О решении уравнений Лагранжа

Б. Доказательство. Пусть сначала М = К координатное пространство. Пусть ф К М, ( = Ф (О — решение уравнений Лагранжа. Так как к сохраняет Ь, то сдвиг решения К [c.81]

О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА [c.109]

IIU 1 лава 6. О решении уравнений Лагранжа [c.110]

Рассмотрим еще одну задачу на определение ускорений тел механической системы, имеющей две степени свободы. Таких задач в задачнике совсем немного. Возможно, что некоторым и не придется их решать. Но... Без такой задачи рассказ о применении уравнений Лагранжа был бы явно неполным. И надо сказать, что, чем сложнее задача, тем выгоднее, по мнению автора, применение для ее решения алгоритма Лагранжа. [c.145]

Этим заканчивается решение задачи о составлении уравнений Лагранжа для звуковых колебаний в газе. [c.389]

Если 1 "(0)=0, то первое приближение не представляет ценности и не позволяет судить о поведении точных решений уравнений Лагранжа (ср. с теоремами о линеаризации в курсе дифференциальных уравнений). [c.163]

Если д 1) — решение уравнений Лагранжа с лагранжианом 5 = З - -"V с начальными условиями (при = 0) (0) = = до, (7(0) = Уо, то д —Ь) есть решение тех же уравнений с начальными условиями (/(0) = до, (/(О) = —Уо- Для завершения доказательства остается использовать теорему единственности решений уравнений Лагранжа с положительно определенной квадратичной формой Э. [c.131]

Функция ф(ж, х) является первым интегралом уравнения движения X = / х, х). Показать, что общее решение х = ж(жо, о, этого уравнения совпадает с общим решением уравнения Лагранжа [c.129]

Результат варьирования д(1,а) прямого нути отобразится в пространство новых переменных Действие по Гамильтону Ш а) есть вычисление одного и того же интеграла в разных переменных, поэтому в новых переменных функция (а) останется прежней. По-прежнему а = О есть стационарная точка W(a), поэтому в силу принципа Гамильтона образ д ) прямого пути q t) есть решение уравнений Лагранжа, а функция Лагранжа Ь совпадает с функцией, стояш,ей под интегралом в новых переменных. Подсчет этой функции приводит к результату [c.94]

Из формулы (6) следует, что критические пути функционала Р совпадают с решениями уравнения Лагранжа [ ].(о 0. В частности, ограничение движения ш(0 на любой подынтервал [/ , /г] снова будет движением. [c.23]

Второе слагаемое в этой формуле обращается в нуль, поскольку при а = О кривая ж ( ) будет решением уравнений Лагранжа. Предположим, что действие по Гамильтону инвариантно относительно действия группы g . Тогда левая часть (5.8) также равна нулю. Следовательно, согласно (5.8), значение функции [c.57]

О существовании и единственности решений по начальным данным Если на этот вопрос будет получен положительный ответ, то это будет означать, что уравнения Лагранжа удовлетворяют тем естественным требованиям детерминированности движения, [c.137]

Если мы хотим, чтобы при этом движение по-прежнему определялось из уравнений Лагранжа однозначно (по начальным данным), то мы не можем произвольным образом, без всяких ограничений, постулировать лагранжиан L как функцию q, q w t. Действительно, основная теорема лагранжева формализма была доказана в предположении, что кинетическая энергия, а значит и лагранжиан, имеет вполне определенную структуру. Если лагранжиан задается каким-либо иным образом и имеет другую структуру, основная теорема лагранжева формализма, вообще говоря, не выполняется. Следовательно, вообще говоря, уравнения Лагранжа, полученные при этой иной функции Лагранжа, могут оказаться неразрешимыми относительно старших производных, и для них уже не будет верна теорема о существовании и единственности решения при заданных начальных данных. Для того чтобы сохранить это важное свойство уравнений Лагранжа, надо ограничить выбор лагранжиана L при его аксиоматическом задании. Легко видеть, что это ограничение должно быть представлено в форме [c.165]

Решение. Воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода. Выбираем ось ос с началом в положении равновесия груза и направляем ее по вертикали вниз. Тогда координата х груза в произволь- [c.588]

Решение. Искомый лагранжиан L = j2m r + [Q.r ]Y. Уравнение Лагранжа г = —2 [Qr j — [й[Ог ]]. Пусть С2=(0, О, Q), тогда имеем уравнения [c.90]

Уравнения Лагранжа /nR = 0, хг = —fer имеют решения R (О = R (0) + R (0) [c.98]

При исчезающе малых касательных напряжениях Х — О и >0 система уравнений (6.9 ) переходит в уравнение С. Жермен— Лагранжа (5.12). Для решения уравнений (6.9 ) могут быть использованы метод Фурье и вариационные методы. [c.204]

Решение. Система является консервативной и при вертикальном движении груза имеет одну степень свободы. Выберем за обобщенную координату расстояние у груза от горизонтальной плоскости, проходящей через ось О барабана. Так как действующие на систему силы Ру и Р2 консервативны, то воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода в виде (22), а именно [c.799]

Найдя аналитическое решение для любого числа делений, можно предельным переходом (п —> оо) получить результат, соответствующий непрерывной струне. Для исследования системы с п массами удобно использовать уравнения Лагранжа второго рода, которые имеют вид [c.41]

Следует иметь в виду, что уравнения Лагранжа второго рода для решения задач о движении механизма с неголономными связями не могут быть использованы. [c.249]

Для решения задачи о движении волчка мы используем не уравнения Эйлера, а уравнения Лагранжа. Так как рассматриваемое тело является симметричным, то его кинетическая энергия может быть записана в виде [c.186]

Идея о нахождении фундаментальной функции, из которой при помощи дифференцирования и конечных преобразований без всякого интегрирования могли бы быть получены все решения уравнений движения, принадлежит Гамильтону. Он первый доказал существование такой функции в геометрической оптике, назвав ее там характеристической функцией эта функция оказалась необычайно полезной в целом ряде задач. Позднее, в своих исследованиях по динамике, Гамильтон снова столкнулся с той же самой функцией, назвав ее на этот раз главной функцией . Ввиду общей вариационной основы у оптики и механики, эти две концепции эквивалентны и открытие Гамильтона относится по существу к вариационному исчислению, а специальная форма вариационного интеграла несущественна. (Этот интеграл определяет время в оптическом принципе Ферма и действие в механическом принципе Лагранжа.) [c.257]

Легко проверить, что функция S обладает перечисленными ранее свойствами. Например, уравнения (15.8.1) дают нам решение задачи Лагранжа о движении в плоскости ху [c.281]

Здесь a есть простой нуль функции / (г) (см. 16.7) в большей части случаев движение представляет собой либрацию по г между двумя простыми нулями а я Ь функции / (г), причем / (г) > О, когда а < г < Ь. Решение задачи Лагранжа (движение частицы в плоскости) дается уравнениями [c.296]

Решение динамической задачи, таким образом, сводится к квадратурам. Уравнение (18.2.21) определяет траекторию в -пространстве (безотносительно ко времени). Уравнения (18.2.20), (18.2.21) дают решение задачи Лагранжа о движении в g -пространстве, а уравнения (18.2.20) — (18.2.22) — решение задачи Гамильтона о движении в фазовом пространстве. [c.333]

Упругая полоса шириной 2Н (рис. 6.8) называется тонкой, если ее толщина 2h во много раз меньше длины сдвиговой волны в материале. Будем считать поэтому, что ее изгибные колебания описываются уравнением Жермен — Лагранжа (6.23). Направим ось х вдоль средней линии полосы, а ось у — в поперечном направлении. Ограничиваясь случаем монохроматического движения, решение уравнения (6,23) для полосы удобно искать в виде нормальной волны [c.191]

Однако бывают случаи, когда силы зависят не только от положения, но еще и от скорости и времени или зависят только от скорости или от времени. Например, в электродвигателях (кроме синхронных машин переменного тока) развиваемый ими движущий момент зависит, как правило, от угловой скорости их ротора точно так же в центробежных насосах и вентиляторах потребляемый момент изменяется в квадратичной зависимости от угловой скорости (о механических характеристиках машин см. п. 27). В этих случаях теорема об изменении кинетической энергии не может свести задачу i интегрируемым дифференциальным уравнениям (так как работа сил не может быть определена без знания самого закона движения), поэтому задача определения движения машины должна в таких случаях строиться на решении дифференциального уравнения движения системы в обобщенных координатах, соответствующего обобщенным силам или обобщенным моментам, т. е. так называемого дифференциального уравнения Лагранжа 2-го рода. Для установления этого уравнения воспользуемся зависимостью (48). Из нее для бесконечно малого промежутка времени получим [c.251]

Колебания паровоза как системы со многими степенями свободы. Точное решение задачи о колебаниях паровоза весьма сложно. С целью упрощения решения рассматривают паровоз как систему с тремя степенями свободы, считая, что величины упругих постоянных рессор не меняются во время колебаний. В этом случае положение системы при колебании определяется вертикальным перемещением центра тяжести г, углом поворота в продольной плоскости 6 и углом поворота в поперечной плоскости <р. Составляя уравнения Лагранжа и пользуясь свойством симметрии в расположении рессор относительно продольной оси, получают следующие линейные диференциальные уравнения свободных колебаний надрессорного строения паровоза [c.389]

Вычисление этих шести неизвестных величин аналитическим путем связано с интегрированием сложных дифференциальных уравнений, приводящих к эллиптическим функциям. Решение уравнений дано Е. Лагранжем и С. Ковалевской. Выше было отмечено, что ось вращения йо меняет свое положение, а вектор кинетического момента сохраняет его. Следовательно, если ось вращения удерживать с помощью подшипников, то вектор К вынужден будет менять свое положение, что вызовет реакции в подшипниках. Это явление получило название гироскопического давления. Если тело имеет неподвижную точку О и ось динамической симметрии (гироскоп), то вращение происходит только вокруг оси инерции J , поэтому со = 0 Q = 0 х = О и /И = О, вследствие чего уравнение (103) принимает вид [c.204]

Решение. Маятник имеет одну степень свободы и его Лоложение определяется углом ф (см. рис. 324). Следовательно, qi=сила тяжести Р и 6/li= (—Ра sin ф)бф, где а=ОС. Поэтому Qi = —Pa sin ф. Кинетическая энергия маятника T=Jo( l i или T=Joобобщенную скорость, а (о=ф). Уравнение Лагранжа, так как 91=Ф, имеет вид [c.380]

Решения уравнения Лагранжа для пластинок различной геометрической формы при указанных и других граничных условиях получены Тимошенко [Л. 8]. Ими можно воспользоваться и для задач о теплообмене, описываемых уравнением (14-26) при граничных условиях (14-27), Чтобы получить решение задачи о теплообмене, достаточно в решении для пластинки, геометрически подобной сечению трубы, заменить е на б- и а/о на С1С2/ац. Следует, однако, заметить, что в тех случаях, когда периметр включает не только прямолинейные отрезки, но и кривые линии, непосредственная замена величин может привести к неправильному решению уравнения (14-26), Это связано с тем, что граничное условие для пластинки в рассматриваемом случае не соответствует условию (7 0 )с = О. Поэтому необходимо некоторое преобразование постоянных интегрирования, чтобы указанное условие было удовлетворено. [c.270]

Решение. Система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем угол ф, отсчитываемый от положения равновесия стержня О/Ц, против движения часовой стрелки. Связи системы, состоящие из пшрнироп, трение в которых пренебрежимо мало, следует считать идеальными. Для движения системы можно составить уравнение Лагранжа в форме [c.410]

В гл. V Динамика системы автор, обсуждая идеп Германа п Эйлера, развитые Лагранжем, указывает на бесплодность споров о реальности даламберовых сил инерции. Общие теоремы динамики (без реакций связей) выводятся из принципа Эйлера — Лагранжа и применяются к решению ряда интересных задач, иллюстрирующих эти теоремы. При выводе уравнений Лагранжа подчеркивается, что они справедливы лишь для голоном-пых определяющих координат, и отмечается ошибка К. Неймана. Здесь же излагается способ определения неизвестных реакций с помощью уравнений Лагранжа второго рода, который подробно иллюстрируется примерами. [c.6]

Пусть для каких-либо значений постоянных Са = с о система уравнений (25) имеет решение qi = = onst. Тогда в стационарном дви-жении Qi = qio, Qi = 0 (г = 1, 2,. .., f ), q, = с о (a = A + 1,. .. n). Допустим, что в начальный момент времени t = величины qi мало отличаются от их значений, отвечающих стационарному движению. Будут ли тогда величины qi — qio qi г = 1, 2,. .., к) оставаться малыми для всех t to Иными словами, будет ли рассматриваемое стационарное движение устойчиво по отношению к переменным qi, qi г = 1, 2,. .., к)1 Ответ на этот вопрос можно получить, используя теорему Лагранжа. [c.497]

Эти уравнения известны под названием уравнений Лагранжа второго рода. Они представляют собой систему 5 обыкновенных уравненйй второго порядка с 5 неизвестными функциями времени q ,. ..,q . Все 2 произвольных постоянных, которые введутся при интегрировании этих уравнений, будут согласно формуле (32.41) независимы друг от друга. Интегрирование уравнений Лагранжа в независимых координатах представляет собой кратчайший путь для решения вопроса о движении рассматриваемой [c.331]

Метол Ритца, как показывают исследования [68], приводит всегда к значениям собственной частоты равным или несколько большим, чем действительные. К подобным же заключениям, какие получены на основе минимума разницы между кинетической н потенциальной энергией, можно прийти применением уравнения Лагранжа, если решение задачи о колебаниях выразить как 74 [c.74]

Чем больше мы проникаем в природу сил, тем больше мы сводня все к взаимным притяжениям и отталкиваниям и тем важнее становится задача определения движения и взаимно притягивающихся тел. Эта задача принадлежит к категории тех задач, к которым приложима наша теория, т. е. которые приводятся к интегрированию уравнения в частных производных, откуда ясна необходимость изучения этих уравнений. Но в течение 30 лет i занимаются только линейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в то время как для нелинейных не сделано ничего. Для трех переменных задачу решил уже Лагранж для большего числа переменных Пфафф представил, хотя п имеющую достоинства, но несовершенную работу. По Пфаффу для решения уравнения в частных производных надо сначала проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений после интегрирования этой последней составляют новую систему дифференциальных уравнений, которая содержит двумя переменными меньше эту систему снова интегрируют и т. д. и таким образом интегрируют, наконец, уравнение в частных производных. Согласно о этим, Гамильтон, приведя дифференциальное уравнение движения к уравнению в частных производных, свел надачу к более трудной, так как но Пфаффу интегрирование уравнения у. частных производных требует интегрирования ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как механическая задача требует интегрирования только одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому большее значение имело здесь обратное приведение, при помощи которого уравнение в частных производных сводится к одной системе дифференциальных уравнений. Первая система Пфаффа совпадает как раз с той, которая получается в механике и можно показать, что остальные системы тогда не нужны. Очень часто приведение одной задачи к дру- [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...