Задача вариационная (задача

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

В статье показано, что при некоторых допущениях отыскание оптимальных управлений сводится к решению известных задач вариационного исчисления, Трудности чис.ленного решения этих задач делают актуальной проблему разработки методов управления, более простых для вычисления и в то же время близких (по значениям функционала качества) к оптимальным. Этот вопрос подробно исследуется в статье на примере так называемого идеального манипулятора — простейшего плоского трехзвенного механизма с избыточностью. Для такой системы получены точные решения, что позволило сравнить эффективность оптимальных п приближенных управлений для различных двигательных задач. [c.27]

Неопределённые множители в изопериметрических задачах. Вариационные задачи со связями в виде постоянных значений функционалов называются изопериметрическими. Правило множителей в этих задачах состоит в том, что для исследования на безусловный экстремум составляется функционал, в подынтегральное выражение которого включаются подынтегральные выражения функционалов связей с постоянными множителями. Неопределённые множители в изопериметрических задачах являются константами [127. [c.84]

Сформулируем вариационную задачу об определении режима максимальной дальности горизонтального полета. Среди класса функций /=/(и) требуется определить такую, чтобы она давала максимальное значение интегралу (17). Из аналитической структуры (17) ясно, что нахождение /=/(и) является простейшей задачей вариационного исчисления. [c.211]

С формальной точки зрения принцип стационарного действия в форме (10.2) совпадает с задачей вариационного исчисления. Однако, имея внешнее сходство, они различаются по существу, а именно в механике под символом б понимают виртуальную вариацию, т. е. не произвольное бесконечно малое изменение, а смещение, совместимое со связями, наложенными на систему. Отсюда следует, что лишь для голономной системы, число степеней свободы которой совпадает с числом обобщенных координат, виртуальные вариации являются произвольными и принцип стационарного действия (10.2) полностью совпадает] с соответствующей задачей вариационного исчисления. Существенное различие возникает для систем с неголономными связями, когда вариации обобщенных координат связаны дополнительными соотношениями [c.178]

Численные методы построения оптимальных решений. Как уже отмечалось, в подавляющем большинстве случаев исследование проблемы оптимизации приводит к необходимости решения сложных вариационных задач, что невозможно без использования эффективных численных методов. В связи с этим в задачах механики полета находят широкое приложение существующие численные методы и, с другой стороны, при решении специфичных задач разрабатываются новые численные методы. Методы численного решения вариационных задач разделяются на прямые и непрямые. Основу первых составляют различные итерационное процессы последовательного уменьшения (увеличения) функционала для применения непрямых методов вариационная проблема предварительно сводится к краевой задаче для системы дифференциальных уравнений. Ограничимся перечислением тех методов, которые наиболее часто используются в задачах механики полета [c.285]

В механике сплошной среды ранее других стали развиваться вариационные методы в теории упругости, в частности в задачах равновесия упругого тела, после того, как В, Ритц опубликовал в 1908 г. свой метод приближенного решения вариационной задачи. Пожалуй, только с середины прошлого века стали разрабатываться вариационные методы в гидромеханике. Весьма интересна вариационная формулировка уравнения баланса и использование ее в задачах термодинамики и задачах переноса, в том числе в задачах [c.439]

Вариационные принципы Законы сохранения Вариационные задачи Вязкие течения [c.1]

Иначе дело обстоит с решением вариационных задач газовой динамики и с точными решениями уравнений Навье—Стокса. Эти результаты своеобразно и тесно переплетены с численными и экспериментальными исследованиями. Решение краевых задач при оптимизации формы тел в сверхзвуковом потоке газа первоначально проводилось численно, итерационным путем. Обращение в нуль одной из рассчитываемых функций подсказало путь аналитического решения и открыло путь к исследованию необходимых условий минимума и к получению новых решений. При использовании этих результатов для практики в потоках внутри сопел рассчитывался пограничный слой, а результирующая сила тяги была проверена на специальной опытной установке. Расхождение между расчетной силой тяги и ее экспериментальной величиной не превысило 0,1%. [c.5]

Рассматриваемые здесь вариационные задачи заключаются в определении формы тел, обладающих минимальным волновым сопротивлением в плоскопараллельном или осесимметричном сверхзвуковом потоке газа, и контуров сопел, реализующих максимальную силу тяги при некоторых ограничениях. Силы, действующие на тела при течениях невязкого газа, определяются давлением на стенки. Величина давления находится из рещения граничных задач для нелинейных уравнений газовой динамики. Такие задачи в настоящее время решаются численно. Нахождение решения вариационных задач со связями в виде уравнений с частными производными приводит к сложным численным процессам. О таком прямом подходе к оптимизации формы тел будет сказано в послесловии к этой главе. Здесь будет рассмотрен подход, который в плоскопараллельном и осесимметричном случаях допускает точную одномерную постановку ряда вариационных задач и их простое решение. [c.45]

Такой подход был предложен Никольским [1]. В его работе предлагается постановка вариационной задачи для функций на контрольном контуре, состоящем из двух характеристик уравнений газовой динамики разных семейств. В этом случае функционал, выражающий сопротивление тела и некоторые дополнительные условия, выписывается явно. После определения функций на контрольном контуре остается решить задачу Гурса с известными функциями на характеристиках. Никольский [1] решил вариационную задачу об оптимальной форме тела вращения на основе линеаризованных уравнений газовой динамики, однако, основная идея этой работы применима и к точным уравнениям. [c.45]

В большинстве случаев вариационные задачи механики оказываются вырожденными. Это приводит к тому, что их решение частично или полностью совпадает с границами области допустимых функций. Метод решения таких задач был разработан и опубликован в ряде статей Охоцимским. Первой из них была работа [2]. [c.45]

Глава 3. Вариационные задачи газовой динамики [c.46]

Вариационные задачи для безударных течений [c.63]

Формула (2.2) позволяет поставить, например, следующую вариационную задачу. Для заданных величин Ха, R xa), хь, R(xь) найти непрерывную функцию Д(а ), реализующую минимум функционала х при связи (2.3). Рещение этой задачи дает оптимальный профиль аЬ при фиксированном положении его концевых точек. [c.64]

Именно такой подход будет использован здесь для решения вариационных задач газовой динамики в точной постановке. [c.65]

С формальной точки зрения задача нахождення минимума определенного интеграла является собственно задачей вариационного исчисления, в то время как задача нахождения минимума функции принадлежит к обычному анализу. Исторически эти две проблемы возникли одновременно и четкого разграничения между ними не было вплоть до Лагранжа, развившего технику вариационного исчисления. Знаменитая задача Дидоны, хорошо известная геометрам древности, была вариационной задачей, требовавшей нахождения минимума некоторого интеграла. Герон Александрийский вывел закон отражения, исходя из того, что луч света, выходящий из точки А и приходящий в точку В после отражения от зеркала, достигает цели в кратчайшее время. Ферма применил этот принцип для получения законов преломления. Все эти задачи решались геометрическими методами. Задача о брахистохроне (кривой быстрейшего спуска) была предложена Иоганном Бернулли и решена независимо им самим, Ньютоном и Лейбницем. Основные дифферен- [c.57]

Принцип возможных перемещений можно использовать для решения как статических, так и динамических задач. Вариационные принципы, которые приводятся в этом разделе, можно использовать для решения только квазистатических задач (вследствие того, что инерционные силы зависят от скоростей перемещений, их нельзя ввести в функционал). В нелинейной теории упругости вариационные принципы обычно формулируются относительно полей перемещений, деформаций и напряжений (например, Ху — Васидзу, Хеллингера — Рейсснера, стационарности полной потенциальной энергии и др.). Рассмотрим некоторые вариационные принципы, сформулированные относительно полей скоростей перемещений, деформаций и напряжений, которые справедливы для упругих и неупругих тел. [c.112]

В [28] при получении в рамках ОММЛ в вариационных задачах неравновесной и равновесной сверхзвуковой газовой динамики впервые были введены разрывы множителей Лагранжа (МЛ), вводящих в задачу уравнения течения. Было показано, что при непрерывных параметрах течения линиями разрыва МЛ могут быть и С -характеристики и линии тока, т.е. характеристики всех трех семейств уравнений течения. Кроме того, были получены конечные и дифференциальные условия для скачков МЛ на линиях их разрыва и выявлена одна из возможных причин их появления - изломы исследуемых на оптимальность контуров. Как и почему так получается, читатель узнает из Главы 4.15. Отметим, что в [28] разрывы МЛ были введены раньше, чем для вариационных задач, описываемых уравнениями гиперболического типа, это сделали математики - специалисты по [c.365]

Установившаяся ползучесть скрученного бруса, поперечное сечение которого круглое, тонкостенный замкнутый профиль, тонкостенный открытый профиль, прямоугольное рассмотрено в книгах Л. М. Качанова [63], С. Д. Пономарева и др. [120], Ю. Н. Работнова [132]. За исключением последнего случая (прямоугольное сечение) задачи решены в замкнутом виде. Для бруса прямоугольного поперечного сечения в работе [63] приведено решение задачи вариационным методом на основе принципа минимума дополнительного рассеивания, а в работе [120] — методом Бубнова — Г алеркина. Приближенное значение жесткости для такого бруса в условиях ползучести дано в заметке П. Я- Богуславского [12]. Ряд задач установившейся ползучести скрученных призматических стержней решен в статье Пателя, Венкатрамна и Ходжа [117]. Авторы нашли верхние и нижние границы функций энергии и показали возможность получения двусторонних оценок угловой скорости при заданном моменте. При п = 3 разница между верхней и нижней границами состав- [c.229]

Вариационные принципы, порождающие системы уравнений пщро-динамики, используются как при исследовании задач математической физики, так и для построения численных методов решения таких задач. Этапы создания принципов отражены в публикациях [1-20] и в цитированных в них работах. Усилия в этой области направлены, с одной стороны, на построение интегральных функционалов, аккумулирующих в себе уравнения конкретных задач, а с другой стороны, — на достижение общности вариационных принципов. [c.7]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

При решении вариационных задач газовой динамики необходимо знать предельные (определяемые граничными условиями) свойства сверхзвуковых течений. Исследование таких свойств для осесимметричных течений разреженияпроведено в ft3f, а для течений сжатия — в [14]. [c.46]

Отсутствие азимутальной составляющей вектора скорости в рассмотренных вариационных задачах при осевой симметрии является ограничением, которое может, например, снизить силу тяти оптимального сопла. В работах [19, 20] на примере присутствия потенциальной закрутки потока вокруг оси симметрии выведены необходимые условия экстремума и продемонстрировано увеличение силы тяги. Дальнейшие исследования в этом направлении проведены Гудерлеем, Табаком, Брей-тером и Бхутани [21]. Систематическое сравнение оптимальных сопел этого типа выполнено Тилляевой [22]. [c.47]

Совершенно иной подход к постановке вариационных задач газовой динамики предложил в 1950 г. Никольский [1]. Решая вариационную задачу для осесиммефичных течений в линейной постановке, Никольский вводит конфольный контур из характеристик первого и второго семейств, проходящих, соответственно, через переднюю и заднюю точки искомого контура. При этом характеристика первого семейства полностью известна, а вариационная задача ставится для функций на характеристике второго семейства. Сама вариационная задача оказывается одномерной, а исследуемый функционал относится к хорошо изученному типу. После определения искомых функций на характеристике второго семейства течение около искомого контура находится решением задачи Гурса. Искомый контур является линией тока найденного течения. Таким образом, подход Никольского избавляет от необходимости предварительного решения задачи обтекания произвольного контура и приводит лишь к необходимости решения конкретной задачи Гурса. [c.65]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...