Экстремаль функционала

Теорема 8.11.2. (Эйлер). Вектор-функция 7 служит экстремалью функционала [c.600]

Теорема 8.11.3. Пусть, как и прежде, все траектории проходят через фиксированную начальную и конечную точки для заданных начального <о и конечного <1 значений параметра Тогда найдется постоянная А, для которой экстремаль функционала Ф при условии, что функционал Ф сохраняет постоянное значение, совпадает с безусловной экстремалью функционала Ф + АФ. [c.604]

Определение 8.12.1. Пусть у — экстремаль функционала Ф в смысле теоремы 8.12.1. Значение этого функционала на экстремали зависит от начального и конечного положения системы, начального и конечного моментов времени [c.612]

Определение 8.12.3. Пусть 7 — экстремаль функционала ] в смысле теоремы 8.12.3. Значение этого функционала на экстремали зависит от начального и конечного положений системы [c.617]

Согласно принципу Гамильтона, этот закон есть экстремаль функционала действия. Поэтому функция действия по Гамильтону вычисляется следующим образом [c.643]

Теорема. Кривая < (/), удовлетворяющая условию (8), является экстремалью функционала действия с закрепленными концами при наличии связей (1) тогда и только тогда, когда существуют [c.103]

Теорема. Движение уо(0 экстремаль функционала т [c.169]

Таким образом, кривая yo t) является геодезической тогда и только тогда, когда вдоль нее выполнено тождество (2) и она является экстремалью функционала (1) в смысле принципа Гамильтона. Выпишем уравнения Эйлера—Лагранжа для этого функционала [c.171]

Геодезическая линия — экстремаль функционала длины, рассматриваемого на кривых с закреплёнными концами. Ур-ния геодезических имеют вид [c.396]

Геодезические могут быть получены также как экстремаль функционала действия [c.396]

Исходное предположение о том, что функция У(х) является экстремалью функционала (П2.36), привело к необходимости решения уравнения (П2.40) для определения вида этой функции. Отметим, что вьфажение которое является производной функции J a) по а в точке а = 0, в вариационном исчислении обычно обозначается 67 и в таком обозначении необходимое условие экстремума функционала совпадает с (П2.33). [c.270]

Упражнение П2.5. Показать, что экстремалью функционала [c.278]

Таким образом, постановка вариационных задач заключается в записи функционала и определении условий для нахождения его экстремума. Определение экстремалей функционала из дифференциальных уравнений типа Л.Эйлера-Ж.Лагранжа с соответствующими гранич- [c.280]

Какая функция называется экстремалью функционала [c.284]

В качестве примера применения сплайн-функций рассмотрим решение задачи об определении экстремалей функционала [c.302]

Решение вариационной задачи (27), таким образом, сводится к нахождению экстремалей функционала J, проходящих через заданные начальную (го, о) и конечную (г, v ) точки пространства координат скоростей при фиксированных начальном i = О и конечном t = моментах времени. [c.534]

Экстремаль действия по Гамильтону будет экстремалью функционала, в котором вместо функции Лагранжа стоит произвольная дифференцируемая и монотонная функция от функции Лагранжа. В частности, на действительных траекториях минимальным будет интеграл [c.119]

Натуральная механическая система — это тройка М,Т,У), где N—гладкое многообразие (пространство положений), Т — риманова метрика на N (кинетическая энергия), V — гладкая функция на N (потенциал силового поля). Движения такой системы — гладкие отображения К —> Л , являющиеся экстремалями функционала действия Ь[д 1),д 1)) <И, где д 1) — касательный вектор к в точке д[1), Ь — Т — V — функция Лагранжа. Изменение со временем локальных координат д на. N описывается уравнением [c.23]

Рассмотрим восходящее к Лагранжу обобщение вариационной задачи из п. 7. Пусть д [I1,I2I —> N — экстремаль функционала действия Ь(И, Ь = Т — V, ъ классе кривых с закрепленными концами, удовлетворяющих системе уравнений [c.25]

Таким образом, каждой задаче рассматриваемого класса соответствует некоторая функция Лагранжа L(q, д, а траекториями движения являются кривые в на которых интеграл действия по Гамильтону (функционал) принимает стационарное значение по сравнению с близкими кривыми. В вариационном исчислении такие кривые называются экстремалями функционала. Это не произвольные кривые в они описываются уравнениями (6). [c.224]

Из уравнения эйконала вытекает важное физическое положение, известное, как принцип Ферма, согласно которому оптический луч всегда выбирает траекторию с минимальной длиной оптического пути. Только в очень редких случаях условие минимума заменяется условием максимума. Таким образом, лучевые траектории являются экстремалями функционала Ферма [c.38]

Теорема. Чтобы кривая у была экстремалью функционала и [c.55]

Г. Важное замечание. Свойство кривой у быть экстремалью функционала не зависит от выбора системы координат. [c.56]

Записанный так функционал, определенный на пучке (40), носит название действия по Гамильтону и играет важную роль при исследовании движения а потенциэотьных полях. Из сказанного следует, что движение, удовлетворяют, е уравнениям Лагранжа, представляет экстремаль функционала (48). В следующем параграфе мы докажем приведенную выше теорему Эйлера для однопараметрического пучка специального типа, пока же выведем формулу для вариации действия эта формула потребуется нам в дальнейшем. [c.275]

Следствие 8.11.1. (Свойство взаимности изопериметричес-кой задачи). Множество экстремалей функционала Ф при фикси-рованнолг значении функционала Ф и множество экстремалей функционала Ф при фиксированном значении функционала Ф принадлежат однопараметрическому по параметру А семейству безусловных экстрелгалей функционала Ф Ч- АФ. [c.604]

Теорема 8.12.1. (Принщш Гамильтона стационарного действия). Действительное движение голономной механической системы под действием потенциальных (обобщенно потенциальных) сил, выполняемое от заданного положения q( о)) отличается от кинематически возможных движений системы между этими положениями в том же интервале времени тем, что действительное движение служит экстремалью функционала [c.612]

Пусть лагранжиан Ь голономноИ системы не зависит явно от времени (силы потенциальны или обобщенно потенциальны). Тогда действительная траектория изображающей точки конфигурационного пространства служит экстремалью функционала [c.616]

Условие стационарности функционала 65 = О формулирует континуальную вариационную задачу с бесконечным числом компонент перемещений, определяющих разыскиваемые функции-экстремали. Идея метода, предложенного еще в начале века немецким ученым Ритцем, состоит в том, чтобы от континуальной формулировки перейти к дискретной, когда функционал Э = Э и, v, w), заменяется функцией Э = Э а ) (г = 1, 2,. . ., п), зависящей от конечного числа аргументов После этого задача определения экстремалей функционала перейдет в стандартную задачу исследования указанной функции дискретного числа аргументов на экстремум. Другими словами, от континуальной задачи с бесконечным числом степеней свободы в отношении формы деформирования тела мы переходим к задаче для системы с конечным числолг степеней свободы. [c.58]

Ре]иения ятой системы наз. экстремалями функционала F. Экстремаль соответствует мппимуму F при выполпении условия Лежандра [обобщающего требование неотрицательности квадратичной формы [c.245]

Помимо разнообразных физ. интерпретаций Т. з., такого рода топологич. классификация ф-ций состояния позволяет из чисто формальных соображений существенно сузить круг поиска решений ур-ний модели. С др. стороны, при наличии оценки энергии модели tf снизу через Т. з. Q типа < >/(б), где /—монотонно растущая ф-ция, решения с нетривиальным значением Q (топологические соли-тоны), реализующие Inf (У, оказываются устойчивыми по Ляпунову (см. Устойчивость o.iumonoe). Более того, ес.пи ниж. грань функционала достигается (случай выполнения равенства в оценке, приведённой выше), то удаётся понизить порядок вариационных ур-ний (см. Эйлера—Лагранжа уравнение) на единицу, т. е. свести поиск экстремалей функционала к решению ур-ний 1-го порядка, т. н. ур-ний Богомольного. [c.132]

Пусть У(х) - экстремаль функционала (П2.36). Тогда совокупность множества близких к ней функций запишем нз (П2.22) с помощью малого а параметра (П2.23) Y x) =Y x) +aZ(x) с граничными условиями Z(a) = Z(b) = 0. Теперь инторал (П2.36) приводится к виду ь [c.269]

В приложениях встречаются задачи о нахождении экстремалей функционала в рамках определенных ограничений, накладываемых на варьируемую функцию. Пусть требуется найти экстремум функционала (П2.54) при дополн1ггельных ограничениях, накладьтаемых на функции К [c.279]

Таким образом, задача (4.68) представляет собой вариационную задачу на нахождение минимизируюш их экстремалей функционала [c.127]

Как уже указывалось, поведение лучей в световом потоке может быть определено путем использования вариационного принципа, предполагаюш его нахождение экстремалей функционала (1.3.14). Решение вариационной задачи оказывается более легким, если перейти к новой переменной интегрирования. Используем определение элемента длины [c.48]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...