Исходные уравнения и их преобразования

Исходные уравнения и их преобразования. [c.260]

Рассмотрим общую схему применения численного метода сеток к расчету плоского неустановившегося течения вязкой несжимаемой жидкости. В качестве исходных можно использовать как уравнения (5.10) Навье—Стокса в проекциях, так и их преобразованную форму [(8.4) и (8.5)] для плоских течений. Уравнения (8.4) и (8.5) обладают тем преимуществом, что не содержат давления и имеют две искомые функции гр и 2. Для построения численного метода уравнение (8.5) переноса вихря удобно использовать в консервативной или дивергентной форме [c.318]

Непосредственно видно, что преобразование любого из перечисленных выше четырех типов не меняет ни вида этих уравнений, ни вида функций f ([ /"i — / 21) и (/ 1 — /"г) /1 i — г . содержащихся в их правых частях. Для того чтобы получить результат преобразования, нужно всюду в исходных уравнениях просто приписать звездочки к старым переменным Г], Гг и t. [c.46]

Тогда после подстановки ряда с достаточно большим числом членов в исходное уравнение принципиально возможно, произведя соответствующие тригонометрические преобразования, получить систему алгебраических уравнений для отыскания коэффициентов йп и Ьп- Таким путем в принципе можно находить значения а и и определять их зависимость от параметров системы и характера воздействующей силы, которая может быть представлена в виде ряда Фурье с компонентами частоты р, 2р, Зр,. .. [c.99]

Запись уравнений, устанавливающих преобразование входных переменных х , Х2,. -,х и У1,У2, Ур выходные г , 2а,. . ., 2 в виде соотношений (9.1), и их дальнейшее использование усложняют математические выкладки и делают более вероятным появление ошибок при решении практических задач. Поэтому от такой записи перейдем к матричной форме, являюш,ейся более удобной и компактной. Применение матричных методов в целом ряде случаев облегчает исследование точности технологических процессов со многими входными и выходными переменными, существенно упрощает и систематизирует операции по преобразованию и решению исходных уравнений, а также сокращает объем записи и делает результаты более обозримыми. [c.263]

Как следует из приведенных примеров, в прикладных исследованиях разработка приближенных методов решения нелинейных задач статистической динамики шла в основном по пути преобразования исходных уравнений с целью приведения их к линейному или квазилинейному виду. Между тем, основная проблема заключается в изучении характера распределений неизвестных функций, в определении хотя бы приближенного вида плотностей вероятности и соответствующих соотношений для старших моментных функций. Эти вопросы для определенного класса задач решаются при помощи приближенных методов, осно- [c.37]

Вводя в рассмотрение преобразованные по Фурье потенциалы Ф (I, г) и йу (I, г), из исходных уравнений (1. в) главы 2 для их определения получаем [c.88]

Как было указано выше ( 5.1), уравнение (9.1) может быть сведено к эквивалентному изотропному виду (с коэффициентом диффузии С) путем выбора направления осей у i вдоль главных осей тензора J и подходящего геометрического масштабирования задачи. Кроме того, всегда полезно представить исходное уравнение в безразмерной форме, позволяющей помимо большей общности решения выбрать диапазон изменения безразмерных переменных таким образом, чтобы улучшить обусловленность различных матриц за счет сужения диапазона значений их элементов. В данном случае мы будем использовать, скажем, р = Я/Яд (Я — произвольное значение Я) и разделим наши преобразованные координаты на некоторый характерный размер L, так что в результате они перейдут в безразмерные координаты л ,. Тогда безразмерное время находится как t = t/L . Теперь наши обозначения соответствуют использованным в главах, посвященных стационарным течениям, и уравнение (9.1) можно переписать в виде [c.246]

Так как операция проекционного преобразования не изменяет свойств исходных уравнений, уточненные уравнения динамики оболочки (1.84) сохранили гиперболичность исходных соотношений динамики упругого тела. Это свойство позволяет использовать их для исследования явлений образования, распространения и отражения бегущих изгибных волп в оболочке. [c.109]

Подходы к формализации получения математических моделей систем. Исходные данные для получения математической модели конкретной системы — библиотека ММЭ и структура системы. Структура системы задается в виде схемы или списка элементов и их взаимосвязей. Если для некоторых типов элементов в библиотеке отсутствуют математические модели, то от пользователя требуется их разработка и описание на входном языке с возможным занесением в библиотеку ММЭ. Преобразования этих исходных данных в систему уравнений, уравнений —в алгоритмическую форму и далее в рабочую программу анализа в развитых САПР, как правило, формализованы и выполняются на ЭВМ автоматически. [c.26]

Сходимость итерационных схем численного обращения оптических измерений в методе касательного зондирования определяется несколькими факторами, среди которых наиболее существенными являются аналитическая структура исходных уравнений (например, характер их нелинейности) и свойства операторов теории светорассеяния дисперсной компонентой атмосферы. Последнее в большей мере относится к численному преобразованию t->J, т. е. к системе (3.39), связанной с каждым элементарным слоем. Заметим, что особое внимание к анализу сходимости схем обращения данных в методах зондирования обусловлено не только необходимостью обоснования математической корректности предлагаемых алгоритмов, но и тем обстоятельством, что во многих случаях ее нарушение указывает на неприемлемость исходных аналитических моделей (то же самое физических предположений) для соответствующего эксперимента. Иными словами, можно утверждать, что мера соответствия априорной информации, используемой в построении схем обращения, проявляет себя в скорости их сходимости, или тоже в качестве последовательности приближенных решений, генерируемых этими схемами. Эта особенность итерационных методов делает их эффективным средством не только в получении решений, но и анализе задач в целом. Изложение этих аспектов можно найти в монографии [19 . [c.167]

Таким образом, уравнение (4.11) имеет стандартную форму задачи на собственные значения с симметричной, положительно определенной матрицей коэффициентов. Очевидно, что это преобразованное уравнение имеет те же собственные значения Я , что и исходное уравнение (4.9). Однако собственные векторы Хщ и Хм не являются тождественными. Найдя выражения собственных векторов Хцг в обобщенных координатах, можно затем преобразовать их, выразив через исходные координаты с помощью соотношения (4.126). [c.253]

Процесс переноса конечных параметров вектора V на вектор X основан на следующем. Векторы X, V любой линейной системы при граничном значении переменной х = I будут содержать 3 группы граничных параметров. Первая группа - это нулевые граничные параметры, что определяется заданными условиями опирания (краевыми условиями). Вторая группа - это зависимые параметры, связь между которыми выражается уравнениями равновесия и совместности перемещений узлов линейной системы. Третья группа граничных параметров векторов X, V никак не связаны между собой. Эти параметры условно могут быть названы независимыми. Перенос параметров из V в X должен компенсироваться соответствующими ненулевыми элементами матрицы А, иначе нарушится исходное уравнение (1.32) при х = I. Очевидно, что независимые параметры V должны быть перенесены на место нулевых параметров вектора X, а зависимые параметры переносятся в соответствии с уравнениями их связи. Перед операцией переноса параметров необходимо освободить поля матрицы А от элементов, связанных с нулевыми параметрами вектора X. Выполняется это путем обнуления столбцов матрицы А, номера которых равны номерам строк нулевых параметров вектора X. Далее в матрицу А вводятся ненулевые компенсирующие элементы и преобразования по схеме (1.38) завершены. Правило для определения величины и положения компенсирующих элементов при переносе параметров включает 3 случая. [c.24]

КОСТИ как нормальная, так и тангенциальная компоненты скорости на поверхности тела должны обратиться в нуль. Последнее условие называется условием прилипания, потому что любая незначительная вязкость заставляет жидкость прилипать к телу. Если вязкость обращается в нуль, то уравнение для функции тока приводится к уравнению третьего порядка (п. 2.2.2) и, следовательно, не может удовлетворить всем граничным условиям. Поскольку невязкая жидкость может проскальзывать, то условие прилипания опускается, и в результате решение будет представлять движение жидкости всюду, кроме малой области вблизи тела, называемой пограничным слоем Прандтля. В этой области тангенциальные компоненты скорости изменяются очень сильно от значения, полученного из предельного уравнения (с вязкостью, равной нулю), до нуля, чтобы удовлетворить краевому условию прилипания, которое ранее было опущено. Для описания течения в этой области Прандтль увеличил ее, введя преобразование растяжения, оценил порядок величины различных членов исходного дифференциального уравнения и отбросил малые члены. Полученные таким образом уравнения были решены, и их решения были сращены с решением задачи для невязкой жидкости с использованием условия сращивания (4.1.16). [c.128]

Модная в 1960-х годах идея о прямом преобразовании механической энергии движущегося потока низкотемпературной плазмы (например, плазмы продуктов сгорания или газоразрядной плазмы) в электрическую привлекла многих механиков во всем мире. Однако, как это всегда бывает с модными идеями в науке, огромное количество публикаций по магнитной гидродинамике не выходило за рамки формального обобщения задач обычной гидродинамики добавлению полных или кое-как усеченных уравнений Максвелла к исходной гидродинамической задаче. Действительное продвижение в части изучения МГД-эффектов и их практического приложения требовало понимания того, что представляет собой плазма с точки зрения механики сплошной среды и как плазма движется в каналах МГД-устройств, взаимодействуя со стенками (в том числе токопроводящими электродами), в зависимости от внешних магнитных и электрических полей. [c.6]

Из (27) видно, что некоторые из уравнений системы записаны в неявном виде. Их решение не требует никаких дополнительных преобразований, как это было бы необходимым при использовании любой из серийных машин постоянного тока. Дело в том, что в числе других достоинств, таких, как, например, высокая точность получаемых результатов решения (а следовательно, и высокая точность задания исходных данных — постоянных коэффициентов и начальных условий), оснаш,енность высокоточными внешними устройствами — цифровым вольтметром и двухкоординатным регистрирующим прибором, простота эксплуатации и другие, АВМ А-110 обеспечивает возможность решения линейных и нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений, заданных в неявном виде. [c.23]

Исходные дифференциальные уравнения (5-4-1)— (5-4-2) в процессе преобразования приобретают в некотором роде сходство с уравнениями, выражающими два связанных колебания поэтому по Генри физическая интерпретация их решений (5-4-15) заключается в том, что каждая температурная волна сопровождается диффузионной (массовой) волной , идущей с той же скоростью, величина которой пропорциональна температурной волне. Зависимость между этими волнами определяется только свойствами среды. Подобным же образом диффузионная волна сопровождается дополнительной температурной волной . Если даже одно из внешних условий, например потенциал массо-переноса, изменяется, тем не менее будет налицо законченная характеристика из двух массовых и двух температурных волн, хотя некоторые 3 них могут быть незначительными, если взаимодействие слабое. [c.182]

Линеаризация уравнений проводится в два этапа каждая переменная величина X записывается через свое значение в начальный момент времени Хо и приращение АХ, т. е. Х=Ха + АХ после тождественных преобразований приращениями в степени больше единицы и произведением приращений пренебрегают на втором этапе из уравнения, описывающего нестационарный процесс, вычитают это же уравнение, записанное для исходного статического режима. Получившиеся в результате линейные уравнения описывают динамический процесс для приращений параметров над их значениями в исходном режиме. [c.66]

Что касается собственных функций, то их можно найти значительно более просто в случае, когда Л/ 1. При этом в уравнениях (4.86) интегрирование можно распространить и на всю область от —оо до 4-00. В этом случае правые части уравнений (4.86), за исключением коэффициентов пропорциональности, представляют собой фурье-образы распределений соответственно U % ) и U r i). Таким образом, согласно (4.86), искомые собственные функции должны быть инвариантными относительно фурье-преобразования. Известно, что этим свойством обладает произведение гауссовой функции и полинома Эрмита. Возвращаясь к исходным координатам хну, собственные функции можно записать соответственно в виде [c.198]

При повороте ортов поляризационного базиса на некоторый угол координаты векторов в исходной и повернутой системах связаны линейным преобразованием с ортогональной матрицей. Преобразуются и элементы матриц, в частности поляризационной. При этом некоторые величины, составляемые из элементов матриц, не изменяются. Например, не изменяются собственные значения (с.з.) матриц, а также такие комбинации их элементов, которые определяют эти значения. Как известно, коэффициентами характеристического уравнения, из которого находятся с.з., являются след [c.255]

Уравнения (8.1), (8.2) и (8.6) содержат производные от искомых функций по ж и Путем линейных комбинаций этих уравнений с коэффициентами, зависящими от ж, и искомых функций (но не их производных) можно записать эти уравнения в виде, содержащем производные по другим направлениям в плоскости (ж, ). В частности, иногда можно привести уравнения к таким направлениям, что каждое из уравнений преобразованной системы будет содержать производные искомых функций лишь по одному направлению. Если к такому виду можно привести все уравнения, то исходная система называется гиперболической, а указанные направления характеристическими. Линии в плоскости (ж, ), задающие эти направления, называются характеристиками. [c.58]

В задачах наследственной теории упругости приходится вводить несколько операторов Вольтерра и выполнять некоторые операции, состоящие в решении интегральных уравнений, ядра которых представляют некоторые комбинации исходных ядер и их резольвент. Правило умножения операторов и соотношения (17.1.7) позволяют записать и выполнить промежуточные операции преобразований по правилам алгебры, однако заключительный этап будет состоять в решении интегрального уравнения. Ряд Неймана при этом скорее указывает на принципиальную возможность решения интегрального уравнения, чем служит эффективным средством для такого решения. На практике положение облегчается тем фактом, что ядра наследственности, характеризующие свойства материала, выбираются в результате обработки опытных данных, а опытные данные лежат внутри некоторой полосы разброса. Поэтому, как правило, оказывается возможным искать операторы наследственности внутри некоторого класса, достаточно широкого для удовлетворительного воспроизведения опытных данных, с одной стороны допускающего явное выполнение обращения (17.1.7), с другой. Выберем некоторый оператор К, который будем называть порождающим оператором. Тогда оператор Г (Х) будем называть резольвентным оператором, порождаемьш оператором К. Из (17.1.7) следует такое явное выражение для резольвентного оператора Г ( .) [c.579]

Согласно постулатам Эйнштейна, уравнения электродинамики, а следовательно, и их решения должны сохранить свой вид в системе отсчета (х, у, z, t ), движушейся относительно исходной системы х, у, z, t) поступательно, равномерно и прямолинейно. Обратим внимание на то, что, говоря о поступательном, равномерном и прямолинейном относительном движении систем отсчета, мы необходимо должны предположить, что t ф t, т. е. что время не является, абсолютным. В самом деле, предположив противное, придем к преобразованиям Галилея, т. е. к формуле (2) сложения скоростей, что противоречит второму постулату Эйнштейна о постоянстве скорости света. [c.448]

Предположим, что мы произвели некоторое каноническое преобразование гамильтоновых уравнений некоторой данной задачи. Уравнения сохранили их форму, но гамильтонова функция Н (q, р) превратилась в функцию И (q, р) новых переменных q и р. Если мы умеем интегрировать новые гамильтоновы уравнения, то рещение исходных уравнений будет немедленно найдено и задача тем самым решена. В общем случае новые уравнения могут не иметь никаких преимуществ перед исходными в отношении интегрируемости. Но Якоби показал, что если можно построить такое каноническое преобразование, которое преобразует гамильтонову функцию Н (q, р) в Н (р), содержащую только переменные р, то полученные уравнения Гамильтона могут быть немедленно проинтегрированы и, следовательно, динамическая задача рещена. Таким образом, метод Якоби состоит в замене прямого интегрирования уравнений Гамильтона отысканием соответствующего канонического преобразования. Этот метод Якоби для интегрирования уравнений Гамильтона является примером преобразования одной математической проблемы в другую. Вместо попыток прямо интегрировать уравнения Гамильтона, мы ищем рещение соверщенно другого рода уравнения. Подобная же картина имеет место для случая связи между конформными преобразованиями и задачей Дирихле. [c.915]

Разыскивая по-прежиему решение этой системы в виде <рj = = UJj sin (ш/+ О и подставляя значения ср и их вторых производных в исходные дифференциальные уравнения, после элементарных сокращений и преобразовании, получим следующую систему алгебраических уравнений относительно постоянных амплитуд Ф [c.88]

Следующим этапом является установление общих законов подобных преобразований. Так была развита теория канонических преобразований и их инвариантов. Отсюда видно, что существует глубокая внутренняя связь между аналитической динамикой и общей теорией групп преобразований. Впоследствии эта связь была открыта Софусом Ли (1842—1899), и вся теория приняла удивительно стройный и красивый вид в механику вошли новые идеи, характерные для математики конца XIX в. Якоби показал, что существует такое каноническое преобразование, которое приводит исходные уравнения к новым, легко интегрируемым уравнениям. Таким образом, задача прямого интегрирования канонических уравнений заменяется другой математической задачей найти вид соответствующего канонического преобразования. Наконец, остается задача интегрирования канонических уравнений. Оказалось, что интегрирование этих уравнений равносильно интегрированию уравнения в частных производных так называемого уравнения Гамильтона — Якоби. [c.217]

Проведем преобразование независимых переменных в два этапа. Сначала перейдем от координат = х, х, s к аргументам л, (/ где у/ = Ц х,у) -функция тока (см. п. 2.3.2). Затем возьмем произвольную достаточно гладкую функцию s = s x,t//) и осуществим преобразование плоскости х,ц/ к плоскости S, ж по формулам вида (2.21), в которых а, / , надо заменить на X, у/, S, соответственно я = р- р. . В результате вместо исходной системы получаем шесть нелинейных уравнений (их запись опущена) относительно семи неизвестных функций х, //, м, и, р, г,,, г,2 аргументов 5,я. Для замыкания задачи нужно взять дополнительное уравнение, обеспечивающее автоматическое удовлетворение одному из граничных условий, при которых реализуется изучаемый гидродинамический процесс. Пусть р = Pi= onst - не-цротекаемая изобара (линия Ф, на рис. 2.20), ограничивающая поток жидкости, тогда замыкающее уравнение представляется в форме [c.64]

Во-вторых, результаты, полученные методом задачи Римана — Гильберта, охватывающим структуры из бесконечно тонких плоских экранов или экранов с осевой (центральной) симметрией, стимулировали поиск подходов, позволявших бы также эффективно анализировать электродинамические свойства решеток других типов. Эта проблема частично решена с появлением метода, в основе которого лежит аналитическое преобразование матричных уравнений типа свертки [25, 57, 58, 92, 93]. Методологическая основа у этих подходов общая — обращение части оператора некорректного исходного операторного уравнения. Отличает их техника выполнения процедуры полуобращения (решение задачи сопряжения теории аналитических функций и вычисление главных частей в разложении Миттаг — Леффлера мероморных функций), а также то, что в первом подходе выделяется и обращается статическая часть задачи (и = 0), а во втором — часть задачи, отвечающая определенной геометрии периодического рассеивателя. По существу при этом использовалась возможность явного аналитического решения задач статики и дифракции плоских волн на системе идеально проводящих полуплоскостей [38, 40]. Недавно полученные в [94—96] результаты, видимо, также могут послужить основой для создания новых вариантов метода полуобращения. Эффективность последнего подтверждается практическим решением проблемы дифракции волн в резонансной области частот на периодических решетках основных типов 124, 25, 58] идеально-проводящих эшелеттах, решетках жалюзи и ножевых, плоских ленточных и решетках из незамкнутых тонких экранов, решетках из брусьев металлических и диэлектрических с прямоуголь- [c.8]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

На коэффициент преобразования сужающих устройств существенное влияние оказывают особенности гидравлического тракта, поэтому при установке стандартных сужающих устройств, изготовленных по расчету, необходимо вьщерживать нормы, изложенные в 1108]. При использовании нестандартных элементов также можно руководствоваться этими данными, сокращая рекомендуемые длины прямых участков трубопровода не более чем в два-три раза. При этом градуирование расходомеров должно производиться непосредственно в рабочих трубопроводах. Расходомеры с сужающими устройствами, как правило, непригодны для измерения быстроиере-менных расходов, что связано прежде всего с инерционностью процессов в дифференциальных манометрах и в соединительных манометрических магистралях. В случаях применения безынерционных электрических преобразователей перепада давления также возникают существенные динамические погрешности, вызванные инерционностью процессов преобразования непосредственно на сужающем устройстве. Опытное определение частотных характеристик сужающих устройств затруднено нелинейностью их свойств. Наличие в исходных уравнениях членов, содержащих квадратичную зав 1си-мость, приводит к возникновению положительных динамических ошибок на режимах стационарных пульсаций расхода. Динамические характеристики расходомеров с сужающими устройствами изучены недостаточно, некоторые сведения по этому вопросу приводятся в [185, 72]. [c.338]

Основой системы автоматизированных расчетов цикловых механизмов (САРЦМ) является обобщенный метод преобразования координат. На основании универсальных уравнений обобщенного метода преобразования координат можно получить уравнения движения для любого плоского механизма. В САРЦМ в основу алгоритма задания структурной схемы механизма положен принцип разбиения механизма на отдельные звенья и присвоения каждому типу звена номера, под которым на магнитном диске хранятся заготовки файлов исходных данных для каждого звена под определенным именем. При таком подходе структурная схема механизма задается в виде матрицы строения механизма. В качестве начального звена может быть выбран кривошип, кулиса или кулачок. Большое количество звеньев, составляющих группы Ассура, позволяет определить кинематические параметры практически любого плоского механизма. По данным матрицы строения механизма машина запрашивает у пользователя необходимые исходные данные и формирует их в порядке, необходимом для применения обобщенного метода преобразования координат. [c.323]

Изложение методов прикладного анализа спектральных характеристик светорассеяния системами частиц сопровождалось достаточно простыми примерами из атмосферной оптики, а именно решением задач аппроксимации, построением степенных разложений и операторов разделения компонент рассеяния в теории зондирования слабозамутненной атмосферы. К более сложным задачам оптики дисперсных сред, где их применение приводит к существенным аналитическим результатам и эффективным вычислительным схемам обращения, следует отнести нелинейные обратные задачи рассеяния. В этом случае, как было показано в главе, оказывается возможным с использованием разработанных методик дифференцирования полидисперсных интегралов формальное преобразование интегральных уравнений первого рода в интегральные уравнения второго рода. Эта возможность иллюстрировалась на примере обратной задачи светорассеяния относительно спектрального хода показателя преломления аэрозольного вещества. В полной мере это справедливо и в том случае, когда требуется найти распределение ф(/), характеризующее взаимодействие зондируемой аэрозольной системы частиц с полем влажности. Построение соответствующего регуляризованного аналога исходного уравнения выполнено в ранее опубликованной заботе [21]. [c.272]

Канонические преобразования позволяют, по крайней мере формально, решить уравнения движения динамической системы следующим образом. Рассмотрим отдельно случай гамильтониана, зависящего явно от времени, и случай автономного гамильтониана, не зависящего от времени, В первом случае положим Я = 0. Тогда производные по времени от новых переменных равны нулю в силу уравнений Гамильтона. Поэтому новые переменные не зависят от вре.мени и их можно интерпретировать как начальные значения исходных (непреобразованных) переменных. Таким образом, каноническое преобразование фактически оказывается решением, определяющим значения координат и импульсов в произвольный >гамент времени в зависимости от их начальных значений. Подставив (1.2.13а) в (1.2.13в) с Я = О, получим уравнение в частных производных для производящей функции F [c.23]

Для читателей, знакомых с тензорным исчислением, сделаем следующее важное дополнительное замечание. Одним из исходных предположений в механике является утверждение о том, что все механические величины характеризуются тензорами нулевого, первого или второго ранга, а все законы и уравнения механики представляют собой тензорные равенства. Это значит, что в каждом законе должны содержаться слагаемые, представляющие собой тензоры одного и того же ранга, и из самого определения тензора следует, что любые равенства, выражающие законы и уравнения механики (как для замкнутых, так и для незамкнутых систем), ковариантны по отношению к повороту координат. В отличие от этого ковариантность по отношению к другим преобразованиям не является свойством законов механики, а скорее определяется формой их записи. Одни и те же законы механики могут быть представлены и в ковариантной, и в нековариантной записи. Преимущество ковариантной записи состоит в том, что она не зависит от выбора систем отсчета в пределах соответствующего класса преобразований. [c.47]

Заметим, что форма (1.40) есть аналитическое решение линейной задачи, а схема решения краевой задачи (1.46) — численное определение начальных и, если требуется, конечных параметров. Теоретически определение граничных параметров линейной системы из уравнения (1.46) можно выполнить аналитически, но целесообразней применять численный метод исключения Гаусса, т.к. трудности аналитического решения резко увеличиваются с ростом порядка матригцз А. Поэтому данное сочетание задачи Копти и численного решения краевой задачи позволяют определить предложенный одномерный вариант МГЭ как численно-аналитический метод решения дифференциальных уравнений независимо от физического содержания задачи. Если требуется решить задачу для линейной системы, состояние каждого элемента которой описывается обыкновенным дифференциальным уравнением, то всегда можно применить предложенный выше алгоритм. Если состояние элементов описывается дифференциальными уравнениями в частных производных(пластинчатые и оболочечные системы), то для применения одномерного варианта МГЭ нужны дополнительные преобразования, сводящие дифференциальные уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальных уравнениям. В математике, как известно, возможность понижения мерности исходной задачи существует. В механике такую процедуру выполняет вариационный метод, предложенный с разных позиций вьщающимися советскими учеными академиком Л.В. Канторовичем и членом-корреспондентом АН СССР В.З. Власовым, который носит их имя. [c.390]

В разд. 1.2 описаны исходные допущения модели и дана постановка задачи. Б разд. 1.3 дан вывод основных уравнений, исходя из принципа возможных перемещений Лагранжа, а также сформулированы граничные условия задачи. Указан способ преобразования исходной системы уравнений к разрешающей системе, основанный на введении функций напряжений с помощью соотношения (1.21). Такой анализ несколько отличается, судя по литературе, от наиболее распространенных подходов и, в частности, от подхода, изложенного в статье [8]. В разд. 1.4 решается задача для пластины с двумя ребрами и различными граничными условиями. Даны численные расчеты. В разд. 1.5 содержится решение системы разрешающих уравнений для случая, когда число ребер произвольное. Использован известный способ решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приспособленный к специфике данной системы. В разд. 1.6 рассмотрены частные случаи пластин с пятью и шестью ребрами. Приведены подробные численные расчеты и дан анализ влияния параметров пластины и ребер иа характер напряжений. В разд. 1.7 рассмотрена задача оптимального подкрепления пласти-пы произвольным числом ребер переменного сечения. Закон изменения сечения ребер по их длине определяется из условия, что напряжения в ребрах не меняются по длине каждого ребра. В разд. 1.8 и 1.9 описан метод конечных разностей Лля приближенного расчета напряжений в пластине с ребрами, сечение которых лроизвольно изменяется по длине. Точность метода иллюстрируется а примере. В последнем разделе излагается способ приближенного учета поперечной сжимаемости пластины между ребрами, который улучшает картину напряжений в окрестности угловых точек пластины. [c.7]

Инвариантные преобразования (3.6), в отличие от других замен назависимых переменных, останавливающих движущиеся границы [3.2, 3.13, 3.33, 3.43, 3.50], позволяют сделать то же самое, не изменяя формы дифференциального уравнения (3.1). Если при этом краевые условия имеют вид (3.2), то в новых переменных иХ задача (3.1), (3.2) сведется к решению волнового уравнения (3.7) с граничными условиями импедансного типа (3.9). Решая ее и возвращаясь к переменным X и с помощью (3.8), найдем решение исходной задачи. [c.92]

Эти формулы являются исходными при составлении граничных интегральных уравнений для различных начально краевых задач динамической теории упругости и, в частности, для тел, содержащих трещины и разрезы. Для вывода граничных интегральных уравнений изучаемых задач необходимо знат1, граничные свойства потенциалов динамической теории упругости в пространстве преобразований Лапласа (5.4) на границе тела и на трещине. Прежде чем перейти к их изучению найдем формулы для фундаментальных решений динамической теории упругости в пространстве преобразований Лапласа. [c.108]

Часто уравнения, записанные для некоторых степеней свободы Д , необходимо записать относительно другик степеней свободы Д . Наиболее распространен случай, когда исходные степени свободы отвечают одной системе координат и требуется, чтобы уравнения задачи были записаны для степеней свободы, отвечающих другой системе координат. Иными словами, разыскивается преобразование координат. В общем случае преобразованные степенн свободы могут не иметь определенного физического смысла, а их число не обязательно должно совпадать с числом исходных степеней свободы. Соотношение, связывающее указанные две системы степеней свободы, можно записать в виде [c.56]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...