Разностные операторы

Применяется несколько способов выражения производных через значения Vk. Вид разностных операторов удобно представлять графически в форме шаблонов. На рис, 4.4, а—г даны примеры шаблонов для одномерных, а на рис. 4.4, д, ж — для двумерных стационарных задач. Шаблон представляет собой часть сетки, включающую множество узлов Xft, значения переменных в которых используются при аппроксимации производных в заданном узле Х. Узлы X на рис. 4.4 показаны темными кружками, а узел X обведен дополнительной окружностью. В левой части рисунков указан аппроксимируемый дифференциальный оператор, а рядом с узлами сетки записаны значения коэф- [c.160]

Здесь U" - сеточная фун.. мя, являющаяся решением разностного уравнения Л,,Л2,/1 - разностные операторы, зависящие от параметров г,/г сетки, t - пт, Q , - сеточная область, аппроксимирующая область Q, х Г - ее граница F л G -сеточные функции, аппроксимирующие соответственно f л g. Говорят, что оператор Л(г) аппроксимирует оператор А, если (г) —> о при г О на множестве II [c.29]

Символическая запись О к) означает величину, имеющую тот же порядок малости, что и к. Говорят, что разностный оператор аппроксимирует дифференциальный с порядком т в точке х = а ,-, если разность их значений в этой точке равна 0 к ). В этом случае правая (аналогично левая) разностная производная имеет первый порядок аппроксимации. Разностное выражение определено на двух точках ш Xi + к, т. е. имеет двухточечный шаблон. [c.270]

Но вместо построения конечно-разностного оператора непосредственно для этого дифференциального уравнения, составим функционал потенциальной энергии Э балки, выраженный через прогибы V (см. 3.2) [c.248]

Отметим, что в случае плоской задачи бигармоническое уравнение (9.20) аппроксимируется разностной системой алгебраических уравнений, которую можно получить на основании формулы (7.248). Повторив операцию разностного оператора Лапласа для квадратной сетки, получим следующую систему алгебраических уравнений [c.328]

В случае, когда ш 3, получаем ф0 =О Очевидно, что может быть построено довольно много разностных операторов, аппроксимирующих тот или иной дифференциальный оператор. Для той же первой производной, например, кроме указанных выше существует разностный оператор, содержащий числовой параметр [c.173]

При численном решении задачи этим методом нельзя получить решение во всех точках некоторой области пространства. Приближенное решение может быть найдено лишь в некотором конечном множестве точек. При численном решении дифференциальное уравнение необходимо заменить его конечно-разностным аналогом. С этой целью область непрерывного изменения аргумента следует заменить дискретной областью и вместо дифференциального оператора использовать так называемый разностный оператор уравнения. После этого приближенное численное решение дифференциального уравнения сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. [c.88]

Метод решения. Система дифференциальных уравнений (1) заменяется ее разностным аналогом. При этом все операции дифференцирования по S() заменяются следующими разностными операторами [c.149]

Наибольшей универсальностью обладает метод конечных разностей (сеток) [Л. 54], пригодный для решения как линейных, так н нелинейных уравнений в частных производных с различным числом независимых координат. Метод сеток основан на замене производных по всем направлениям конечными разностями, подсчитываемыми по значениям искомых функций в узлах многомерной координатной сетки, покрывающей всю область решения. Шаг изменения координат должен быть приспособлен к границам области. Аппроксимируются соответствующими разностными операторами и граничные условия. В результате система уравнений в частных про-82 [c.82]

Рекомендации по численному решению задач свободной конвекции в емкостях приведены в [14, 34, 71, 94]. Решения получены до значений чисел Релея 10 . Возможность получения решений при больших числах Релея была показана в (34 ) путем введения автоматической коррекции разностного оператора. Установлено, что при больших числах Релея, когда схемные коэффициенты переноса превосходят молекулярные, для сохранения устойчивости решений и равномерной сходимости следует опустить в уравнениях диффузионные члены. Подход к численному решению уравнений в замкнутой области можно проиллюстрировать па примере свободной конвекции жидкости в горизонтальной трубе. Математическая модель задачи описывается системой уравнений движения, энергии и неразрывности [c.187]

Шаблоны для двумерных задач в нижней части рис. 3. П соответствуют следующим конечно-разностным операторам [c.115]

В этом случае разностный оператор (5.56) модифицируется следующим образом [c.147]

Здесь функция f x) определена, допустим, на отрезке [а, 6]. На этом же отрезке ищется решение U x). Предположим для простоты, что f(x) и и(х) принадлежат одному функциональному нормированному пространству Я. Норму функции f(x) в этом пространстве обозначим / я- Поставим в соответствие функциям и х) и f x) сеточные функции [/н и Д, а оператору L — разностный оператор Тогда уравнению (2.1) мы ставим в [c.168]

Выберем теперь в качестве разностного оператора, аппроксимирующего оператор d/dx, разностную -производную [c.171]

Упражнение 3.1. Доказать, что разностный оператор L [c.174]

Вводим разностные операторы на симметричном шаблоне. Лля этого вторые производные по одной переменной будем обозначать [c.224]

При дискретизации континуальной задачи теории оболочек методом конечных разностей дифференциальные уравнения сводятся к системам алгебраических уравнений, где значения сеточных функций fij в узлах k(i, j) конечно-разностной сетки неизвестны. Предельная для /i,, функция f (ж, х ) при стремлении к нулю длины 6х сторон ячеек сетки будет решением рассматриваемой задачи, если разностный оператор аппроксимирует дифференциальные уравнения задачи. Аппроксимация континуальной задачи конечномерной моделью, определяемой приближенным решением fi, j, неоднозначна и зависит от способа представления частных производных дифференциального оператора L([) в точке х, xj) через значения аппроксимирующей функции fi+p,,+(, в соседних точках (i + p, /Ч-о) разностной сетки. [c.172]

Р, / И i I Следуя методам работы tlj> построим неявный конечно-разностный оператор, являющийся аналогом системы (I), в котором оудут использоваться значения газодинамических параметров на трех [c.26]

Порядок проведения численной проце,цуры, связанный с правилом перебора ячеек рассматриваемой области, подробно описан в работе. Там е, на примере модельного уравнения проведен анализ устойчивости дву Сло,.ного по времени неявного разностного оператора. Следует отметить, что применение трехслойной по времени неявной разностной схемы (9) по сравнению с двухслойной позволило увеличить допустимый шаг по времени Г в 2 раза. При этом величина г практически не зависала от способа аппроксимации плотностей Т. [c.28]

В численных конечно-разностных методах дифференциальная задача заменяется или, как говорят, аппроксимируется системой разностных уравнений. Совокупность разностных уравнений и краевых условий, записанных в разностной форме, называется разностной схемой ). Методы решения системы разностных уравнений, возникаюхцей при записи разностных операторов для всех точек сетки, представляют самостоятельную проблему. [c.268]

Введем стчедующий простейший разностный оператор Лапласа [c.186]

В результате такой процедуры дифференциальные операторы преобразуются в разностные операторы. Рассмотрим простейший из дифференциальных операторов. Пусть v x) — функция очного переменного. Образуем сетку узлов х,- = ih (h — onst, i = 1,2,. ..) и рассмотрим разность (о (х,) = о,) [c.172]

На втором этапе дифференниальный оператор и граничные условия заменяют по определенным правилам разностными аналогами. Разностные операторы, соответствующие дифференциальному уравнению, записывают во внутренних узлах сетки. Разностные операторы, соответствующие граничным условиям, записывают в граничных точках. В результате получают систему алгебраических уравнений, число которых зависит от числа узлов. [c.74]

В качестве оператора L можно взять разностные операторы, что позволяет применить О. з. р. м. К дифференциально-разностным ур-нияи, среди к-рых особенно интересны ур-ние Вольтерры [c.389]

Для численного решения уравнения движения известно большое число шаговых численных методов. Конечно-разностные операторы по времени, представляющие ускорение разделяются на две группы условно устойчивые и безусловно устойчивые. Условно устойчивые методы (например, метод центральных разностей) становятся неустойчивыми, если шаг интегрирования Ат больше некоторого критического значения. Безусловно устойчивые методы (например, метод Хубольта), устойчивы вне зависимости от выбора величины шага по времени, однако при этом усложняется процесс интегрирования и возникает влияние фиктивного затухания, вносимого в модель конечно-разностными операторами. При решении методом Хубольта вектор узловых обобщенных ускорений q в момент времени т + уАт (/ — номер временного шага) аппроксимируется в разностном виде с интерполированием назад [c.110]

Применение метода конечных разиостей к двухмерным системам. Выбирают сетку значений координат = Ло + кАх, yj = Уо + jAy (/, А = О, 1,. ..). Неизвестные функции аппроксимируют дискретным множеством значений ф , = ф (х, i/ ). Дифференциальные операторы заменяют разностными. Некоторые схемы составления центрально-разностных операторов показаны на рис. 1 (в кружках даны весовые коэффициенты), остальные аналогичны одномерному случаю. После составления системы разностных уравнений для внутренних точек области удобно перенумеровать подряд все узлы сетки (х/,, yj) = р (р = 1,2,. ..) и соответствующие значения функций ф у = = Фр- [c.186]

Вязкие напряжения на старом временном слое аппроксимируются с помощью обобщения центральных разностей на произвольные сетки. Вклад вязких членов в конечно-разностный оператор на новом временном слое оценивается приближенно, поскольку вклад некоторых точек опускается, с тем чтобы сохранить блочную пятидиагональную структуру матрицы коэффициентов разностной системы линейных алгебраических уравнений для приращений по времени упомянутых выше переменных. [c.393]

Вообще говоря, аппроксимация — это замена одного математического объекта другим. Аппроксимация дифференциального оператора Ь разностным оператором Ьк называется согласованной [1], если при стремлении к нулю шагов по времени и по пространству оператор (Ол стремится к нулю. Ясно, что если это условие не выполнено, то построенная математическая модель не соответствует физической. Таким образом, требование согласованности является фундаментальным. Если согласованность разностной схемы отсутствует, то исследованре ее других свойств становится бессмыс-ленн хм. [c.214]

Исследование устойчивости разностной схемы отвечает на вопрос о поведении ошибо округления. Разностный оператор Ьн называют устойчивым, если в результате его при] енения ошибка, допущенная в исходном решении, убывает. Обозначим ошибку округления в точке i в момент i" через 6" а в момент i" через В результате действия оператора Lh на решение эти ошибки [c.215]

Назовем шаблоном разностного оператора L множество целых чисел, являющихся индексами узлов, участвуюшлх в действии этого оператора на величину /j, и обозначим его Ш 1 , например [c.162]

Схематически сказанное изабра-жено на рис. 27. Как видно из рис. 27, о том, насколько хорошо разностный оператор Lh аппроксимирует континуальный оператор L, можно судить по разности величин Д и LhUh- Будем говорить, что разностное уравнение (2.2) аппроксимирует уравнение (2.1) с порядком т или имеет место аппроксимация порядка т, если [c.168]

Алгоритм вычисления коэффициентов разностного оператора разрешающих уравнений теории обопочек [c.176]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...