Матрица положительно определенная

Если дополнительно предположить, что не только А, но и С является матрицей положительно определенной квадратичной формы, то (как мы покажем далее) все корни характеристического уравнения (18) будут чисто мнимыми. [c.215]

А и В будут матрицами положительно определенных квадратичных форм. [c.216]

В общем случае тот факт, что уравнения (15) получались линеаризацией уравнений Лагранжа, не придает этим уравнениям каких-либо особенностей, которые позволили бы выписать их решение и изучить возникающие движения проще, чем это могло бы быть сделано при исследовании системы линейных уравнений самого общего вида. Иначе обстоит дело в том случае, когда система консервативна и матрица С = с /, является матрицей положительно определенной квадратичной формы ). Тогда в уравнениях линейного приближения [c.236]

Что такое ленточная матрица Симметричная матрица Положительно определенная матрица [c.256]

Убедиться, что А и С — матрицы положительно определенных квадратичных форм. [c.40]

Условие (6.41) есть достаточное условие максимума. Матрицу Г, удовлетворяющую условию (6.41) при любых Д X, называют отрицательно определенной, а в случа< (4Х)т Г(А X) >0 для любых АХ — положительно определенной. Поэтому достаточные условия экстремума можно представить как требование отрицательной определенности матрицы Гессе для максимума или положительной определенности для минимума в экстремальной точке. [c.279]

Главное преимущество метода переменной метрики перед методом Ньютона — отказ от вычислений матрицы Гессе на каждой итерации. Положительно определенная матрица [c.288]

В начале вычислений нужно задаться произвольной положительно определенной матрицей Но, в частности Но может быть единичной матрицей. Шаг hk выбирают по методу одномерной оптимизации. [c.288]

Это выражение является квадратичной формой от обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Из физического смысла понятия кинетической энергии следует, что функция Т равна нулю лишь тогда, когда все qj одновременно равны нулю, и положительна, если хотя бы одна из tjy отлична от нуля. Квадратичная форма, удовлетворяющая этим условиям, называется положительно определенной, а матрица, составленная из ее коэффициентов, [c.213]

Положительная определенность квадратичных форм (12.32), (12.47) и соответствующих матриц означает, в частности, что все их элементы, расположенные на главной диагонали, должны быть положительными. Действительно, при i=/ частные производные в суммах (12.32), (12.47) умножаются на неотрицательные числа — квадраты вариаций переменных. Благодаря произвольности вариаций эти числа всегда можно считать положительными, а вариации других переменных с i j — равными нулю, так что знак неравенства должен выполняться для каждого из слагаемых суммы в отдельности. Поэтому из [c.125]

Сложнее гарантировать единственность решения, хотя это так же важно, как и доказательство его существования. Наиболее надежные выводы получаются при известной форме поверхности минимизируемой функции в многомерном пространстве. Проблема эта тесно связана с анализом устойчивости равновесия и частично уже обсуждалась в 12, 13. Выше встречались различные формулировки условий устойчивости говорилось о существовании взаимно однозначного соответствия между термодинамическими силами и координатами, о постоянстве знака якобиана их преобразования (9.23), о положительной определенности квадратичных форм (12.32), (12.47), о знаке определителей матриц вторых производных характеристических функций (9.24), (12.20). Еще одно эквивалентное выражение условий устойчивости связано непосредственно с характеристикой формы поверхности рассматриваемой функции — это ее выпуклость. [c.185]

Доказательство. В линейном пространстве Д" введем метрический тензор, матрица которого в базисе 1,..., а совпадает с матрицей А кинетической энергии. Это можно сделать, так как матрица А симметричная и положительно определенная, а кинетическая энергия не зависит от выбора базиса в пространстве Д". С помощью этого тензора определим скалярное произведение двух векторов х,у Д" [c.574]

Матрица Я— квадратная, положительно определенная, симметричная следовательно, из первого из уравнений (4.259) можем найти, что [c.208]

Матрица плотности — положительно определенный самосопряженный оператор р, удовлетворяющий условию [c.269]

Построение обратной матрицы оказывается возможным из-за того, что энергия деформации является положительной определенной формой. [c.662]

Важным свойством матрицы является ее симметрия и положительная определенность. Симметрия матрицы означает, что примерно половину ее элементов не нужно запоминать. Положительная определенность матрицы означает, что элемент, стоящий на главной диагонали, всегда положителен и его величина больше любого другого коэффициента соответствующей строки или столбца. [c.203]

В случае симметричной положительно-определенной матрицы ленточного типа значительно уменьшаются количество вычислений и вероятность накопления погрешностей округления. [c.203]

Докажем теперь, что из симметричности матриц А и С и аз положительной определенности матрицы А следует, что вековое уравнение (13) [или (19)] имеет только вещественные корни. [c.237]

Матрица С не является особенной (det С О),- так как квадратичная форма (3) является положительно определенной. [c.254]

Заметим, что А — положительно определенная симметрическая матрица (это обстоятельство здесь не используется). [c.260]

В заключение отметим, что для консервативной системы В = II bik if = О, а Л = II а,- If и С —1 с,- )f — симметрические положительно определенные матрицы. Вековое уравнение det (А[х -j- С) = О переходит в уравнение det (С — ХЛ) = О из 40, если положить — i = Y — 1). Но, как было показано в 40, уравнение det (С — ХЛ) = 0 имеет только положительные и вещественные корни. Поэтому уравнение (П) в случае консервативной системы имеет чисто мнимые корни. [c.262]

Легко показать, что если Н (q, р) — положительно определенная функция, то все корни уравнения (105.18) чисто мнимые, даже в вырожденном случае кратных корней. Пусть X, Z (при Z ф 0) будет некоторым решением уравнения (105.17). Пусть Z — комплексное сопряженное z, а Z — транспозиция z (т. е. это матрица в одну строку). Тогда имеет место соотношение [c.385]

Метод сопряженных градиентов. В градиентных методах для поиска экстремума использовались свойства ортогональности векторов. В методе сопряженных градиентов оптимум целевой функции ищется на ос-fiOBe свойств орготональности приращений вектора градиентов. Для этой цели наряду с градиентом используют матрицу Гессе Г критерия оптимальности. С помощью матрицы Г удается выбрать направление поиска, наиболее полно учитывающее особенности критерия оптимальности. Напомним, что векторы А и В называют сопряженными относительно симметричной и положительно определенной матрицы Г, если скалярное произведение векторов А и ГБ равно нулю, т. е. <А, ГВ > =0. Направление поиска Р +1 на й+1-м шаге определяется как [c.287]

Как известно из линейной алгебры, можно в силу положительной определенности скалярного произведения в R подобрать такую матрицу перехода Aj, к некоторому новому базису, в котором матрица скалярных произведе- [c.309]

Позже Хавнер [14] предложил новый подход к решению проблемы, применимый к общему случаю упругопластического поведения. Он получил конечно-разностную дискретизацию путем минимизации полной потенциальной энергии, что привело к системе уравнений с симметричной положительно определенной матрицей Однако Хавнер не довел решение до численных результатов и не рассматривал двухфазные материалы, которые можно было бы считать типичными представителями композитов. [c.224]

Симметрическая матрица A= a,j, f называется положительно определенной, если соответсгвующая ей квадратичная [c.234]

Заметим, что для всякой положительно определенной матрицы G выполняются свойство 3°, а также неравенства 1° для главных миноров и неравенства2° для диагональных элементов g-ji и). [c.256]

Если в этой формуле определитель матрицы отличен от нуля — начальная скорость неколлинеарна начальному радиусу-вектору,, то, применив обратную матрицу (это не обязательно делать в явном виде), увидим, что os o и sinto суть линейные функции х нус коэффициентами, зависящими от начальных условий. Следовательно, тождество os o/.+sin a)t= 1 даст нам уравнение траектории, которая получится эллипсом (сумма квадратов линейных форм есть положительно определенная квадратичная форма). Легко понять, что центр этого эллипса находится в начале координат. [c.17]

Смотреть страницы где упоминается термин Матрица положительно определенная : [c.213] [c.215] [c.270] [c.182] [c.202] [c.220] [c.223] [c.275] [c.237] [c.572] [c.572] [c.594] [c.628] [c.137] [c.143] [c.156] [c.344] [c.341] [c.62] [c.222] [c.658] [c.230] [c.379]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...