Дискретная задача

Используют также различные методы решения дискретных задач оптимизации. [c.136]

Дополнение задачи Д услов.иями (П.58) требует на первый взгляд получить решение в два этапа. Сначала, пренебрегая условиями (П.58), заменить дискретную задачу ее непрерывным аналогом и решить одним из приемлемых методов, [c.258]

Хорошо приспособлены к решению дискретных задач методы прямого перебора и динамического программирования. Более того, эти методы легче реализуются при дискретном характере переменных из-за отсутствия необходимости табулирования непрерывных функций. [c.259]

Таким образом, во всех достаточно общих случаях использование в том или ином виде дей упорядоченного перебора или динамического программирования является обязательным для решения дискретных задач. [c.262]

Рассмотрим решение двумерной задачи о сжатии двух цилиндров. Краевая задача на каждой итерации решалась вариационно-разностным методом. Зона возможного контакта не превышает 1/5 Л и при выбранной дискретизации содержит 21 узел. При решении предлагаемым методом рассмотрен диапазон нагрузок, при которых в контакте находится от 3 до 19 узлов. Для пробной площадки контакта на первой итерации принималось от 1 до 21 узла (с учетом симметрии от 1 до 11). Во всем диапазоне нагрузок и при любом начальном выборе площадки контакта для сходимости потребовалось не более четырех итераций. На рис. 4.11 для одного варианта нагрузки приведена итерационная последовательность количества опорных узлов п для всех вариантов начальной площадки. Например, при 5 = Гк число опорных узлов составило по итерациям 11—8—7—6. Применение операторов ортогонального проектирования в дискретной задаче ускоряет сходимость по сравнению с последовательным перебором возможных площадок контакта [20]. [c.146]

Для этой цели обычно используется спектральный критерий устойчивости Неймана [8], основанный на анализе спектра оператора дискретной задачи. Другое более практическое определение устойчивости алгоритма, связанное с понятием корректности задач с непрерывным аргументом, предложено в [7]. В этом случае счетная устойчивость алгоритма устанавливает непрерьшную зависимость решения от входных данных, когда малым вариациям исходных данных соответствуют малые вариации решения. Этот подход и будет использован ниже при решении задач теплопроводности в элементах ВВЭР. [c.175]

Однако при сведении задачи с непрерывными переменными к задаче с дискретными переменными теряется точность получения оптимальных значений переменных Хн, а значит и Хд. Поэтому при использовании такого приема необходимо после получения некоторого оптимума в результате решения дискретной задачи провести еще дополнительную оптимизацию по непрерывным переменным Х при некотором фиксированном векторе Хд. Таким образом, и в этом случае все равно приходим к разделению процесса решения задачи на этапы, только уже на конечной стадии полной оптимизации. При оптимизации теплоэнергетических установок этот подход не используется из-за своеобразия учета ограничивающих условий (2.8), (2.9), рассматриваемого ниже, и некоторых других особенностей задачи (2.7) — (2.10), позволяющих более эффективно применять методы типа градиентных на первом этапе ее решения. Ниже излагаются алгоритмы оптимизации по этапам. [c.17]

Требуя, чтобы значения сеточной функции и удовлетворяли уравнениям (5.52), в которых знак приближенного равенства заменен на знак равенства, а также краевым условиям (5.51), приходим к дискретной задаче [c.146]

Сведение к задаче исследования операций. В предыдущем параграфе была решена непрерывная задача оптимального проектирования многослойной пластины, т.е. задача оптимизации многослойной пластины по непрерывно изменяющимся толщинам отдельных слоев. Для случая аварийного режима, когда основным критерием оптимизации является вязкость разрушения, указанная непрерывная задача разбивается на локальную непрерывную и дискретную задачи. [c.247]

С учетом всех этих положений дискретная задача оптимального проектирования многослойной пластины ставится следующим образом. [c.247]

Метод коллокации. Соответствующая дискретная задача, при учете погрешности численного интегрирования, состоит в нахождении такого (fh Xh, что [c.231]

Дискретные задачи на сетке построим вариационно-разностным способом с использованием концепции базовой схемы [16-18]. Путем соответствуюш его суммирования значений базовых схем в каждом узле сеточной области о получим дискретные задачи, которые аппроксимируют соответствуюш,ие континуальные задачи. [c.336]

Эта дискретная задача решается методом динамического программирования для всех k=i, п и всех d, I d [c.108]

Дискретные задачи выбора характеризуются наличием конечного исходного множества альтернатив, а шкалы оценок критериев могут быть порядковыми. При этом нет необходимости в явном онределении функциональных зависимостей между альтернативами и шкалами оценок — достаточно располагать механизмами оценок. [c.180]

Дискретность задач технологического проектирования не позволяет использовать традиционные методы оптимизации, основанные на поиске экстремумов одной или нескольких переменных. [c.368]

Предположим, что задачу, поставленную в примере 1 предыдущего параграфа, требуется решить численным методом, ориентированным на вычислительную машину. Рассматривая решение и как множество пар чисел (д-, (д-)) д е [О, 1] , мы видим, что вычислительная машина, которая может оперировать только с конечным множеством чисел, не в состоянии обработать всю информацию, относящуюся к .Следовательно, данную задачу необходимо свести к другой задаче, которая содержит в качестве неизвестных только конечное множество чисел. Эта новая задача, решение которой, вообще говоря, будет только приближением (причем требуется уточнить, в каком смысле) решения исходной задачи, называется дискретной задачей . [c.16]

Метод А. Пусть О = х , Х2,и О, 1 — дискретное (т. е. конечное) множество из й = [0, 1 . Дискретная задача будет состоять в отыскании функции и такой, что и (х,) является приближением для и (хг). Мы ограничимся случаем равномерной сетки Х 1/г, к — = 1/(Л +1). [c.16]

Из тех же соображений матричная формулировка дискретной задачи должна быть рассмотрена до конечноэлементного анализа непрерывных систем. В последующих разделах будут ис-следованы два типа дискретных систем строительные конструкции и транспортные сети. [c.10]

Дадим соответствующее этим примерам общее описание метода, называемого методом узловых конечных элементов. Оно будет фундаментом всей нашей теории. Каждая пробная функция определяется своими узловыми параметрами — неизвестными <7j- дискретной задачи. Каждый такой узловой параметр служит значением в заданном узле Zj либо самой функции, либо одной из ее производных. Таким образом, неизвестные можно представить в виде [c.123]

В этот краткий обзор теории необходимо включить также задачи на собственные значения и задачи с начальными условиями. Метод конечных элементов успешно применяется непосредственно к обеим задачам. Для самосопряженных задач на собственные значения классический прием — вычисление оценок сверху при минимизации отношения Рэлея на подпространстве он приводит к дискретной задаче на собственные значения КО = ХМЯ, где К и М — уже встречавшиеся матрицы жесткости и массы, В гл. 6 излагается эта дискретная формулировка и оцениваются ошибки в собственных векторах и функциях, зависящие от теории приближений они возникают из-за замены [c.138]

Оператор дискретной задачи, совпадающий с нащей мат- [c.149]

Первое нарушается несогласованными элементами в следующем разделе мы покажем, что в этом случае сходимость может быть и может не быть. Совершенно необязательно (и даже не всегда вероятно), что дискретная задача совместима с непрерывной. Наоборот, к пробным функциям применяется кусочное тестирование, которое определяет, согласованно или нет они воспроизводят состояния постоянной деформации. Если да, то процесс сходится внутри каждой элементарной области. [c.203]

С появлением М К легче использовать вариационные доказательства. Задача на собственные значения KQ = XMQ есть в точности аналог непрерывной задачи Lu = ки, решаемой методом конечных элементов, и в гл. 6 мы показываем, что главное собственное значение М К) дискретной задачи всегда не меньше главного собственного значения Ki L) непрерывной задачи. Это и есть нижняя граница, которая не зависит от h. [c.247]

С практической точки зрения это означает, что кусочно полиномиальные функции можно подставить непосредственно в отношение Рэлея в качестве пробных функций. Вычисление этого отношения становится как раз той задачей, которая уже обсуждалась и для выполнения которой к настоящему времени создано множество мощных вычислительных машин. Эта задача представляет собой вычисление матриц жесткости и массы К и М. Следующий шаг, однако, приводит к другой, более трудной вычислительной задаче линейной алгебры вместо решения линейной системы КО = Р надо решить дискретную задачу на собственные значения КО = ХМО- К счастью, сейчас известно, как можно использовать свойства этих двух матриц симметричность, разреженность, положительную определенность матрицы М, для ускорения численного алгоритма. В разд. 6.4 мы рассмотрим несколько эффективных численных методов [c.251]

Если базисные функции ф,- ортонормальны, то матрица массы будет единичной и дискретная задача состоит в отыскании собственных значений матрицы К . Однако условие ортогональности для ф - несовместимо с более важным свойством конечных элементов, а именно с тем, что функция ф, должна равняться нулю на всех элементах, не содержащих узел гj. Поэтому мы должны либо принять = /, либо нарушить идею Рэлея, допустив приближенный расчет масс. Мы предпочитаем первое, поскольку сейчас появляются численные алгоритмы решения общей задачи на собственные значения / Q = ХМО, сравнимые по эффективности с алгоритмами для задачи КО = [c.258]

Принцип минимакса с одинаковым успехом применяется к дискретной задаче (с тем же доказательством), так что приближенные собственные значения можно охарактеризовать формулой [c.259]

Принцип минимакса без изменений распространяется на случай L == Я5ы, где В — положительно определенный оператор отношением Рэлея здесь будет R v)==(Lv,v)/ Bv,v). Мат- рица массы дискретной задачи принимает вид Mju = (Bq>j,(ph). [c.259]

Описание и анализ сходимости смешанного метода конечных элементов для решения бигармонической задачи, основывающиеся на теории двойственности (прежде всего это касается решения соответствующей дискретной задачи гл. 7). [c.8]

Из методов динамического программирования для решения дискретной задачи в общем случае применима вычислительная схема, основанная на полной системе функциональных уравнений, предназначенная для отыскания глобального оптимума. Так же, как и при прямом шереборе, дискретные значения переменных на каждом этапе задаются условиями (П.58), что обеспечивает сходимость к точному решению [32, 48]. [c.262]

Оптимизация структуры процесса и компоновочных схем. В общем случае задача выбора оптимального по концентрации операций варианта схемы построения станочной системы для обработки конкретной детали при заданной программе ее выпуска может рассматриваться как дискретная задача математического программирования, в которой на ряд переменных наложено дополнительное требование целочис-ленности. Так как областью допустимого изменения переменных в рассматриваемой задаче является не множество целых неотрицательных чисел, а некоторое заданное конечное множество, рассматриваемую задачу целесообразно отнести к классу комбинированных задач дискретного программирования. [c.204]

В связи с отсутствием в настояш ее время алгоритмов для решения такого рода дискретных задач в данной работе осуш ествляется направленный перебор, используюш ий основные идеи покоординатного релаксационного спуска с элементами произвольности (случайности) в процессе поиска [39]. Метод покоординатного спуска имеет многие преимуш ества по сравнению с методом сплошного перебора. Количественно перебор в том и другом случаях можно сопоставить как произведение и сумму возможных вариантов [36]. И хотя этот метод в некоторых случаях не приводит к получению абсолютного оптимума, его можно применить для решения самых общих задач оптимизации дискретно изменяющихся переменных. Методу покоординатного спуска, используемому для решения задач с непрерывными переменными, уделяется внимание в работах многих авторов, в том числе в [22, 40, 41]. Различные варианты этого метода иногда называют методами Гаусса — Зейделя, Саусвелла и т. д. [24]. Согласно этому методу спуск из очередной точки производится по направлению одной из координатных осей. Последовательность, в которой выбираются эти оси, может быть различной. Обычно они берутся в фиксированном циклическом порядке (чаще всего просто поочередно). Иногда выбирается та ось, для которой величина д<Мдх максимальна. Этот способ вряд ли целесообразен при большом числе переменных, так как в каждой точке выполняется большой объем вычислений для определения частных производных по всем переменным. [c.25]

Если в функции F непрерывных параметров не осталось, то получаем полностью дискретную задачу. Если непрерывные параметры остались, то получаем смешанную задачу. Для решения обеих задач можно комбинировать методы математического анализа с перебором, с методами дискретного или динамического программирования. Пусть оптимум / достигается при значениях w = iv и т. д., тогда значения остальных параметров находим через их выражения (х у). Если найденные значения х, >>, ... удовлетворяют ограничениям на х, >>,..., то задача параметров решена полностью. В противном случае при некоторых условиях вьшуклости, если х >Хт , во всех условиях х можно заменить на Хт и решить новую задачу с меньшим числом параметров. Часто помогает следующий прием последовательного программирования. Пусть в функции цели F среди параметров имеется хотя бы один непрерывный параметр z. Предположим, что удается при любом значении Z найти оптимум Р по остальным переменным, т. е. Fopt как функцию z [c.312]

Программа движения, реализуемая посредством проектируемых механизмов, может быть задана либо непрерывно - в виде функций, описывающих требуемые изменения всех обобщенных координат объекта, либо дискретно - в виде заданной последовательности конечно-удаленных положений объекта, аппроксимирующих требуемое движение. Соответственно различают непрерывные и дискретные задачи кинематического синтеза механизмов. В ряде случаев для сведения непрерывной задачи к дискретной заданное непрерывное движение дискретизируется. [c.432]

Дискретная задача оптимального проектирования возникает и непосредственно при наличии заготовок-листов заранее заданной толщины, из которых надо набрать многослойную пластину. Каждую заготовку можно считать материалом (даже если они и одинаковы) и ввести двоичные переменные для характеристики присутствия этой заготовки в оптимальной пластине. С помощью этих переменных задача оптимального проектирования многослойной панели сводится к дискретной задаче дробно-линейно-го программирования, которая решена одной из разновидностей методов частичного перебора — гибкой процедурой преребора с правилом Балаша [175-181]. [c.247]

Для решения дискретных задач используются известные в теории разностных схем прямые и итерационные методы для задачи определения напряженно-деформированного состояния — метод сопряженных градиентов и метод Холецкого [13], для задачи устойчивости — метод градиентного спуска и метод итерирования подпространств [11, 12, 18]. [c.337]

Анализ результатов расчетов. По описанной методике выполнены расчеты для композитного материала, армированного двумя волокнами конечных размеров. С целью повышения скорости сходимости вычислительных процессов и повышения точности полученных результатов расчетов решение дискретных задач выполнялось комбинированным способом на последовательности сгущаемых сеток. Указанный способ решения дискретных задач заключается в следующем сначала в расчетной области вводится сетка с минимальным количеством узлов, которая позволяет получить качественную картину решения затем выполняется решение дискретной задачи прямым методом (метод Холецкого, метод итерирования подпространств) далее выполняется уплотнение сетки по каждому из направлений с последующей интерполяцией полученных результатов решения в дальнейшем решение дискретной задачи выполняется градиентным методом (метод сопряженных градиентов, метод градиентного спуска), для которого в качестве начального приближения используется решение, полученное на предыдущем этапе. Сходимость градиентных методов, являющихся методами вариационного типа, сильно зависит от качества начального приближения. Поскольку, прямые методы на небольшой сетке позволяют быстро и точно получить качественную картину решения дискретной задачи, указанный комбинированный способ позволяет в несколько раз (по сравнению с традиционными процедурами реализации расчетов) снизить время, необходимое для получения решения задач, повысить точность полученных результатов, а также снизить требования к вычислительным ресурсам. [c.337]

Такое качество расчетов похоже па фокус, по объясняется довольно просто. Дело в том, что точное поле скорости в эйлеровых координатах для этой задачи липейпо и полностью определяется одной функцией a t). Если в (33) оставить только одну базисную функцию VI, то решение дискретной задачи также будет определяться одной функцией Ь (t) — коэффициентом разложения и в (16). В этом случае точное решение (bi t) = a t)) можно получить с помогцью всего одной частицы, номегценной нри t = О на биссектрису квадранта. Т.е. одной этой функции уже хватает для решения задачи. Однако, любое симметричное начальное эаснределение частиц, скажем внутри квадрата (рис. 3, левый), нри одной базисной функции vi дает то же ноле скоростей, что ИВС случае круга, т.е. простую линейную деформацию области. Ясно, что такое решение является слишком грубым первым [c.161]

Ниже устанавливается довольно простое правило отбора, основанное на принципе причинности [8], или принципе предельной амплитуды [13], пригодное как для непрерывных, так и для дискретных задач, стационарных (в указанном выше смысле) в движущейся системе координат [93, 102]. В соответствии с упомянутым принципом единственность стационарной задачи достигается введением условия решение стационарной задачи является пределом (i - >, It] < onst < ) решения той же, но нестационарной задачи с нулевыми начальными условиями. [c.243]

Лемма и теорема не ограничиваются только численными квадратурами. Они также применимы к изменению коэффициентов исходного дифференциального уравнения. Другими словами, они описывают способ зависимости решения как непрерывной, так и дискретной задач от коэффициентов и неоднородного члена. Рассмотрим одномерную задачу — pu ) - -qu = и предположим, что р, q я f заменены на р, и /. Тогда тождество, примененное ко всему пространству вместо подпростран- [c.220]

В разд. 2.4 определяются с.ходимость н порядок сходимости для се.мейстиа дискретных задач. При этом решающее значение имеет лемма ea Ошибка и — т. е. расстояние (измеряемое в норме пространства V) между решением и исходной задачи и решением дискретной задачи (с точностью до постоянной, не зависящей от пространства Vf,) ограничена сверху расстоянием inf fu—Vf ] между функцией и и подпросгранством У ,. Факти- [c.47]

Как вывод из этих общих рассмотрений терминологию конформных методов конечных элементов сохраним для методов конечных элементов, описанных в начале этого раздела, т. е. методов, для которых —подпространство пространства У, а билинейная и линейная формы дискретной задачи совпадают с соотвеютвующими формами исходной задачи. [c.52]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...