Обратная задача рассеяния

В оригинальной работе Тода было получено решение в терминах эллиптических функций. Впоследствии на основе метода обратной задачи рассеяния была построена полная теория. В частности, получены Л -солитонные решения и показано, что солитоны обладают свойствами частиц — после встречного столкновения сохраняют первоначальную форму [70]. [c.151]

В. к. играют большую роль в теории турбулентности плазмы, являясь в ряде случаев осн. механизмом не редачи энергии от волн к частицам плазмы. В. к. могут иметь место и в интегрируемых системах (см. Обратной задачи рассеяния метод). [c.314]

Рассмотрим интегральное уравнение Гельфанда-Левитана — Марченко для ф-ции К (х, г), позволяющей решить обратную задачу рассеяния [c.388]

Решение ур-ния (5), определённое методом обратной задачи рассеяния, имеет вид [c.572]

Альтернативно метод обратной задачи рассеяния может быть сформулирован на основе представления Лакса. [c.472]

Центр, объектом в методе обратной задачи рассеяния является матрица монодромии (Х.). Для определения последней необходимо ввести матрицу перехода Т х, у, X), удовлетворяющую ур-нию [c.472]

С помощью метода обратной задачи рассеяния также находится решение задачи Коши для граничных условий вида л-у оо (условия конечной плот- [c.472]

Более общий случай рассмотрен в [301. Заметим, что уравнение (6) интегрируемо методом обратной задачи рассеяния детальный анализ представлен, например, в [31]. [c.212]

Теоретической основой для адекватного анализа нелинейных волновых полей в дальнем поле служит аппарат обратной задачи рассеяния [8], который по существу является нелинейным обобщением спектрального подхода, кратко рассмотренного в 2.6. Приведем ключевые моменты этого метода, необходимые для последующего изложения практических приложений. [c.220]

Круг практически важных задач, которые можно эффективно решать с помощью метода обратной задачи рассеяния, значительно расширился после разработки эффективных численных методик нахождения данных рассеяния и восстановления по ним q x, при произвольном [51]. Согласно этой методике на оси т вводится сетка разбиения с совокупностью узлов tfe , k=, 2, 3,. . ., К- На каждом [c.223]

Рис. 5.21. Солитонная составляющая шумового импульса а — начальный профиль интенсивности и фазы б — солитонная составляющая, выделенная методом обратной задачи рассеяния иа расстоянии =1 [52]

Естественно, что параметры солитона — амплитуда к и скорость V, изменяются от реализации к реализации, т. е. являются случайными величинами. Возникает задача об установлении взаимосвязи статистических характеристик начальных данных и сформировавшихся при >1 солитонов. Анализ этой взаимосвязи можно провести только на основе аппарата обратной задачи рассеяния [51, 541. [c.228]

Эти условия избыточны и фактически определяют потенциал (26). Его можно найти с помощью процедуры, подобной той, которая используется при решении обратной задачи рассеяния (см., например, [6]). [c.79]

Для того, чтобы к некоторому уравнению можно было применить метод обратной задачи рассеяния, это уравнение должно обладать Г — С-парой, или, иначе говоря , оно должно быть условием совместности двух линейных систем [c.9]

Следует отметить, что во всех известных ныне уравнениях, которые интегрируются с помощью метода обратной задачи рассеяния, коммутационные-соотношения (1.14) таковы, что их можно проинтегрировать, используя только один псевдопотенциал. При этом спектральный параметр, присутствующий в уравнениях (1.1), (1-2), возникает как константа интегрирования. [c.12]

Метод обратной задачи доставляет нам регулярную процедуру построения интегралов движения и законов сохранения. Собственно говоря, решать обратную задачу рассеяния для этого вовсе не требуется, а достаточно существования одной -С -пары. К изложению этой процедуры мы и перейдем. [c.13]

Обратная задача рассеяния. Восстановить энергию взаимодействия иЦгг—ri ) частиц по известной зависимости дифференциального сечения от угла рассеяния. [c.107]

Монография посвящена ряду фундаментальных задач теории нелинейных волн и важнейшим строгим результатам их исследования. На основе современных топологических методов, методов теории ветвления нелинейных операторных уравнений рассмотрены уравнения теории нелинейных волн А. И. Некрасова, Кортевега — де Фриза, Бюргера, Уизема и др. Описаны методы, позволяющие установить существование решений и проводить их построения метод Ляпунова — Шмидта, метод осредненных лагранжианов Уизема, метод обратной задачи рассеяния и др." Высокий математический уровень книги сочетается с доступностью иг1ЛО-жения. Для чтения книги достаточно знакомства с элементами функционального анализа, которые компактно изложены в приложении. [c.135]

Для К. — де Ф. у. найдены точные решения разл. вида, одно из осн.— солитон, или уединённая волна, и 2к h (к x—A-K l — амплитуда солитона и положение его центра xq — произвольные постоянные. Убывающее при х оо нач. возмущение, эволюционируя согласно К.— деФ. у., распадается на ряд невзаимодействующих солитонов, распространяющихся влево, и на осциллирующий и затухающий фон, распространяющийся вправо. Поведение решения при t- oo вычисляется по нач. данным. При помощи обратной задачи рассеяния метода можно найти для К,— де Ф. у. бесконечные наборы точных решений, простейшим является jV-солитовное и 2дЧиА/дх , где Д — определитель матрицы Д// = % + -Щ (х/ + ку)-1 ехр [— (я,- + xj) X +8х г], [c.468]

Обширный класс интегрируемых Н. у. м. ф. составляют ур-ния, к к-рым применим обратной задачи рассеяния метод. Для этих ур-ний, к к-рым относятся, в частности, перечисленные выше универсальные гамильтоновы системы, возможно явное вычисление большого кол-ва точных решений, в т. ч. описываюнщх солитоны и их взаимодействия. При помощи метода обратной задачи удается вычислять инстантонвые решения ур-ний Янга — Миллса, а также найти многочисленные точные решения ур-ний Эйнштейна, [c.316]

Решения П. у. (трансцендентные функции Пенлеве — спец, ф-ции, не сводящиеся к известным) обладают свойством Пенлеве не имеют др. подвижных (т. е. зависящих от постоянных интегрирования или нач. данных) особенностей, кроме полюсов. Так, решения П. у. 1 —IV не имеют вообще никаких особенностей, кроме полюсов решения П. у. V имеют неподвижные логарифмич. точки ветвления при г=0иг = оо, а решения П. у. VI — при 2 = 0, z = = 1 и 2 = 00. Установление свойства Пенлеве позволяет находить интегрируемые варианты разл. моделей нелинейных явлений и мн. нелинейных ур-ний, решаемых при помощи обратной задачи рассеяния метода. [c.553]

В. Е. Захаров и А. Б. Шабат показали (1971), что ур-ние (7) также является точно интегрируемым в рамках метода обратной задачи рассеяния с помощью вспо-могат. переопределённой системы линейных ур-ний типа (5), (6) для многокомпонентной (векторной) ф-ции Р. Следствием точной интегрируемости является наличие точных многосолитонных решений. Как и в случае ур-ния КдФ, эти решения описывают чисто упругие столкновения С. с сохранением формы, амплитуды и скорости. Единств, следствием столкновения являются фазовые сдвиги — изменения параметров Фд > и. Хд. [c.573]

Мггановление связей Ш. о. с. с силами, действующими в квантовых системах,— одна из фундам. задач физики. Наиб, изучено одномерное движение частицы (волны) во внеш. поле. Принципиально разработаны методы воздействия на свантовую систему, к-рые позволяют, изменяя форму потенциала v, трансформировать Ш. о. с. поднять или опустить определ. уровень энергии, уничтожить его или породить новый, передвинуть любое состояние в пространстве, нреобразовать зонную структуру периодич. поля, т. е. направленно изменить свойства системы. Этим методам отвечают точные решения обратной задачи рассеяния (см. Обратной задачи рассеяния метод), но в то же время возможно наглядное (качественное) рассмотрение, к-рое позволяет без вычислений установить, какова в общих чертах должна быть конфигурация внеш. поля, воздействующего на систему, для достижения желаемого изменения её Ш. о. с. [c.469]

Ш. у. н. может быть проинтегрировано с помощью обратной задачи рассеяния метода. В основе данного метода лежит представление ур-ния (1) в виде условия совместности переопределённой системы ур-ний (вспомогат, линейной задачи) [c.472]

I) справедливо и для системы (2), однако в последнем случае для разрешимости обратной задачи рассеяния требуется накладывать ряд дополнит, условий на данные рассеяния. Помимо стандартных методов для системы (2) существует метод построения решения с помощью преобразования Беклунда — Шлезингера. А именно, если Qo и Го—решения (2), то [c.473]

Уравнение распространения (2.3.35)-нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными, которое, вообще говоря, нельзя решить аналитически, за исключением некоторых частных случаев, когда для решения применим метод обратной задачи рассеяния [27]. Поэтому часто для изучения нелинейных эффектов в световодах необходимо численное моделирование. Для этой цели можно использовать множество численных методов [31-38], которые можно отнести к одному из двух классов 1) разностные методы и 2) псевдоспектральные методы. Вообще говоря, псевдоспектральные методы на порядок или даже более быстрее при той же точности счета [39]. Одним из наиболее широко используемых методов решения задачи распространения импульсов в нелинейной среде с дисперсией является фурье-метод расщепления по физическим факторам (SSFM) [33, 34]. Относительно большая скорость счета этим методом по сравнению с большинством методов конечных разностей достигается благодаря использованию алгоритма быстрого фурье-преобра-зования [40]. В этом разделе кратко описывается фурье-метод с расщеплением по физическим факторам, а также его применение для задачи распространения импульсов в волоконном световоде. [c.49]

Нелинейные свойства оптических световодов самым ярким образом проявляются в области аномальной (отрицательной) дисперсии. Здесь могут существовать так называемые солитоны-образования, обусловленные совместным действием дисперсионных и нелинейных эффектов. Сам термин солитон относится к специальному типу волновых пакетов, которые могут распространяться на значительные расстояния без искажения своей формы и сохраняются при столкновениях друг с другом. Солитоны изучаются также во многих других разделах физики [1-5]. Солитонный режим распространения в волоконных световодах интересен не только как фундаментальное явление, возможно практическое применение солитонов в волоконно-оптических линиях связи. В данной главе изучается распространение импульсов в области отрицательной дисперсии групповых скоростей, особое внимание уделяется солитонному режиму распространения. В разд. 5.1 рассматривается явление модуляционной неустойчивости. Показано, что при наличии нелинейной фазовой самомодуляции (ФСМ) стационарная гармоническая волна неустойчива относительно малых возмущений амплитуды и фазы. В разд. 5.2 обсуждается метод обратной задачи рассеяния (ОЗР), который может быть использован для нахождения солитонных рещений уравнения распространения. Здесь же рассматриваются свойства так называемого фундаментального солитона и солитонов высщих порядков. Следующие две главы посвящены применению солитонов в некоторых системах. В разд. 5.3 рассматривается солитонный лазер разд. 5.4 посвящен использованию солитонов в волоконно-оптических линиях связи. Нелинейные эффекты высщих порядков, такие, как дисперсия нелинейности и задержка по времени нелинейного отклика, рассматриваются в разд. 5.5. [c.104]

Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) (5.1.1) принадлежит к специальному классу уравнений, которые можно точно решить, испо зуя метод обратной задачи рассеяния (ОЗР). Этот метод был открыт Гарднером и др. [37]. Захаров и Шабат [34] использовали его для решения НУШ данный метод стал важным инструментом в математической физике [1-5]. Метод ОЗР по духу похож на метод преобразования Фурье, который обычно используют для решения нелинейных уравнений в частных производных. Этот подход состоит в определении подходящей задачи рассеяния, потенциал которой и есть искомое решение. Значение поля входного излучения (z = 0) используется для получения начальных данных рассеяния, динамика которых вдоль оси Z легко находится из решения линейной задачи рассеяния. Поскольку метод ОЗР в деталях изложен во многих книгах [1 -5], мы лишь кратко опишем, как он используется для решения уравнения (5.1.1). [c.111]

Из приведенных профилей интенсивности видно, что на начальном этапе распространения происходит быстрая трансформация фазовых флуктуаций в амплитудные. Средняя длительность пичков соответствует величине х . В дальнейшем происходит сравнительно быстрая фильтрация солитонной составляющей за счет дисперсионного расплывания шумовой компоненты. При 1 импульс превращается в соли-тон. Отметим точное совпадение амплитуды солитона, полученной в результате прямого интегрирования нелинейного уравнения Шредин-гера и вычисленной методом обратной задачи рассеяния для той же реализации начальных данных (6). [c.227]

Иногда удается сразу, не интегрируя уравнений ва коэффициенты операторов X, Y, дополнить соотношения (1.14) коммутаторами я соотношениями, замыкающими их в некоторую алгебру. Неоднозначность этой процедуры приводит к тому, что матрицы Ат В зависет от некоторого скалярного параметра А, который потом при решении прямой и обратной задачи рассеяния играет роль спектрального параметра. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...