Вариационные неравенств

Используя теорему II.3 приложения II, заключаем, что для линейно-упругого материала решение вариационного неравенства (5.343) эквивалентно задаче минимизации функционала [c.288]

Таким образом, решение задачи в дифференциальной постановке удовлетворяет вариационному неравенству, вытекаюш,ему из вариационного уравнения (5.367) и неотрицательности пар слагаемых (5.368) [c.293]

Теорема (без доказательства). Решение вариационного неравенства (5.372), если оно существует и обладает вторыми производными (хотя бы обобщенными), удовлетворяет всем уравнениям и условиям задачи в дифференциальной постановке. [c.293]

Вариационное неравенство в данном случае имеет вид [c.293]

Тогда вариационное неравенство (5.372) имеет по крайней мере одно решение. [c.295]

Отметим, что одним из эффективных методов решения уравнения (5.411) является метод приведения этого уравнения к вариационному неравенству [c.300]

Обращаясь к вариационному неравенству (12.90 ) — по- [c.160]

Перейдем теперь к рассмотрению задач с ограничениями на основе вариационных неравенств. Как отмечалось в 1 гл. III, такого рода задачи возникают при контакте жесткого и упругих тел и, кроме того, при контакте упругих тел. Заметим, что фактически речь идет о жесткой поверхности (поскольку протя- [c.627]

Будем считать, что все поверхности контакта и нормальные напряжения обращаются в нуль, причем внутри поверхности контакта они неположительны. Тогда, повторяя рассуждения, использованные при рассмотрении аналогичной задачи для гармонической функции, приходим к вариационному неравенству [c.628]

Замечание. Легко проверить [170], что, если компоненты о - непрерывно дифференцируемы по координатам Х , то из вариационного неравенства (4.20) следует, что оу удовлетворяют уравнениям (4.12), (4.14) и (4.15). Это означает, что понятие обобщенного решения задачи теории ползучести действительно является обобщением понятия решения краевой задачи теории ползу чести. [c.43]

Напряжения сг удовлетворяют вариационному неравенству [c.54]

Следуя общей схеме сведем задачу (4.1), (4.5), (4.6) к вариационному неравенству (см. также обзоры ). Умножим уравнение (4.5) и неравенство (4.6) на плотность p(xi,x2) и проинтегрируем по области ш,. В результате получаем [c.64]

Итак, задача (4.1)-(4.3) сведена к вариационному неравенству (4.8), которое формулируется следующим образом найти неотрицательную плотность р, удовлетворяющую неравенству (4.8) при любых пробных функциях q. Подчеркнем, что математически строгая постановка задачи (4.8) требует задания функционального пространства, которому должны принадлежать плотности р н q. [c.64]

В свою очередь, вариационное неравенство (4.8) формально эквивалентно задаче минимизации функционала потенциальной энергии [c.65]

Задача (2.54)-(2.56) сводится к вариационному неравенству для монотонного оператора. [c.146]

Следуя общей схеме вывода вариационных неравенств, соберем формулы (3.16)-(3.18) в единую задачу для определения контактных усилий Qi,. .., Qn- Умножим равенство (3.17) и неравенство (3.18) на произвольное число (j = 1,2,. .., TV). Просуммировав полученные соотношения, получим [c.154]

Итак, полученная асимптотическая модель одностороннего дискретного контакта с линейно-деформируемым основанием сведена к вариационному неравенству (3.21), которое формулируется как задача отыскания вектора Q > О, удовлетворяющего неравенству (3.21) при любом векторе S с неотрицательными компонентами. [c.155]

В свою очередь, вариационное неравенство (3.21) эквивалентно задаче минимизации квадратичного функционала [c.155]

Для решения задач о поведении механических систем с односторонними связями применяют симплекс-метод [215], динамическое программирование [8, 216], а также методы решения вариационных неравенств — локальных вариаций [163— 176, 240], нелинейного программирования [29, 75, 151, 152, 155], последовательного нагружения [241]. Такие методы особенно эффективны для двумерных задач о контакте оболочек со штампами. [c.13]

Решений контактных задач, в которых равновесие оболочки описано геометрически или физически нелинейной теорией, в литературе значительно меньше. В основном это исследования Г. И. Львова [163—174]. В них предложена вариационная постановка контактных задач для тонкостенных гибких элементов конструкций на основе физических соотношений деформационной теории пластичности Ильюшина, теорий пластического течения и технических теорий нелинейной ползучести. С помощью математического аппарата вариационных неравенств дано определение обобщенного решения и задача сведена к проблеме минимизации функционала, заданного на множестве допустимых решений. Минимизация функционалов выполнена методом локальных вариаций, поперечное обжатие оболочки в зоне контакта не учтено. [c.13]

Теория вариационных неравенств применена для решения контактных задач также в работе [257]. Вариационный подход к решению нелинейных контактных задач на основе теории Тимошенко и с учетом трансверсального обжатия предложен [c.14]

Общий подход здесь, как, скажем, и в МКЭ, состоит в применении итерационных алгоритмов, с тем чтобы на каждом шаге нужно было строить решение соответствующей линейной задачи. Так, при решении задачи типа (а) на каждом шаге итерационного процесса сначала неизвестная граница считается условно заданной, затем строится решение линейной задачи для фиксированной области, находится невязка в граничных условиях и вычисляется поправка к форме неизвестной границы, после чего процесс повторяется. Как известно, подобного рода алгоритм достаточно эффективен (особенно в трехмерных задачах) лишь при применении специальных процедур выбора шага итерационного процесса. В связи с этим стоит обратить внимание на другую возможность решения задач с неизвестной границей. В ряде случаев исходную задачу можно привести к вариационной задаче минимизации функционала по границе (или по ее части) с ограничениями в форме равенств и неравенств или к решению вариационного неравенства [2]. В свою очередь подобные вариационные задачи сводятся к задачам математического программирования, численные методы решения которых хорошо разработаны (см., например, [3]). В качестве примеров применения такого подхода укажем работы [4, 5]. [c.7]

С допущением отрыва штампа от поверхности упругого тела получается задача, в которой наряду с асимптотикой контактных давлений требуется определить вытянутую узкую зону контакта. При этом результирующая задача сводится к одномерному вариационному неравенству (см. [5]). Наконец, упомянем работы [19-21], в которых при помощи метода сращиваемых асимптотических разложений изучались задачи теории упругости с условиями одностороннего контакта с трением. [c.81]

МЕТОД ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ [c.93]

Собственно метод вариационных неравенств относится к задачам второго типа здесь, помимо задачи построения вариационного неравенства, доказываются [c.93]

Элементарный анализ произведения д(х)6ю(х) позволяет сделать вывод о том, что это произведение неотрицательно и, стало быть, решение ш(х) удовлетворяет вариационному неравенству [c.95]

Проводя те же преобразования, что и в предыдущей задаче для балки, устанавливаем, что совокупность соотношений (14)-(18) эквивалентна вариационному неравенству [c.97]

Преобразование полученных вариационных неравенств (11), (20) к задачам минимизации функционалов может быть дано стандартными методами теории упругости. Однако для того, чтобы иметь возможность сформулировать условия существования и единственности решения и — в некоторых случаях — установить теоремы о гладкости, а также изучить более сложные и важные для приложений многомерные контактные задачи, приведем ряд определений и теорем из функционального анализа (ФА) и теории оптимизации (ТО). [c.97]

Нетрудно сформулировать ограничения, при которых формы L v) и а (и, V) будут непрерывными на V. Можно проверить, что множество К, определенное по формуле (5.366), выпукло в V замкнутость этого множества вытекает из теоремы Лионса о следах. Таким образом, имеет место теорема, вытекающая из результатов II.3 приложения II и 5.5 решение вариационного неравенства (5.372) эквивалентно проблеме минимизации функционала [c.294]

В заключение этого параграфа рассмотрим так называемые вариационные неравенства. Выше было показано, что существует, вообще говоря, эквивалентная трактовка тех или иных операторных уравнений, когда ставится вопрос об определении экстремума того или иного функционала. Покажем сейчас, что существует еще один класс задач (так называемые задачи с ограничениями), который сводится к вариационным задачам, причем решение разыскивается не в том или ином пространстве, а на мноигестве, определяемом теми или иными ограничениями ). [c.157]

В отличие от задач без трения, которые могут быть сведены к решению вариационных неравенств или к задаче минимизации выпуклого функционала на вьшуклом множестве ограничений, содержащем ограничения в виде неравенств, контактная задача с трением сводится к решению квазива-риационного неравенства. В работе [29] приведен итерационный процесс решения такого неравенства, а также дан алгоритм практического решения задачи, основанный на идее двойственности. Решение задачи проводится с помощью алгоритма типа Удзавы. На каждой итерации решается задача, эквивалентная обычной задаче теории упругости с граничными статическими условиями на Гк, причем последовательно уточняются как напряжения а , так и напряжения а . Для определения этих напряжений по данным предьщущей итерации применяются операторы ортогонального проектирования на множество Стр<0, Эти операторы имеют вид [c.152]

В работе [26а] Стернбергом и Ноулзом па основе теоремы Э. Нетер о вариационных неравенствах получено еще два аналогичных интеграла [c.89]

Учитывая далее, что функционал Ф (Я,) является непрерывно дифференцируемым, необходимое и достаточное условие его минимума на элементе X замкну1уго множества М = X 0 можно записать в виде вариационного неравенства [c.524]

На основе вариационных неравенств и предложенных автором работы [259] полувариационных неравенств приводится постановка задач механики с односторонними ограничениями и ее решение непрямым МГИУ. В силу одностороннего характера взаимодействий вместо интегральных уравнений автором получены интегральные включения. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...