Группа преобразований

Эта группа аналогична упомянутой в п. 4 группе преобразований SU (2) для изотопического спина. [c.695]

В основе SU (6)-симметрии лежит предположение об отсутствии в мире элементарных частиц спин-орбитального взаимодействия. В этом случае кварк должен характеризоваться уже не тремя, а шестью степенями свободы. SU (6)-симметрия — это симметрия относительно группы преобразований в шести измерениях. SU (б)-симметрия позволяет получить дополнительные результаты по сравнению с SU (3)-симметрией. В частности, она предсказывает связь между магнитными моментами нуклонов [c.326]

Существо аналогии между двумя явлениями состоит в совпадении отвечающих им групп преобразований или в одинаковых дифференциальных уравнениях, управляющих явлениями. [c.277]

В консервативной системе с одной степенью свободы билинейная форма может быть понимаема как инвариант Пуанкаре, спинор — как некоторое частное решение уравнений в вариациях Пуанкаре для некоторого возмущенного движения. Группа преобразований движения, как это хорошо известно, будет бинарной группой. [c.358]

Указанные три цветовых состояния образуют спи-норный базис группы SU (3)с Предположение о строгой инвариантности сильных взаимодействий относительно цветовой калибровочной группы преобразований SU (3)с приводит к практически однозначному построе- [c.973]

Ниже мы увидим, что инвариантность дифференциальной формы (7.2.4) не является обязательным свойством, присущим каждому каноническому преобразованию. Преобразования, удовлетворяющие этому условию, образуют лишь подгруппу в полной группе канонических преобразований. Даже внутри этой подгруппы формулы (7.2.3) выделяют весьма узкую группу преобразований, отличающуюся тем [c.229]

Канонические преобразования общего типа. Инвариантность дифференциальной формы (7.2.13) не является абсолютно необходимой для сохранения вида канонических уравнений. Существует более широкая группа преобразований, которые оставляют инвариантными канонические уравнения. Предположим, что дифференциальная форма (7.2.13) преобразуется по следующему закону [c.237]

Преобразования Лоренца. Преобразование (9.2.9) является частным случаем более широкой группы преобразований, которые исторически не очень заслуженно называются преобразованиями Лоренца . Они характеризуются произвольными четырехмерными поворотами евклидова пространства четырех измерений с координатами = ix, Xj = iy, x = iz, Xi = t. Можно обойтись и без мнимых величин. Для этого следует определить преобразования Лоренца как группу линейных преобразований четырех действительных величин, (х, у, z, t), оставляющих инвариантной квадратичную форму [c.344]

Таким образом, мы имеем непрерывную однопараметрическую группу преобразований пространства х в себя. [c.406]

Контактные преобразования. Движение динамической системы определяет непрерывную группу преобразований фазового пространства ( 21.3). Эти преобразования переводят изображающую точку из положения [c.487]

Вариационные принципы механики неразрывно связаны с теорией групп преобразований, синтезом аналитического и геометрического аспектов механики, оптико-механической аналогией и единой волново-корпускулярной картиной движений, классической и квантовой теорией физических полей, вариационными методами решения задач движения, равновесия, устойчивости и структуры физических систем и другими фундаментальными проблемами. [c.780]

Для выяснения места вариационных принципов в физической картине мира и их эвристической ценности необходимо было развитие корпускулярно-полевого синтеза и глубокое проникновение в теоретическую физику идеи фундаментального значения инвариантов групп преобразования. Это развитие исторически осуществлялось в теории относительности, квантовой механике (нерелятивистской и релятивистской) и квантовой теории полей. [c.857]

Для классической механики основной группой преобразований являются канонические преобразования. Группу преобразований можно определить либо посредством бесконечно малых преобразований, либо посредством инвариантов этой группы. Первый способ, в котором задаются бесконечно малые изменения канонических переменных q , р, при бесконечно малом каноническом преобразовании, выражен уравнениями Гамильтона, второй—инвариантностью действия. [c.877]

Таким образом, естественно формулируется связь между аналитической механикой вариационных принципов и теорией групп преобразования. Эта связь допускает дальнейшее обобщение. [c.877]

Ли подробно изучил такие непрерывные группы преобразований. Элементом непрерывной группы является преобразование, переводящее каждую точку п-мерного пространства в другую такую же точку. Таким образом, каждое преобразование задается системой п функций от п переменных [c.905]

Оказалось, что вопрос об интегрируемости дифференциальных уравнений в квадратурах связан с вопросом о структуре группы преобразований, которые не изменяют данного уравнения. Для того чтобы уравнение интегрировалось в квадратурах, необходимо и достаточно, чтобы эта группа обладала особыми структурными свойствами, принадлежала к числу так называемых интегрируемых (или разрешимых) групп. [c.906]

Группа преобразований Лоренца состоит из тех преобразований (обязательно линейных), которые сохраняют квадратичную форму dx dxr. Любое такое преобразование имеет вид [c.392]

Левая формула удобна в ton случае, когда система описывается декартовыми координатами, правая —когда применяются обобщенные координаты q . Если группа преобразований, о которой шла речь в начале параграфа, может быть описана через изменение одной подходящим образом выбранной обобщенной координаты, скажем q,., то для любого произвольного изменения q , т. е. для любого qr, лагранжиан не должен изменяться, т. е. L = 0, и следовательно, [c.63]

Понижение порядка уравнения для f ( ). Уравнение (2.3) инвариантно относительно группы преобразования [c.79]

Введем теперь несколько необходимых в дальнейшем определений. Будем называть р-базами всевозможные пересечения кругов диаметром р с множеством точек единичной сетки. Очевидно, что все множества, полученные из некоторой р-базы переносами, параллельными координатным осям, отражением в этих осях или поворотом вокруг начала координат на угол, кратный 90°, а также любой комбинацией этих преобразований, также являются р-базами. Поэтому разобьем все р-базы на классы эквивалентности относительно этой группы преобразований и под различными р-базами будем понимать базы различных классов эквивалентности. [c.44]

Характерной особенностью ряда задач такого рода является то, что классы распознаваемых объектов инвариантны относительно тон или иной группы преобразований G. Формально это означает, что значения решающих предикатов (7.4). не изменяются при всевозможных преобразованиях g из G, т. е. о (ш) = = ад (gw) при всех g G. [c.243]

Свойство инвариантности классов естественно заложить в структуру аксиом классов (7.6) так, чтобы они не реагировали на групповые преобразования объектов. В этом случае объекты, отличающиеся друг от друга преобразованиями изданной группы G, будут классифицироваться как эквивалентные. Таким образом, задача формирования инвариантных понятий заключается в том, чтобы по заданной группе преобразований О построить аксиомы классов, способные безошибочно классифицировать все объекты, отличающиеся друг от друга преобразованиями g группы G. [c.243]

Качество обучения и точность распознавания существенно зависят от особенностей системы аксиом классов. Естественно потребовать, чтобы эта система обладала свойствами непротиворечивости и полноты. Кроме того, как уже отмечалось, практически важно, чтобы аксиомы классов были инвариантны по отношению к группам преобразования, действующим на объекты из соответствующих классов. Дадим строгую формулировку этих свойств. [c.246]

Аксиому класса (и>) будем называть инвариантной относительно группы преобразований G, если [c.247]

Следствие 9.3.2. Скобка Пуассона /, Я есть производная от / по направлению гамильтонового поля. Оно определяет фазовый поток — однопараметринескую группу преобразований фазового пространства [c.638]

В 1964 г. Гюрсей, Радикати и Пайс предложили схему так называемой St/(6)-симметрии, в которой удается преодолеть эти трудности. В основу SJ7(6)-симметрии положено предположение о том, что в мире элементарных частиц очень мало спин-орби-тальное взаимодействие, т. е. что обычный спин не связан с обычным пространством. В этом случае в основу классификации надо класть частицу (например, кварк) уже не с тремя, а с шестью степенями свободы. Симметрия относительно группы преобразований в шести измерениях и будет (6)-симметрия. [c.694]

Введение. Мы привели дифференциальные уравнения движения к особенно удобному каноническому виду. Однако наша конечная цель будет достигнута только тогда, когда мы сможем решить эти уравнения. Поскольку нам неизвестен метод непосрественного интегрирования этих уравнений, то приходится идти косвенными путями. Одним из таких путей является метод преобразований координат. Мы пытаемся отыскать такую систему координат в фазовом пространстве, в которой входящая в канонические уравнения функция Гамильтона имела бы настолько простой вид, чтобы уравнения движения могли быть непосредственно проинтегрированы. Естественно, что с этой точки зрения желательно исследовать всю группу преобразований координат, связанных с каноническими уравнениями. Изучение этих канонических преобразований оказывает ценную помощь при интегрировании уравнений механики. Теория канонических преобразований в основном связана с именем Якоби. Хотя он, возможно, и не обладал воображением, присущим Гамильтону, и его усилия были в основном направлены на решение задачи интегрирования уравнений, однако открытие канонических преобразований явилось все же огромным достижением. Получившаяся в результате теория интегрирования сыграла важную рель в развитии современной атомной физики. В далеко идущих исследованиях Гамильтона проблема интегрирования являлась второстепенной задачей. [c.225]

Марий Софус Л и родился в 1842 г. в Нордфиорде в Норвегии, умер в 1899 г., в Осло. После одного года преподавания в шведском университете в Лунде, он перешел в 1872 г. в университет в Осло, из которого в 1886 г. был приглашен заменить Клейна в Лейпцигском университете. Здесь в течение двенадцати лет он собрал вокруг себя большую группу учеников разных национальностей. В 1898 г., когда здоровье его было уже подорвано болезнью, приведшей его к могиле, он с большими почестями был приглашен на родину на кафедру теории групп преобразований, созданную им в университете в Осло. Он любил связывать свои работы с работами Понселе и Плюккера с одной стороны, и с работами Галуа — с другой. Но благодаря смелой новизне взглядов, силе геометрической интуиции и независимости мысли, не-подчиняющейся чьему бы то ни было влиянию, С. Ли занимает в истории математики совершенно самостоятельное место. Благодаря новой принадлежащей ему концепции задачи интегрирования дифференциальных уравнений он пришел, с одной стороны, к открытию преобразований прикосновения и к теории инвариантов этих преобразований, а с другой стороны, к теории конечных непрерывных групп преобразований, которая благодаря совершенной полноте, изяществу методов и результатов я неисчерпаемой возможности приложений остается вечным памятником его имени. [c.252]

Под группой преобразований , как известно, понимают такую систему преобразований, при которой каждому преобразованию соответствует обратное преобразование, принадлежащее той же системе, и преобразование, составленное из любых двух преобразований системы, принадлежит также данной системе. Группа называется конечной непрерывной группой, если ее преобразования все заключены в наиболее общем преобразовании, зависящем аналитически от р существенных параметров р (т. е. эти р параметров не могут быть представлены как р функций меньщего числа параметров). [c.611]

В основе применения и физического смысла вариационных принципов механики лежат две теоремы теорема независимости Гильберта и теорема Эмми Нетер. Первая теорема дает математическое обоснование вариационных принципов, вторая — раскрывает их физический смысл, связывая их с центральной физической проблемой — проблемой инвариантов различных групп преобразований. [c.863]

В 1851 г. Сильвестр впервые ввел понятие об инвариантах алгебраических форм. В так называемой Эрлангенской программе Ф. Клейн, сформулировал принцип, что каждое многообразие (в том числе различные геометрии) задается системой инвариантов относительно некоторой группы преобразований. С другой стороны, в 70-х годах XIX в. Софус Ли установил связь между интегралами дифференциальных уравнений и инвариантами непрерывных групп. Отсюда вытекает возможность интерпретации механики в терминах непрерывной группы и ее инвариантов. Основываясь на объединении вариационного исчисления и методов теории групп Ли, Э. Нетер в 1918 г. дала алгоритм, позволяющий найти систему инвариантов любой физической теории, формулируемой при помощи лагранжева или гамильтонова формализма. [c.863]

Прежде всего необходимо указать, что дифференциальные принципы обладают одним общим недостатком. Формулировка этих принципов всегда требует введения особых координат для исследуемой системы. Необходимость введения таких координат придает решению каждой проблемы специфически механический вид. Но дело не только в этом. Физика должна формулировать законы природы так, чтобы они не зависели от произвольного выбора исследователем системы координат. Физический закон, сформулированный нами, должен быть инвариантным относительно той или иной группы преобразований координат. Эти преобразования должны быть выражением каких-то фундаментальных свойств материального мира. Инвариантность является необходимым, хотя и недостаточным условием истинности формулированных нами физических законов. То, что те или иные законы инвариантны лишь по отношению к тем или иным преобразованиям, введенным как логическое обобщение опытных данных (преобразование Галилея — равномерного движения и сложения скоростей, преобразование Лоренца — опыта Майкельсона и т. п.), указывает на определенные границы, на сферу применения этих законов. Так, уравнение Шредингера, которое не инвариантно по отношению к лоренцовым преобразованиям, являясь аналогом уравнений классической механики, ограничено соответствующим образом в объеме охватываемых им явлений. Интегральный же принцип Гамильтона имеет то огромное преимущество, что он может быть сформулирован так, что окажется инвариантным по отношению к любым преобразованиям координатных систем. [c.870]

Чтобы пояснить это утверждение, заметим, что (4.1) определяет систему прямоугольных декартовых координат только в пределах ортогональных преобразований (ср. 9). Приведенная выше аксиома требует инвариантности уравнений движения относительно таких ортогональных преобразований, при условии, что это — собственные преобразования (т. е. группа преобразований не включает отражений). Инвариантность относительно переноса начала координат означает однородность пространства, а инвариантность относительно вращения — его мзотротгкость. Инвариантность по отношению к отражению относительно плоскости (несобственное преобразование) означала бы эквивалентность винтов с правой и левой резьбой. [c.27]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...