Разложение в ряд по степеням

Будем интегрировать эту систему путем разложения в ряды по степеням малой безразмерной величины (at. Если принять. [c.435]

Для более сложных случаев краевых условий возможны решения путем разложения в ряды по степеням малого параметра [114] и разложения по фундаментальным балочным функциям с применением вариационных методов [68]. [c.268]

Однако это решение будет иметь на бесконечности, вообще говоря, полюс порядка —х, и поэтому для существования аналитического в бесконечности решения необходимо потребовать выполнение дополнительных условий. Для функции (г) эти условия состоят в том, что ее разложение в ряд по степеням 1/z должно начинаться с члена XJz -. Относительно же функции g i) эти условия принимают вид [c.23]

Если же функция аналитична в бесконечности, то для коэффициентов ее разложения в ряд по степеням 1/г выполняется оценка [c.410]

Подставив ряды (6.156) в уравнения (6.153) и сократив тригонометрические функции, приведем задачу к трем однородным алгебраическим уравнениям с тремя неизвестными для каждого члена разложения. Приравняв нулю детерминант этой системы, найдем определяющее уравнение для частоты собственных колебаний Для более сложных случаев краевых условий возможны решения путем разложения в ряды по степеням малого параметра [74] и разложения по фундаментальным балочным функциям с применением вариационных методов [14]. [c.189]

Приращение энтропии в результате скачка можно определить, если воспользоваться разложением в ряд по степеням s.j—Si и ро—Pi в предположении, что изменения параметров состояния в результате скачка невелики. Индекс 1 относится к состоянию газа перед скачком, а индекс 2 — к состоянию его после скачка. [c.350]

При температуре Т равновесное давление чистого г-го компонента есть pi , а разность химических потенциалов паровой и жидкой фаз чистого г-го компонента по условиям равновесия этих фаз равна нулю. При давлении р,- Ф и той же температуре Т разность химических потенциалов определяется из разложения в ряд по степеням (р—p ), г. е. [c.488]

Чтобы исследовать, при каких условиях уравнения (51 ) можно решить относительно р°, найдем первые члены разложений в ряды по степеням t— функций

[c.438]

Если подставить (12) в выражение / (х, йх), то оно переходит в Е (и, йи) или же при разложении в ряд по степеням. [c.608]

Для последующего разложения в ряд по степеням 1/г воспользуемся формулой Тейлора [c.24]

Вывод закона изменения v и а" построен в предположении, что вблизи критической точки удельный термодинамический потенциал может быть разложен в ряд по степеням(а—Ик), р—рк) я (Т -Т к). [c.21]

Согласно основному допущению теории Ландау вблизи точек фазового перехода потенциал д(Г, Р, М) может быть разложен в ряд по степеням М. Мы будем рассматривать изотропную модель магнетика, так что противоположные направления намагничения М и —М физически эквивалентны, и разложение ведется по четным степеням М. Ограничиваясь тремя членами, имеем [c.425]

Как и при N 3, решение характеристического уравнения для случая нулевого демпфирования может быть представлено в виде разложения в ряд по степеням S вблизи точки 5 = О (соответствующей несвязанным колебаниям). Представляя решение, близкое к (О = VJ, в виде со = будем иметь [c.629]

В последующих разделах силы и моменты на несущем винте будут представлены в виде разложений в ряд по степеням параметров движения (после деления на массу вертолета М или соответствующий момент инерции). Коэффициенты при первых степенях разложений являются производными устойчивости. Производные продольной, поперечной и вертикальной сил обозначаются X, У и Z, а производные моментов крена, тангажа и рыскания — L, М и N соответственно. Направления составляющих сил и моментов совпадают с направлениями связанных осей (рис. 15.1). Производные по линейным скоростям вертолета обозначаются индексами и, и и да, а по угловым скоростям — индексами р, q я г. Эти производные устойчивости отнесены к радиусу и угловой скорости вращения несущего винта и потому безразмерны. Размерные производные могут быть получены умножением на и Q. Заметим, что силы, деленные на массу вертолета, например Z = —у 2Ст/оа)/М, имеют размерность линейных ускорений (Q R), а моменты, деленные на момент инерции, — размерность угловых ускорений (Q ). Производные, по линейным скоростям делятся на QR, а по угловым — на Q. [c.709]

Не составляет труда, используя малость параметра Я, представить правую часть в виде разложения в ряд по степеням Я. Довольствуясь членами с пер- [c.188]

Тогда для приближенного определения функций Уд (0) и Уе (0) можно воспользоваться их разложениями в ряды по степеням малой разности 0 - 00 ). [c.346]

Более точные теории Озеена и Озеена — Голдстейна дают для коэффициента сопротивления вместо (148) разложение в ряд по степеням числа Яе, принимаемого малым, [c.408]

Ф(/1, h, h) представление (2.11) соответствует отбрасыванию членов выше третьего порядка малости в его разложении в ряд по степеням Eij. Последнее обстоятельство будет использовано в 4 при сравнении соотношений упругости для произвольных потенциалов. [c.336]

Полиномы Лежандра могут быть получены при разложении в ряд по степеням г функции [c.63]

Хотя в [1 -3] также были построены отрезки разложений в ряды по степеням г (с точностью [c.338]

Разложение в ряд по степеням s ности уравнений [c.75]

Очевидно, выражение типа (6.5.15) не может быть получено из единственной диаграммы, так как параметр взаимодействия е (т. е. Я) стоит в показателе экспоненты. Следовательно, мы должны просуммировать вклады от определенных классов диаграмм, которые предварительно нужно выявить. Чтобы сделать это, заметим, что выражение (6.5.15) содержит в показателе экспоненты также плотность в комбинации е п. Следовательно, выражение типа (6.5.15), разложенное в ряд по степеням плотности, содержит члены порядка [c.249]

Парную функцию распределения можно представить в виде формального разложения в ряд по степеням плотности [c.286]

Матрица А(жз, e) допускает разложение в ряд по степеням е [c.95]

При воздействии на материальную среду оптического излучения большой интенсивности в ней возникает наведенная поляризация, которая может быть представлена в виде разложения в ряд по степеням действующего электромагнитного поля Е [c.779]

Отсюда следует, что функция / не есть разложение в ряд по степеням е в самом деле, коэффициенты зависят от г сложным путем. Но зависимость осуществляется только через р , и это однозначно определяет алгоритм. Если теперь подставить обе формулы (3.5) и (3.6) в уравнение (2.1), то получим [c.124]

Выражение (1.2) показывает, что разложение в ряд по степеням е приводит к аналогичному разложению столкновительного члена, коэффициенты которого равны [c.182]

Как было отмечено выше, решения уравнений сохранения континуальной теории и решения уравнения Больцмана являются, вообще говоря, неаналитическими по некоторому параметру 8, описывающему отклонение от уравнений невязкой жидкости. Таким параметром могут быть коэффициенты вязкости и теплопроводности в теории сплошной среды и средняя длина свободного пробега в кинетической теории. В связи с этим разложения в ряды по степеням 8 не дают равномерно пригодных решений для задач с начальными и граничными условиями. Однако некоторые трудности можно преодолеть, если вместо разложения решений использовать разложение самих уравнений, как это делается в так называемом разложении Чепмена — Энскога. Чтобы понять это утверждение, заметим, что, умножив уравнения (2.22) на 8 , просуммировав от 1 до оо и сложив результат с (2.21), мы получим [c.269]

Если плотность газа не очень значительна, то при разложении в ряд по степеням 1/г/ всеми членами, содержащими 1/у во второй и более высоких степенях, можно пренебречь. Соответственно этому для производной (дь дТ)р получается следующее приближенное выражег ние [c.177]

Чтобы найти значение второй производной д р1дУ )т в критической точке, воспользуемся разложением в ряд по степеням V — И , Т — Г величины др1д т для точек 1 и 2 кривой фазового равновесия, соответствующих одной и той же температуре правомерность подобного разложения будет рассмотрена ниже. [c.240]

Давление р. , согласно разложению в ряд по степеням рз —р , учитывая, что в критическом состоянии dp/dp)s = (ff pldp s = О, [c.275]

Конечно, если все уравнения могут быть решены точно в замкнутой форме, то нет никакой необходимости использовать теорию возмущений но, как правило, мы имеем дело с системалщ, где этого как раз нет и где просто необходимо для нахождения решения использовать разложение в ряд по степеням Я. [c.186]

В данном конкретном случае использованный метод не слишком подходящ, по двум причинам прежде всего мы обнаруживаем, что решения дифференциальных уравнений для q - и допускают еще одно слагаемое, пропорциональное решению невозмущенного уравнения (7.112). Но мы не добавили этот член к выражению q - а добавили к решению Сделано это было для того, чтобы получить правильный ответ, т. е. ответ, получаемый либо вторым способом, либо с помощью канонической теории возмущений— для и Если положить к тому же а равной 11/8, цель будет достигнута [ср. (7.133)]. Вторая трудность состоит в том, что у нас появился член, пропорциональный / osсо/, в выражении для Если разложение в ряд по степеням X имеет хоть какой-нибудь смысл, то должна быть возможность выбрать X столь малым, чтобы члены, содержащие (п Ф 0), оказались бы меньше невозмущенных членов. Но совершенно очевидно, что это невозможно, когда появляется неограниченно возрастающий член такого вида, как t os со/. В следующем параграфе мы увидим, что в выражении для [c.187]

Пусть Ml, Ша,. .., (о —собственные частоты соответствующей консервативной системы, т. е. корни уравнения det ( q —бз Ао) = 0. В обычной схеме вычислений, помимо разложения в ряд по степеням малого параметра искомого решения, используют разложение частоты возбуждения или соответствующего периода. Допустим, что нужно построить решение в окрестности одной из критических частот, задаваемых соотношениями (18) или (19). Обозначим эту частоту через Введя безразмерное время т = ш/ и разлагая частоту со в ряд (о = + l10i + fx 0 2 +, ищем решение уравнения (44) в виде [c.127]

Взгляд с точки зрения методов интегрщ)ования задачи Коши позволяет систематизировать различные схемы продолжения решения. Так, предложение В.С. Кирйи [188], обобщенное им в работе [189], представляется как метод построения решения задачи Коши в виде ряд к Тейл(фа по аргументу (параметру). Отметим, что такой способ построения решения близко примыкает к методу возмущений. Шаговый процесс продолжения решения с использованием разложений в ряды по степеням приращения параметра тфедлагался также в работах [362,369,295,296]. В двух последних статьях такой подход разработан в рамках метода конечных элементов. [c.178]

Таким образом, мы нашли уравнение состояния в форме разложения в ряд по степеням плотности. Такая форма называется шриальным разложением и характерна для неидеальных газов. Снова подчеркнем тот факт, что отклонение от свойств идеальных [c.189]

В итоге почти полуторастолетних изысканий по проблеме притяжения эллипсоидов и здесь произошел переход от геометрических к аналитическим методам, были получены многочисленные частные результаты, выведены полезные для гравиметрии приближенные формулы, с успехом применены разложения типа разложений в ряд по степеням малого параметра, введена потенциальная функция и выведено для нее уравнение в частных производных. Эти результаты были впоследствии широко использованы в других разделах теоретической физики, послужили основой для более общей теории потенциала и для создания математического аппарата будущей теории ноля. Для проверки ньютоновой тёории они привлекались в сочетании с результатами других исследований, к которым мы и переходим. [c.153]

Возможный путь преодоления указанных трудностей открывает метод внутренних и внешних разложений, хорошо известный из континуальной теории он будет рассмотрен позже ( 5).. В настоящем параграфе мы обратимся к ранним широко известным попыткам Чепмена [3] и Энскога [4]. Их метод основан на правдоподобной аргументации, которая состоит в следующем. Решения как континуальных уравнений сохранения, так и уравнения Больцмана, вообще говоря, неаналитичны по соответствующему параметру 8 и, следовательно, разложения в ряды по степеням а [c.121]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...