Функционал вариационный

Подчеркнём ещё раз, что уравнение энергии даёт ограничение в дифференциальной форме (31) и приводит к дифференциальному равенству (35), в котором фигурирует элементарное действие. Для действия как функционала вариационной задачи функцию энергии можно использовать также в изопараметрическом ограничении вида [c.55]

В этом случае при вариационной формулировке задачи минимизации подлежит функционал [c.40]

Такой подход был предложен Никольским [1]. В его работе предлагается постановка вариационной задачи для функций на контрольном контуре, состоящем из двух характеристик уравнений газовой динамики разных семейств. В этом случае функционал, выражающий сопротивление тела и некоторые дополнительные условия, выписывается явно. После определения функций на контрольном контуре остается решить задачу Гурса с известными функциями на характеристиках. Никольский [1] решил вариационную задачу об оптимальной форме тела вращения на основе линеаризованных уравнений газовой динамики, однако, основная идея этой работы применима и к точным уравнениям. [c.45]

Формула (2.2) позволяет поставить, например, следующую вариационную задачу. Для заданных величин Ха, R xa), хь, R(xь) найти непрерывную функцию Д(а ), реализующую минимум функционала х при связи (2.3). Рещение этой задачи дает оптимальный профиль аЬ при фиксированном положении его концевых точек. [c.64]

Вариационная задача, связанная с функционалом (3.1), снова является вырожденной. Попытка отыскания двустороннего экстремума опять приводит к неразрешимости задачи. Поэтому решение будем отыскивать (рис. 3.14) в виде аналогичном рассмотренному в 3.2.4. Функционал Г перепишем в виде [c.89]

Для постановки вариационной задачи об отыскании тела с максимальным сопротивлением необходимо, помимо функционала (7.2) и условия (7.3), привлечь дифференциальные уравнения газовой динамики, соотнощения на допустимых разрывах и граничные условия задачи. Такая полная задача здесь не рассматривается. [c.169]

Возникает следующая вариационная задача. Необходимо найти функции /(х), и х), и х), 1р х), реализующие максимум функционала (7.2) при условиях (7.3)-(7 5) и заданных величинах Шоо, X, [c.169]

Задача оптимального проектирования, сформулированная выше, относится к наиболее общим и сложным типам вариационных задач, которые рассматриваются в теории оптимальных процессов [56]. Это обусловлено тем, что часть аргументов целевого функционала зависит от времени, а другая часть неизменна во времени. Обычно для решения подобных задач предлагается исходную формулировку преобразовать к формулировке чистых вариационных задач, у которых все аргументы являются функциями времени. Для этого необходимо векторы Z и К рассматривать в качестве новых векторов-функций времени, производные которых по времени тождественно равны нулю. Это увеличивает размерность и объем задачи и создает дополнительные трудности для применения вариационных методов решения. [c.72]

Задача Б представлена в форме общих задач вариационного исчисления. В зависимости от вида функционала Яо и компонентов вектор-функционала Н задачи вариационного исчисления имеют различные формы и различные методы их решения [60]. Выбор той или иной формы задачи во всех случаях обусловлен удобством и эффективностью решения. Методы решения вариационных задач делятся на две большие группы аналитические и прямые (численные). [c.76]

С вариационной точки зрения выполнение, например (4.14) равносильно минимизации интегрального функционала [c.113]

В вариационном исчислении устанавливается следующая теорема, определяющая необходимые условия стационарности функционала. [c.274]

В этом параграфе вариационный подход к задаче механики и, в частности, полученная в 4 общая формула для вариации функционала будут использованы для того, чтобы установить связь между законами сохранения, которые были получены в предыдущих главах, и общими свойствами пространства и времени, которые находят свое выражение в инвариантности законов механики относительно преобразований систем отсчета. Установление этой связи позволит понять внутреннюю природу законов сохранения и причины, по которым эти законы существуют. Такое понимание особенно важно, ибо оно иногда позволяет предвидеть первые интегралы и тем самым облегчить исследование уравнений, описывающих движение. [c.286]

Будем теперь искать такую кривую, двигаясь по которой точка пройдет путь АВ в кратчайшее время аналитически эта задача сводится к нахождению такой функции z(x), которая обращала бы функционал (43) в минимум. Кривая, обладающая таким свойством, называется брахистохроной (от греческих слов рра што —кратчайший и xP vo —время). Задача о брахистохроне была впервые поставлена и решена в 1696 г. Иоганном Бернулли, который тем самым положил начало вариационному исчислению — отделу анализа, посвященному нахождению экстремумов функционалов. [c.416]

В теории упругости большинство задач сводится к решению дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями. Их решение часто связано с большими математическими трудностями. Обойти эти трудности позволяют прямые вариационные методы. Вместо того, чтобы решать основные дифференциальные уравнения теории упругости, ставится задача об определении искомых функций Ui, Zij, ац, удовлетворяющих граничным условиям и минимизирующих некоторый функционал Ф(щ, гц. оц). например полную потенциальную энергию П или дополнительную энергию П. [c.127]

Найденное выражение Т — функционал ). Задача заключается в определении такой кривой, соединяющей точки А и В, чтобы функционал (Ь ) имел минимум при произвольных Хо и Хх. Эта задача решается посредством применения общих методов вариационного исчисления. Мы решим ее менее строго, применив элементарные методы. [c.439]

Заметим, что при приближенном решении задач (2.425) и минимизации функционала (2.427) второму из условий удовлетворять не обязательно если эти задачи решены точно, то, как только что установлено, второе из условий (2.422) удовлетворяется автоматически. Условия такого типа в вариационном исчислении называются естественными. Условия типа (2.405), которые необ- [c.113]

Из теоремы II. 1 приложения II следует существование и единственность решения задачи (2.463) — (2.464) в Ю Q,), из теоремы И.2 —ее эквивалентность задаче минимизации функционала (2.461) на V = /7 (Q), из теоремы 11.3 —задаче решения вариационного уравнения (2.462) на Н 0.). [c.118]

Используя теорему II.3 приложения II, заключаем, что для линейно-упругого материала решение вариационного неравенства (5.343) эквивалентно задаче минимизации функционала [c.288]

Первый интеграл уравнения равновесия (т. е. уравнения Эйлера вариационной задачи о минимуме функционала (38,4)) [c.202]

Методы классического вариационного исчисления позволяют определять экстремумы функционала вида [c.223]

Другой подход к определению оптимального управления дает метод динамического программирования. При этом используется дискретная форма вариационной задачи и функционал (6.22) заменяется суммой [c.224]

Решение. Уравнение (1) является решением вариационной задачи для функционала [c.268]

Методы решения двух последних групп являются приближенны ми лишь условно, так как с их помош,ью можно достигнуть любой точности результатов, если решение допускает уточнение в виде учета последующих членов разложения какой-либо величины или построено в форме последовательных приближений, или связано с малым интервалом при определении значения исследуемой функции. Вариационные методы могут оказаться и точными, если уравнения Эйлера—Лагранжа при исследовании экстремума функционала (например, Э) допускают точное решение или задача имеет конечное число степеней свободы (см. задачу 1.5). [c.9]

Имеем вариационную задачу на условный экстремум, поэтому рассмотрим вместо (4.204) функционал вида [c.178]

Оказывается, задачу определения функций а, е я и, характеризующих это состояние, можно свести к определенному интегралу того или иного вида от этих функций, называемому функционалом, а сами функции, отражающие действительное состояние тела, найти из условия экстремума этого функционала. Математический аппарат такого подхода изучается в разделе математики, называемом вариационным исчислением. Поэтому положения, формулирующие свойства таких функционалов в теории упругости, получили название вариационных принципов. [c.49]

Второй характерный случай применения вариационного подхода — это получение дифференциальных уравнений и граничных условий рассматриваемой задачи как уравнений Эйлера соответствующего функционала. Такой путь оказывается оправданным для тел сложной формы и структуры (например, многослойные оболочки и др.), а также при переходе от одной системы координат к другой (от декартовой системы к полярной, криволинейной и другим системам). [c.57]

В вариационно-разностном методе интегрирование в (8.27) выполняют по приближенной формуле прямоугольников, заменяя кривые и" т V ступенчатыми линиями (рис. 8.26). Это преобразует функционал (8.27) в сумму [c.248]

Таким образом, можно сформулировать вариационный принцип Лагранжа применительно к вязкоупругим телам среди всех возможных полей перемещений вязкоупругого тела, согласованных с геометрическими граничными условиями, истинными являются те, при которых функционал Э принимает минимальное значение. [c.356]

Как известно, многие законы механики, в частности механики сплошной среды, наряду с описанием их ди( еренциальными уравнениями сводятся к утверждению, что некоторый функционал в рассматриваемом процессе должен достигать экстремума. В такой формулировке эти законы называются вариационными принципами механики. Задачи, в которых требуется исследовать функционал на экстремум, называются вариационными задачами. [c.96]

В вариационном исчислении доказывается 1491, что функция и (х), реализующая экстремум функционала, должна удовлетворять определенному дифференциальному уравнению. Например, для функционала (5.26) условие экстремума 8J =>0 будет выполнено, если функция и (х) удовлетворяет дифференциальному уравнению [c.96]

Краткие сведения некоторых основных понятий вариационного исчисления приведены с целью напомнить, что решение вариационной задачи эквивалентно решению граничной задачи д.ля дифференциального уравнения, которое является уравнением Эйлера или уравнением Эйлера—Остроградского для данного функционала. [c.97]

Если некоторые условия стационарности полного функционала Э считать выполняющимися заранее, то получим частные вариационные принципы теории упругости. Так, принимая, что заранее выполняются соотношения между Oij и Вц и учитывая соотношение (3.26). [c.107]

В практически важном случае обтекания некоторого конечного тела соответствующие интегралы расходятся. Эту трудность, как было показано рядом авторов (Ванг ), Шифман 2), Лаш и Черри), можно обойти, изменив соответствующим образом подинтегральные функции. Например, функционал вариационной задачи Бейтмена — Кельвина (при отсутствии циркуляции) можно записать в виде [c.148]

Рассматривается движение динамических систем, описываемых уравнениями Гамильтона, при действии обобщённых ударных сил, мгновенные ударные импульсы которых имеют потенциал. В этом случае уравнения движения определяются из условия стационарности функционала вариационной задачи Больца [127], где интегральная часть является действием по Гамильтону. Показано, что при потенциальности ударных импульсов имеет место интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Обсуждается применение полученных результатов к исследованию натуральных систем с разрывами обобщённых импульсов, происходящими в результате мгновенного изменения обобщённого потенциала. [c.132]

Иногда математические модели объектов на микроуровне уже в своем исходном виде могут быть представлены в вариационной формулировке, т. е. в виде задачи минимизации функционала. Типичным примером таких моделей служат модели, описывающие статические напряженно-деформированные состояния деталей. В этих моделях в качестве минимизируемого функционала используетсй выражение полной потенциальной энергии (4.15) [c.164]

Получение решения методом конечных элементов связано с приближенной шаишзацией функционала, который определяется как интеграл от неизвестных величин в узловых точках во всей области. Вариационная формулировка задачи (I) - (4) связана с рассмотрением функционала [c.134]

Совершенно иной подход к постановке вариационных задач газовой динамики предложил в 1950 г. Никольский [1]. Решая вариационную задачу для осесиммефичных течений в линейной постановке, Никольский вводит конфольный контур из характеристик первого и второго семейств, проходящих, соответственно, через переднюю и заднюю точки искомого контура. При этом характеристика первого семейства полностью известна, а вариационная задача ставится для функций на характеристике второго семейства. Сама вариационная задача оказывается одномерной, а исследуемый функционал относится к хорошо изученному типу. После определения искомых функций на характеристике второго семейства течение около искомого контура находится решением задачи Гурса. Искомый контур является линией тока найденного течения. Таким образом, подход Никольского избавляет от необходимости предварительного решения задачи обтекания произвольного контура и приводит лишь к необходимости решения конкретной задачи Гурса. [c.65]

Подзадача, соответствующая уравнению (3.53), требует оптимизации динамических процессов за счет выбора Y(/) при фиксированных коэффициентах и начальных условиях уравнений динамики. В этом случае общая задача А оптимального проектирования преобразуется в классическую вариационную задачу с закрепленными концами (назовем ее задачей Б), а именно максимизировать (минимизировать) функционал Яо[Х(/), Y(0] по аргументу У (О так, чтобы удовлетворить условиям. XeD, YeDy, в которых множества D, Dy образуются выражениями типа [c.74]

Вариационный принцип Мопертюи — Лагранжа. Рассмотрим теперь координатное пространство q и будем считать, что ось в этом пространстве играет такую же роль, какую в общем случае в расширенном координатном пространстве играла ось времени. В этом пространстве выберем дне точки и проведем между ними прямой путь, соответствующий уравнениям Якоби для рассматриваемой консервативной (обобщенно консервативной) системы. На этом пути /y = /i = onst. Проведем между этнми же точками однопараметрический пучок окольных путей, расположенных в изоэнергетическом подпространстве , т. е. таких, что вдоль них тоже Я = Л. В качестве функционала на этом пучке возьмем интеграл [c.330]

КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МЕТОД - вариационный сеточный метод, являющийся,в свою очередь, проекционным методом при специальных координатных функциях. Область определения искомой функции в КЭМ разбивают на конечные элементы треугольники, четырехугольники, тетраэдры и т.п. Внутри каждого элемента задаются функции формы,произвольные функции с числом параметров, равным произведению чиспа узлов элемента на число условий в этих узлах. В качестве координатных функций применяют функции, тождественно равные нулю всюду, кроме одного конечного элемента, внутри которого они совпадают с функциями формы. В КЭМ решение дифференциальных уравнений сводится к минимизации функционала, вследствие чего этот метод является вариационным. С другой стороны, КЭМ, является сеточным методом, т.к. исследуемую область разбивают на подобласти, образуя сетку. Повышенная точность схем КЭМ обусловлена добавлением не только узлов, расположенных на границах элементов, но и внутренних узлов. [c.30]

Как известно, постановка задачи в перемещениях не является единственно возможной. В ряде случаев более целесообразным является использование постановки задачи в напряжениях. Краевая задача для соответствующей системы дифференциальных уравнений здесь использована не будет, а будет произведен переход сразу к вариационной постановке — минимизации (максимизации) соответствующего функционала с помощью применения преобразования Фридрихса [17] к получепным ранее проблемам минимизации функционалов вида [c.202]

Нетрудно сформулировать ограничения, при которых формы L v) и а (и, V) будут непрерывными на V. Можно проверить, что множество К, определенное по формуле (5.366), выпукло в V замкнутость этого множества вытекает из теоремы Лионса о следах. Таким образом, имеет место теорема, вытекающая из результатов II.3 приложения II и 5.5 решение вариационного неравенства (5.372) эквивалентно проблеме минимизации функционала [c.294]

Предполагая поверхностную плотность работы разрушения у постоянной, а длину трещины, на которой определен функционал, заданной, занишем вариационное условие для плоской задачи в виде (см. (4.10)) [c.197]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Условие стационарности функционала 65 = О формулирует континуальную вариационную задачу с бесконечным числом компонент перемещений, определяющих разыскиваемые функции-экстремали. Идея метода, предложенного еще в начале века немецким ученым Ритцем, состоит в том, чтобы от континуальной формулировки перейти к дискретной, когда функционал Э = Э и, v, w), заменяется функцией Э = Э а ) (г = 1, 2,. . ., п), зависящей от конечного числа аргументов После этого задача определения экстремалей функционала перейдет в стандартную задачу исследования указанной функции дискретного числа аргументов на экстремум. Другими словами, от континуальной задачи с бесконечным числом степеней свободы в отношении формы деформирования тела мы переходим к задаче для системы с конечным числолг степеней свободы. [c.58]

Так как б Л (а,у) = Л (бст у) > О, приходим к следующему выводу, называемому принципом минимума дополнительной работы или вариационным принципом Каетильяно из всех статически возможных напряженных состояний тела при заданных внешних силах в действительности реали-вуется та напряженное состояние, для которого функционал Ч над тензором напряжений (о ), называемый дополнительной работой, имеет минимум. [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...