заданной эрмитовой матрицы А [вапр., привести к диагональному виду симметричную квадратичную форму (хАх)]. Эта задача решается переходом с помощью унитарного преобразования к базису, составленному из С. в. матрицы А. В этом базисе действие оператора А сводится к умножению каждого базисного вектора на соответствующее ему собств. значение Я. В бесконечномерном Случае аналогом этой процедуры диагонализа-ции является т. н. спектральное разложение. [c.569]

В бесконечномерном случае речь идёт об операторах А, действующих в нормированном линейном пространстве (банаховом пространстве) и появляется третья возможность (III) ур-ние Ах = кх имеет лишь нулевые решения в но резольвента (X/ — М) не определена на всём Объединяя вторую (точечный, или дискретный, спектр) и третью (непрерывный и остаточный спект-р ы) возможности, С. о. называют множество таких Я, для к-рых резольвента не является ограниченным оператором на всём При этом Я принадлежит непрерывному спектру, если область значений оператора X/ — А плотна в Я, и остаточному — в противном случае. У ограннчевшых самосопряжённых операторов остаточный спектр отсутствует. [c.605]

Величину А наз. топологич. энтропией, с — фрактальной размерностью аттрактора. Сигналу (реализации, наблюдаемой), с к-рым имеет дело исследователь, в эффективном фазовом пространстве (возможно, бесконечномерном) исследуемой системы отвечает предельное множество соответствующих траекторий. Его размерность естественно называть размерностью реали- [c.694]

При построении С. т., как и любой квантовой теории поля, различают подходы первичного и вторичного квантования, В подходе вторичного квантования осн. объектами являются струнные поля — функпиональ на пространстве петель (аналогично тому, как в обычной квантовой теории взаимодействующих частиц поля зависят от точки— положения частицы в данный момент времени, так и в С. т. следует рассматривать поля, зависящие от контура). Структура бесконечномерного пространства петель пока плохо изучена. [c.9]

У. распределённых систем. Такие системы в общем случае характеризуются бесконечным числом степеней свободы и бесконечномерным (во многих случаях — счётномерным) фазовым пространством. [c.256]

Системы с конечномерным Ф. п. являются, как правило, идеализированным образом реальных физ. систем. Напр., при описании теплового, эл.-магн. и др. полей, разл. рода взаимодействий и т. д. приходится иметь дело с характеристиками, заданными в пространстве темп-рой Т г, t), напряжённостью поля Е г, 1) и др. Для этих характеристик также задаются нек-рые зволюц. ур-ния. Теперь, однако, Ф. п. такой динамич. системы является уже бесконечномерным. Иногда путём подходящего выбора базиса удаётся свести Ф. п. к счётномерному. Наконец, в ряде случаев с достаточной точностью можно описать поведение распределённой системы с помощью нек-рого [c.268]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...