Интегралы уравнений движения

Уравновешенный гироскоп в кардановом подвесе движется по инерции. Определить кинетическую энергию системы и первые интегралы уравнений движения, если момент инерции внешней рамки относительно неподвижной оси вращения равен [c.373]

Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, и свойствами полного интеграла уравнения Якоби — Гамильтона, найти первые интегралы уравнений движения точки. [c.376]

В заключение этого параграфа сделаем следующее общее замечание о законах сохранения. Формулировка каждого из этих законов имеет следующий вид некоторое выражение, зависящее от координат точек и их скоростей, при движении системы не меняется . Эти выражения не зависят от ускорений точек и в этом смысле являются первыми интегралами уравнений движения. В дальнейшем (см. гл. VII) мы вернемся к понятию первый интеграл и дадим его точное определение. Там же будет показано, что найденные выше первые интегралы — законы сохранения — являются следствиями основного предположения классической механики об однородности и изотропности пространства и об однородности времени (см. гл. VII). Отложив поэтому уточнение этого понятия до гл. VII, мы в 7 настоящей главы на важном примере продемонстрируем, как классическая механика использует законы сохранения для того, чтобы упростить (а в некоторых случаях и решить) дифференциальные уравнения, описывающие движение. [c.77]

ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 265 [c.265]

Первые интегралы уравнений движения. Скобки Пуассона. [c.265]

Произвольная функция от гамильтоновых переменных — времени, координат и обобщенных импульсов — называется первым интегралом уравнений движения, если во время любого движения значение этой функции не меняется, [c.266]

ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ [c.267]

Теорема (Якоби — Пуассона). Скобка Пуассона от двух интегралов уравнений движения сама является интегралом уравнений движения. [c.268]

В качестве примера того, как получаются и каким образом используются первые интегралы уравнений движения, рассмотрим важный вопрос о циклических координатах. [c.269]

Для дальнейшего обсуждения первых интегралов уравнений движения (законов сохранения) требуется использовать аппарат вариационного исчисления, который нужен нам также и для иных целей, связанных с изучением движений в потенциальных полях. Поэтому в следующем параграфе будут кратко изложены элементы вариационного исчисления, а затем, применяя соответствующий аппарат к теории движения в потенциальных полях, мы вернемся, в частности, к вопросу об общей теории первых интегралов уравнений движения. [c.271]

Первые интегралы уравнений движения 65, 77. 266 [c.366]

Из уравнений неголономных связей следует, что = a j. Ус Таким образом, первые интегралы уравнений движения известны. [c.188]

Если общее решение системы (7) известно, т. е. известны уравнения (8) и (9), то, разрешая их относительно произвольных постоянных jj, можно получить шесть первых интегралов уравнений движения [c.324]

Во многих случаях первые интегралы уравнений движения могут определяться из так называемых общих теорем динамики, которые для точки являются следствием основного закона (2). К рассмотрению этих теорем мы сейчас и перейдем. [c.324]

Рассмотрим случай, когда теорема об изменении количества движения дает первые интегралы уравнений движения точки. [c.326]

При действии активной силы Г реакция связи N должна быть такой, чтобы левая часть уравнения дифференциальной связи была первым интегралом уравнения движения, ибо вдоль действительной траектории эта связь должна тождественно удовлетворяться. [c.198]

Пуля, попадая в контейнер баллистического маятника, движется затем вместе с контейнером как единое целое. Количество движения и кинетический момент относительно точки подвеса маятника, которые имела пуля до попадания в контейнер, сохраняются. Им соответствуют первые интегралы уравнений движения. Кинетическая энергия системы уменьшается за счет тепловых потерь. [c.388]

Равенство (46.43) названо вторым интегралом уравнения движения центра масс, справедливым в случае внешних сил, зависящих только от времени. [c.72]

ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [c.254]

Значительное упрощение исходных уравнений, описывающих движение идеальной жидкости в случаях, когда имеют место интегралы уравнений движения, открывает широкие возможности для решения конкретных задач гидродинамики. [c.256]

Свободная материальная точка притягивается к началу координат с силой F= —Аг, пропорциональной расстоянию от начала координат. Найти первые интегралы уравнений движения. [c.325]

Действительно, число независимых постоянных интегрирования равно числу независимых первых интегралов или удвоенному числу независимых вторых интегралов уравнений движения. Но кинематические уравнения движения должны удовлетворять уравнениям геометрических и кинематических связей, не зависящим от постоянных интегрирования. Уравнения геометрических связей можно рассматривать как вторые интегралы уравнений Лагранжа первого рода с исключенными множителями kj и рз, а уравнения кинематических связей, соответственно, как их первые интегралы. Итак, среди интегралов рассматриваемой системы уравнений есть к вторых интегралов и I первых, независимых от постоянных интегрирования. Следовательно, число независимых постоянных интегрирования равно 6/г — 2/г — I. [c.34]

Первые интегралы уравнений движения, которые можно получить на основании теоремы об изменении количества движения. [c.52]

Между тем при преобразовании к переменным v, w нам пришлось разделить уравнение движения на этот якобиан, в результате чего решение, для которого А = О, оказалось потерянным. Таким образом, простая волна не содержится непосредственно в общем интеграле уравнений движения, а является их особым интегралом. [c.555]

С математической точки зрения закон сохранения энергии дает один из первых интегралов уравнений движения, так как уравнение, представляющее закон сохранения энергии, содержит только координаты и скорости, т. е. первые производные от координат по времени, и не содержит ускорений (вторых производных от координат по времени) поэтому иногда выражение закона сохранения энергии называют интегралом энергии или интегралом живых сил. [c.233]

Интегралы уравнений движения 32, 233 [c.638]

Один из частных интегралов уравнения движения невязкого газа имеет вид [c.75]

Легко видеть, что эта функция непрерывна, обращается в нуль в начале координат и положительна в остальных точках вблизи него. Следовательно, функция V удовлетворяет условиям, при которых она может служить функцией Ляпунова для рассматриваемой задачи. С другой стороны, легко видеть, что производная dVidt, вычисленная в силу уравнений движения, тождественно обращается в нуль, т. е. выбранная функция является первым интегралом уравнений движения. Хотя теперь функция V и не является полной энергией системы, мы, применяя теорему Ляпунова, сразу устанавливаем, что перманентное вращение 1 устойчиво. [c.235]

Определим теперь условия, которым должна удовлетверять какая-либо функция гамильтоновых переменных для того, чтобы быть первым интегралом уравнений движения. [c.267]

Предположим, что некоторая функция f q, р, О = onst является первым интегралом уравнений движения. Вычислим производную d[[q t), p t), tydt, где q t) и p( ) —решения уравнений Гамильтона. [c.267]

Однако очевидно, что полученный так первый интеграл не является независимым —он гюлучается как следствие уже имевшихся ранее т первых интегралов. Поэтому такое размножение первых интегралов уравнений движения лишено смысла. [c.267]

В частном случае обобщенно консервативной системы гамильтониан Н является интегралом уравнений движения поэтому если некоторая функция f(q, р, 4 —интеграл уравнений движения, то ее первая, вторая и т. д. частные производные по времени также являются интегралами этих уравнений. Действительно, для таких систем в силу теоремы Якоби — Пуассона (/, Я) = = onst и из условия (30) следует, что [c.269]

Однако при практическом исследовании движения очень часто пет необходимости изучать систему (1), а достаточно знать пзме-непие со временем некоторых величин, общих для всей материальной системы и являющихся функциями координат и скоростей точек системы (и, быть может, времени). Если такая функция при движении системы остается постоянной, то она называется первым интегралом уравнений движения (1). Иснользованне первых интегралов позволяет упростить задачу исследования движения системы, а иногда и решить ее до конца. [c.130]

Этот ответ можно было получить и в примере 13.7, но там проводилог.ь интегрирование дифференциального уравнения прямолинейного движения точки. Целью этого примера было показать, что применение общих теорем динамики позволяет в ряде случае избежать интегрирования уравнений движения точки (13.7). Речь идет о тех случаях, когда общие теоремы динамики доставляют нам первые интегралы уравнений движения точки, достаточные для решения задачи. Мы обращаем внимание читателя на это заключепне. [c.291]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...