Принцип возможных перемещений (Лагранжа)

Вариационный принцип Лагранжа. В соответствии с гипотезой сплошности тело может рассматриваться как система материальных точек и к нему можно применить принцип возможных перемещений Лагранжа для равновесия системы материальных точек со стационарными неосвобождающими и идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на систему активных сил на любых возможных перемещениях системы была равна нулю. [c.122]

Следовательно, принцип возможных перемещений Лагранжа для деформируемого тела может быть записан в виде [c.122]

На основании принципа возможных перемещений Лагранжа имеем [c.358]

Рассмотрим одну из возможных процедур численного решения краевых задач для тел, поведение которых описывается определяющим уравнением (5.115), известную под названием метода шагового интегрирования по времени. Для этого используем постановку задачи в перемещениях в форме принципа возможных перемещений (Лагранжа) t [c.247]

Таким образом, любые бесконечно малые непрерывные функции би будут возможными перемещениями, если они не нарушают кинематических краевых условий. В механике одним из основополагающих принципов является принцип возможных перемещений Лагранжа, который служит эквивалентом уравнений механики — уравнений равновесия в статике и уравнений движения в динамике. [c.188]

Суть этого метода заключается в том, что для определения предельной нагрузки рассматриваются кинематически возможные состояния системы, совместные со статическим состоянием. Затем для кинематически возможного состояния применяется принцип возможных перемещений Лагранжа и из уравнения работ определяется предельная нагрузка. [c.309]

В силу больших математических трудностей получение точных аналитических решений многих задач теории упругости в форме, доступной для практических целей, затруднительно или невозможно. В этом случае можно использовать вариационные методы, которые позволяют получать приближенные решения задач теории упругости в аналитической форме. При этом приближенно удовлетворяются дифференциальные уравнения или граничные условия, а в отдельных случаях—и те и другие. В основе вариационных методов лежат вариационные принципы, например, принцип возможных перемещений Лагранжа. [c.449]

Методы решения задач деформационной теории. Принцип возможных перемещений Лагранжа для любой сплошной среды запишем в виде [c.232]

Далее заметим, что 1-я группа сил "К" находится в равновесии. Поэтому к ней применим принцип возможных перемещений (Лагранжа) если система сил находится в равновесии, то работа их на возможных бесконечно малых перемещениях равна нулю, т.е. А - -W = О или [c.200]

Уравнения равновесия трехслойного стержня получим, используя принцип возможных перемещений Лагранжа (1.29) [c.137]

Как уже отмечалось, возможны два вида вариационных постановок краевых задач, первый из которых — вариационные уравнения или (в контактных задачах) неравенства типа (21), (11), (20), представляющие собой, по существу, принцип возможных перемещений Лагранжа. Второй вид — задача разыскания стационарной точки некоторого функционала. Оба вида используются на практике для построения алгоритмов решения конкретных задач. [c.98]

Считая формально реакцию штампа V- заданной и повторяя выкладки и рассуждения, примененные при выводе вариационного уравнения принципа возможных перемещений Лагранжа для уравнений трехмерной задачи теории упругости, получаем уравнение [c.101]

Принцип возможных перемещений Лагранжа [c.70]

Эти исследования реализованы на базе вариационных методов и заключаются в построении и анализе вариационных неравенств, которые в контактных задачах без учета трения выражают принцип возможных перемещений Лагранжа. Установлено, что статические задачи геометрически линейной теории упругости эквивалентны задачам минимизации функционалов полной энергии с ограничениями в форме неравенств, которые, в свою очередь, решаются при помощи методов математического программирования и оптимального проектирования. [c.478]

Следует обратить внимание, что при применении этого способа мы совершенно не должны были принимать во внимание реакции в этом заключается преимущество этого способа. Ниже, при изложении принципа возможных перемещений Лагранжа, мы увидим общую причину такого исключения реакций. [c.172]

Если записать условия равновесия тела Т в форме принципа возможных перемещений Лагранжа, то придем к следующему требованию на с [c.90]

Принцип возможных перемещений, или принцип Лагранжа, содержит необходимые и достаточные условия равновесия некоторых механических систем. Он формулируется следующим образом для равновесия механической системы, подчиненной идеальным, стационарным ы неосвобождающим связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма -элементарных работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, была равна нулю на любом возможном перемещении системы, если скорости точек системы в рассматриваемый момент времени равны нулю, т. е. [c.387]

Принцип возможных перемещений явился результатом обобщения старинных исследований действия простейших машин — рычагов, полиспастов, наклонной плоскости и т. д. Первые обобщающие заключения, приведшие позже к установлению принципа возможных перемещений, как отмечает Ж. Лагранж ), [c.107]

Понятие об идеальных связях не было известно автору Аналитической механики — Ж. Лагранжу. Рассматривая вопрос об обосновании и доказательстве принципа возможных перемещений, Ж. Лагранж отмечает, что этот принцип, хотя и очень прост по своему выражению, но не очевиден, чтобы его можно принять как аксиоматическое утверждение без доказательства. Ж. Лагранж отмечает, что принцип возможных перемещений основывается на двух принципах, установленных раньше. Один из них — принцип действия рычага, исследованный еще Архимедом второй — аксиома о параллелограмме сил. Если вспомнить геометрическую статику (ч. III т. I), то становится ясным, что эти два принципа содержат два основных понятия статики — понятие о силе, как о векторе, и к тому же скользящем в случае действия силы на абсолютно твердое тело, и понятие о моменте силы. Ж- Лагранж указывает сначала, что принцип возможных перемещений объединяет эти два понятия статики (принципы рычага и параллелограмма сил). Далее он предлагает доказательство, основанное на замене сил, приложенных к материальным точкам системы, реакциями подвижных блоков сложного полиспаста. Это доказательство не было признано достаточным, и Фурье предложил более совершенное. [c.108]

Французский ученый Даламбер (1717—1783 гг.) ввел в механику новый метод решения задач динамики при помощи уравнений статики. Нельзя не упомянуть также имени французского ученого Лагранжа (1736—1813 гг.), проделавшего большую работу по математическому обоснованию законов механики и обогатившего механику принципом возможных перемещений. Выводы Лагранжа были уточнены и дополнены русским математиком и механиком академиком М. В. Остроградским (1801 — 1861 гг.). Им же разработана общая теория удара, решен ряд важнейших задач из области гидростатики, гидродинамики, теории упругости и др. [c.6]

Вытекающее из принципа Даламбера условие равновесия несвободной системы под действием потерянных сил Лагранж выразил в аналитической форме, использовав для этой цели принцип возможных перемещений. [c.376]

Приводим основные вариационные принципы механики упругого тела в прямолинейной системе координат [2]. Вариационное уравнение Лагранжа, основанное на принципе возможных перемещений (удовлетворяются уравнения статики), имеет вид [c.9]

В 1788 г. появилось сочинение Ж- Лагранжа Аналитическая механика , в котором вся механика была изложена строго аналитически на основе принципа Даламбера и принципа возможных перемещений. При этом Лагранжем были получены дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах. Дальнейшее развитие аналитических методов, предложенных Лагранжем для исследования движения и равновесия несвободных механических систем, привело к установлению ряда дифференциальных и вариационных принципов механики. [c.16]

Принцип возможных перемещений выражает собой необходимое и достаточное условие равновесия для всякой механической системы. Первое доказательство этого принципа было дано Лагранжем, использовавшим этот принцип при построении своей аналитической механики. Надо отметить, что различные частные выражения этого принципа применялись еще и до Лагранжа. Знаменитому русскому механику и математику М. В. Остроградскому удалось значительно обобщить этот принцип (в том числе и на неудерживающие связи), так что результаты Лагранжа вытекали из результатов Остроградского как частный случай. [c.766]

Докажем, что центр масс находящейся в равновесии системы тяжелых тел занимает экстремальное положение, отложив доказательство второй части принципа Торричелли до изложения теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия при максимуме силовой функции. Ось Z направлена по вертикали вверх. Принцип возможных перемещений для равновесия системы тяжелых тел с массами и координатами аг,, у , z, дает [c.77]

Задачу будем решать по принципу возможных перемещений, методом множителей Лагранжа [c.89]

Как было показано, принцип Даламбера позволяет записывать динамические уравнения движения в виде уравнений равновесия, так как при добавлении сил инерции к активным силам и силам реакций связен, действующим на систему, получается уравновешенная система сил. Но если система сил уравновешена, то к ней применим принцип возможных перемещений. Последовательное применение этих принципов к движущейся механической системе, на которую наложены идеальные стационарные голономные удерживающие связи, позволяет сформулировать принцип Даламбера— Лагранжа если к движущейся механической системе, на которую наложены идеальные стационарные голономные удерживающие связи, условно приложить силы инерции всех ее точек, то в каждый момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции равна нулю на любом возможном перемещении системы, т. е. [c.288]

Вариационный принцип возможных перемещений (вариационный принцип Лагранжа). Пусть х, ру и о относятся к одному состоянию тела ), т. е. соблюдены условия равновесия в области и на ее границе, — удовлетворены уравнения (15.15) и (15.16), а вместо и и рассматриваются их вариации бн и Ьг (и), которые считаем кинематически возможными, т. е. удовлетворяющими условиям совместности деформаций [c.517]

Применим к деформированному телу принцип возможных перемещений Лагранжа. Он выражает условие равновесия системы внутренних и внешних сил. Согласно этому принципу, если и — истинные перемещения точек тела, при которых имеет место равновесие упомянутых систем сил, то работа этих сил на ироизвольном бесконечном [c.54]

Подставив в (20.71) выражение (20.67) и выполнив интегрирование, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно а - Можно показать, что уравнение (20.71) выражает в интегральной форме условие равенства нулю работы всех внешних и внутренних сил в пластине на возможных перемещениях ф (х, И. В этом смысле метод Бубнова—Галеркина, как и метод Ритца, исходит из принципа возможных перемещений Лагранжа. [c.451]

Путем линеаризации нелинейного вариационного уравнения принципа возможных перемещений Лагранжа для задач теории малых упруго пластических деформаций и теории пластического теченггя ниже получены линейные соотношения для методов упругих решений, дополнительных деформаций, переменных параметров упругости, метода Ньютона-Канторовича и метода последовательных нагружений с коррекцией погрешноспг. [c.232]

В разд. 1.2 описаны исходные допущения модели и дана постановка задачи. Б разд. 1.3 дан вывод основных уравнений, исходя из принципа возможных перемещений Лагранжа, а также сформулированы граничные условия задачи. Указан способ преобразования исходной системы уравнений к разрешающей системе, основанный на введении функций напряжений с помощью соотношения (1.21). Такой анализ несколько отличается, судя по литературе, от наиболее распространенных подходов и, в частности, от подхода, изложенного в статье [8]. В разд. 1.4 решается задача для пластины с двумя ребрами и различными граничными условиями. Даны численные расчеты. В разд. 1.5 содержится решение системы разрешающих уравнений для случая, когда число ребер произвольное. Использован известный способ решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приспособленный к специфике данной системы. В разд. 1.6 рассмотрены частные случаи пластин с пятью и шестью ребрами. Приведены подробные численные расчеты и дан анализ влияния параметров пластины и ребер иа характер напряжений. В разд. 1.7 рассмотрена задача оптимального подкрепления пласти-пы произвольным числом ребер переменного сечения. Закон изменения сечения ребер по их длине определяется из условия, что напряжения в ребрах не меняются по длине каждого ребра. В разд. 1.8 и 1.9 описан метод конечных разностей Лля приближенного расчета напряжений в пластине с ребрами, сечение которых лроизвольно изменяется по длине. Точность метода иллюстрируется а примере. В последнем разделе излагается способ приближенного учета поперечной сжимаемости пластины между ребрами, который улучшает картину напряжений в окрестности угловых точек пластины. [c.7]

Для получения уравнений равновесия и услрвий на концах ребер используем принцип возможных перемещений Лагранжа, согласно которому сумма работ всех внешних и внутренних сил пане- [c.12]

В XVIII в. начинается интенсивное развитие в механике аналитических методов, т. е. методов,- основанных на применении дифференциального и интегрального исчислений. Методы решения задач динамики точки и твердого тела путем составления и интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений были разработаны великим математиком и механиком Л. Эйлером (1707—1783). Из других исследований в этой области наибольшее значение для развития механики имели труды выдающихся французских ученых Ж. Даламбера (1717—1783), предложившего свой известный принцип решения зйдач динамики, и Ж. Лагранжа (1736—1813), разработавшего общий аналитический метод решения задач динамики на основе принципа Даламбера и принципа возможных перемещений. В настоящее время аналитические методы решения задач являются в динамике основными. [c.7]

ПРИНЦИП возможных ПЕРЕМЕЩЕНИЙ. УРАВНЕНИЯ ФЕРРЕРСА, УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА. [c.107]

Теорема Лагранжа — Дирихле приводит в этом случае к следующему положению если центр масс системы тяжелых точек занимает наинизилее из возможных смежных положений, то это положение равновесия системы будет устойчивым. Торричелли (1608—1647) в исследованиях по статике твердых и жидких тел считал этот принцип основным и самоочевидным. Лагранж в Аналитической механике использовал принцип Торричелли для доказательства принципа возможных перемещений. Не останавливаясь на подробном изложении этого классического доказательства, приведем следующее простое рассуждение. Заменим приложенные к системе силы натяжениями переброщен-ных через идеальные блоки нитей, к концам которых привешены грузы, соответственно равные по величине приложенным к системам силам. Рассматривая полученную таким образом новую систему как эквивалентную предыдущей и принимая [c.341]

Методы статики несвободной системы, изложенные в гл. XXVII, обобщаются и на динамику. Подобно тому как использование уравнения принципа возможных перемещений — общего уравнения статики — привело к различным формам уравнений равновесия (в декартовых координатах, в обобщенных зависимых и независимых координатах), точно так же из общего уравнения динамики выводятся аналогичные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы. Уравнения эти получили наименование уравнений Лагранжа, так как были впервые опубликованы в Аналитической механике Лагранжа. [c.385]

Р авенство (2) или (3) и представляет собой общее уравнение динамики. Оно получено путем соединения двух общих принципов механики принципа Даламбера с принципом возможных перемещений, связанным с именем Лагранжа. Поэтому общее уравнение динамики иногда называется уравнением Лагранжа — Даламбера. Из него следует, что при любом движении механической системы с идеальными удерживающими связями в каждый данный момент сумма элементарных работ всех активных сил и всех условно приложенных сил инерции на всяком возможном перемещении системы равна нулю. При этом возможные перемещения нужно брать для фиксированного положения системы, соответствующего рассматриваемому моменту. [c.780]

Соотношение (7.7) Лаграйж предложил называть принципом Даламбера. Когда все ускорения суть нули и, следовательно, система находится в равновесии, принцип Даламбера (Эйлера — Лагранжа) становится основным принципом аналитической статики — принципом возможных перемещений Бернулли. [c.212]

Начало возможных перемещений Лагранжа. Применительно к твердым телам начало возможных перемещений сформулировано Лаграюкем в его Аналитической механике (1788 г.). К упругим телам (стержневой системе) этот принцип впервые был применен Пуассоном в 1833 г. Подобно тому, как для твердых тел начало возможных перемещений позволяет получить уравнения равновесия твердого тела, так и для упругих тел начало возмояшых перемещений MOJiieT заменить уравнения равновесия тела. [c.45]

Сформулированное положение представляет собой теорему Лагранжа, а 15.66) —формулу Лагранжа (первую формулу Коттерилла — Кастильяно), которая, как и сам принцип возможных перемещений, справедлива для любой (линейной и нелинейной) деформируемой системы. [c.488]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...