Уравнения первого рода

Недостатком решений, представляемых посредством интегральных преобразований, является громоздкость структуры — они выражаются через двукратный интеграл, поскольку сначала нужно вычислить трансформанту от заданных функций, а по-. том, определив трансформанту искомой функции, перейти к оригиналу, Следует отметить еще одно весьма серьезное обстоятельство. Допустим, что трансформанта найдена. Тогда задача обращения фактически представляет собой задачу решения интегрального уравнения первого рода, например, для преобразо- [c.73]

Подставляя выражение (5.4) в уравнение (5.1) и изменяя порядок интегрирования, приходим к следующему уравнению, являющемуся интегральным уравнением первого рода ) [c.82]

Выше (в 4) для решения краевых задач предлагалось использовать то или иное интегральное представление, тождественно удовлетворяющее дифференциальному уравнению при произвольной функции, входящей в представление. Эта функция находилась из интегрального уравнения, соответствующего поставленной краевой задаче. При этом ядра интегральных представлений выбирались таким образом, чтобы получаемые интегральные уравнения (первого рода) решались посредством тех или иных частных приемов. [c.88]

ИЗ принципа максимума следует, что малые изменения краевых условий приведут к малым изменениям решения. Если искомую функцию выбрать в виде потенциала двойного слоя, то для плотности получается интегральное уравнение Фредгольма второго рода, которое является корректным уравнением (решение непрерывно зависит от правой части). Если же воспользоваться представлением в виде потенциала простого слоя, то получается уравнение первого рода, которое является некорректным. [c.191]

После такого несколько абстрактного изложения перейдем к подробному рассмотрению интегрального уравнения первого рода. [c.192]

Выделим теперь класс операторных уравнений первого рода, когда удается устранить некорректность. Пусть А = Ао + Аи где для оператора Ло известен обратный оператор Ло . Тогда операторное уравнение можно переписать в виде [c.194]

Именно в ЭТОМ и проявляется некорректность уравнений первого рода. Для решения таких систем можно применить описанные в 16 ГЛ. I регуляризующие алгоритмы. [c.598]

Доказанное позволяет строить регуляризующий оператор непосредственно, минуя вариационную постановку для сглаживающего функционала. Как известно [55], неустойчивость решения уравнений первого рода объясняется тем, что их собственные значения сгущаются к нулю и поэтому обратный оператор становится неограниченным. Сдвиг же спектра на по- [c.602]

Решение уравнений (9.18) и (9.37) приводит к решению интегрального уравнения первого рода [c.187]

Наиболее сложный этап при решении задач этим методом—выбор параметра регуляризации. Необходимо определить такое К, которое, с одной стороны, делало бы решение устойчивым, а с другой — незначительно искажало бы первоначальное интегральное уравнение первого рода. Для выявления значения К целесообразно использовать априорную информацию о решении [231] как для сужения области поиска, так и для окончательного его выбора. Установлено, что достаточно общим и математически обоснованным методом выбора параметра регуляризации является метод минимизации невязки [230, 231]. При его использовании можно обойтись минимумом априорной информации о решении, но приходится решать дополнительную задачу определения минимума функционала. [c.9]

Это соотногаение может быть записано в форме нелинейного интегрального уравнения первого рода [c.628]

Из систем линейных алгебраических уравнений первого рода относительно амплитуд дифракционного спектра решетки [25, 58] следует, что [c.72]

Основные граничные плоские и антиплоские задачи теории упругости для многосвязной области, содержащей криволинейные разрезы и отверстия произвольной формы, сведены в работах [94—96] к системе сингулярных интегральных уравнений первого рода по замкнутым (контуры отверстий и внешняя граница) и разомкнутым (разрезы) контурам. При этом предполагалось, что контуры разрезов и отверстий не пересекаются между собой (см. параграф 3 данной главы). Краевые трещины рассматривались только в некоторых частных случаях граничного контура (окружность, прямая), когда удается построить модифицированные сингулярные интегральные уравнения, не содержащие искомых функций на этом контуре [70, 95]. В последнее время изучались также задачи в случае произвольной симметричной области с краевой трещиной, находящейся на оси упругой и геометрической симметрии [27, 53, 58, 104] (см. также параграфы 3—5 четвертой главы). Ниже, следуя работе [97], приводятся обобщения указанных выше результатов на общий случай многосвязной области с разрезами и отверстиями, когда разрезы одним или двумя концами могут выходить на внешнюю границу и контуры отверстий. Получены численные решения построенных интегральных уравнений при одноосном растяжении бесконечной плоскости с одним или двумя круговыми отверстиями, на контуры которых выходят радиальные трещины. [c.33]

К настоящему времени существует довольно большой набор аналитических методов решения собственно смешанных задач для тел конечных размеров канонической формы. Подробный обзор таких методов можно найти в [13, 312]. Назовем только некоторые из них метод сечения [111], метод парных рядов [17, 19, 40, 58, 59, 187-189, 291-294, 310, 311, 315, 337], метод интегральных уравнений первого рода с периодическими ядрами [13, 54, 201], метод [c.10]

Сведение парного ряда-уравнения общего вида к бесконечной системе первого рода с сингулярной матрицей. Ниже будет приведен метод сведения широкого класса таких парных рядов-уравнений к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей и некоторые подходы к исследованию таких систем [40, 310, 311, 336]. Аналогично могут быть рассмотрены и тройные ряды-уравнения. [c.28]

Метод решения бесконечной системы первого рода путем сведения к конечной системе первого рода. В этом разделе излагается другой подход (см., например, [133, 177, 305, 319] и др.) к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов (1.6). Метод основан на знании характера поведения решения систем при больших номерах, что может быть определено из анализа поведения решения исходных задач в особых точках. Это позволяет свести бесконечную систему к эффективно решаемой конечной системе. Метод не требует факторизации функций, позволяет найти главный член решения бесконечных систем и, вместе с этим, найти в явном виде особенности решений задач в точках смены граничных условий. Предлагаемый подход практически не накладывает ограничений на параметры задач, а численная его реализация не требует больших затрат времени ПК. [c.33]

Решение методом больших Л интегрального уравнения первого рода с логарифмической главной частью ядра. Многие плоские смешанные задачи механики сплошной среды сводятся к решению интегрального уравнения [88 [c.39]

Здесь для решения парного ряда (2.104)-(2.105) использован метод (см. 1.2) сведения его к исследованию бесконечной системы линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов вида (2.62). [c.82]

Решение парного ряда-уравнения (2.118) так же, как и парного ряда-уравнения (1.1), может быть получено методом сведения его к исследованию бесконечной системы линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов (1.6). [c.89]

При сделанных предположениях парный ряд-уравнение может быть сведен к следующей бесконечной системе линейных алгебраических уравнений первого рода (1.6), в которой элементы матриц и правых частей ВДг) = (г) даются следующими соотношениями [c.89]

Для решения парного ряда-уравнения воспользуемся также методом сведения его к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей. Функция К и) из парного ряда обладает необходимыми для этого свойствами. Для преодоления в дальнейшем трудностей, связанных с факторизацией функции К и), аппроксимируем ее на действительной оси функцией (1.13) при В = А. [c.94]

Рассмотрим плоскую статическую задачу теории упругости о вдавливании без трения штампа в цилиндрическую поверхность кольцевого сектора. Предполагается, что штамп расположен несимметрично, остальные границы сектора взаимодействуют с гладкими неподвижными поверхностями [189]. Задача исследуется путем сведения полученных тройных рядов-уравнений к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей (см. 1.2). После обраш,ения главной части получена система второго рода, ре- [c.118]

Предлагаемая схема опирается на работы [80, 81]. Решение исходной задачи представляется в виде суперпозиции решений более простых задач для кольца, которые эквивалентны соответствующим задачам для сектора кольца с одним или несколькими штампами с известными условиями на торцах и могут быть сведены к парным (тройным и т.д.) рядам-уравнениям и далее к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей. Последние урезаются специальным образом с учетом асимптотического поведения их решения [305, 319] и решаются любым прямым методом. Приводятся результаты численной реализации решения задачи с четырьмя штампами, когда три штампа неподвижны, а перемещение четвертого задано. Исследована зависимость величин контактных напряжении, сил и моментов для каждого штампа в зависимости от параметров задачи. Периодические контактные задачи для кольца рассматривались в работах [66, 98, 187, 280] и др. [c.131]

Последний результат не имеет физического смысла, но в совокупности с формулами (1.64), (1.65), (3.188)-(3.191) часто оказывается полезным для регуляризации интегральных уравнений первого рода двумерных контактных задач для областей, ограниченных координатными линиями некоторых систем криволинейных координат на плоскости [2761. [c.157]

Метод, которым в первой части были решены задачи о полу-бесконечных волноводах, обычно называют методом Винера— Хопфа — Фока или методом факторизации. Действительно, в фундаментальных работах Винера и Хопфа 2] и Фока [1] дан общий метод решения интегрального уравнения с ядром, зави-сяш,им от разности переменных, и в полубесконечных пределах. Это интегральное уравнение может быть как однородным, так и неоднородным, но первоначально метод решения был дан для уравнения второго рода, в то время как диффракционные задачи сводятся к интегральному или интегро-дифференциальному уравнению первого рода (см., например, гл. I). Однако метод факторизации, данный в работах [1] и [2], легко переносится на эти уравнения, а также на эквивалентные им функциональные уравнения, которые приводят к решению задачи более коротким путем (см. гл. II и III). Для несимметричных электромагнитных волн в полубесконечном круглом волноводе (гл. IV) получается система двух функциональных уравнений. В общем случае система интегральных уравнений Винера—Хопфа—Фока или эквивалентных им функциональных уравнений не решается, но благодаря своей простоте эта система допускает точное решение, несколько более сложное (см. 25), чем для одного уравнения, но все же достаточно эффективное — оно позволяет рассчитать все важные физические величины. [c.199]

Подстановка (53.16) в (53.13) и использованпо (53.12) приводит к сингулярному интегральному уравнению первого рода [186, 231] [c.419]

В качестве примера изложенного метода рассмотрим результаты восстановления (рис. 3.9) вектора нормальных усилий Рг(>") на торце полого кругового цилиндра с теми же геометрическими размерами поперечного сечения, что и в приведенном выше примере. Высота цилиндра -100 мм. Исходная информация бралась в виде радиальной компоненты вектора перемещений на наружной поверхности цилиндра. Внутренняя и наружная поверхности цилиндра свободны от нагрузок, нижний торец закреплен от осевых перемещений. Расчеты проводились вариационноразностным методом на регулярной сетке Аг = 10 мм, Дг = 5 мм. Вначале решалась прямая задача по заданному вектору нормальных усилий на горце р (г) находился вектор перемещений на внешней грани цилиндра затем обратная задача. На выбранной сетке строились матричные аналоги интегральных операторов уравнений (3.16) и (3.17), по которым находился матричный оператор уравнения (3.18). Методом последовательных приближений решалась разностная задача для уравнения (3.18). На рисунке приведены точное решение — пунктирная линия нерегуляризованное решение, соответствующее решению интегрального уравнения первого рода (3.9) и не имеющее ничего общего с искомым решением - кружки с крестиками решение уравнения (3.18), полученное методом последовательных приближений при различных начальных приближениях вектора р°(г) (осциллирующая функция — квадраты, сосредоточенная сила - треугольник. Из рисунка видно, что метод дает устойчивое приближение к искомой функции и мало чувствителен к выбору начального приближения. [c.78]

В предложенном способе решения избегнуто непосредственное рассмотрение интегральных уравнений первого рода (6.2.6), [c.313]

Уравнение (92) и есть искомое соотношение между эксперимен тально наблюдаемой функцией со (т ) и функцией течения / (х) Вследствие линейности относительно / (т) это уравнение пред ставляет собой модифицированное интегральное уравнение Воль терра первого рода с двумя переменными верхними пределами В случае уравнения второго рода типа (92) известно, что его ре шение существует и единственно. Это имеет место и для уравнения первого рода, если его можно привести к уравнению второго рода. [c.212]

В заключение коротко остановимся на математической стороне теории кон-, тактных задач. Все конкретные рассмотренные задачи относятся к классу одномерных. Их можно свести либо к решению. обыкновенных дифференциальных уравнений (кроме случая упругого невйнклеровского основания), либо к интегральным уравнениям. Если в основу полагается теория Кирхгофа—Лява и обо- лочка (или пластина) контактирует, с жестким телом, то получается интегральное уравнение первого рода, решение которого будет некорректным. Учет эффекта поперечного обжатия приводит к интегральному уравнению второго рода, и задача становится корректной. Учет поперечного сдвига также может привести к интегральному уравнению второго рода. Так как одну и ту же задачу можно сформулировать в виде дифференциальных и интегральных уравнений, естественно ожидать наличия связи между этими уравнениями. Выяснению этой связи, в частности, посвящены работы Ю. П. Артюхина [6] и Г. Я. Попова [61]. В статье [61] дано решение интегральных уравнений для контактных задач. [c.212]

Мхитаряи С. М. Об эффективном решении некоторых классов линейных интегральных уравнений первого рода н связанных с ними дифференциальных уравнениях. — Доклады АН Арм. ССР, Прикладная математика, 1969, т, 48, № 2 с. 71-78. [c.317]

В обгцем виде поставленная задача математически приводится к регаению некоторого интегрального уравнения первого рода. В задачах теории крыла это ядро интегрального уравнения имеет особую точку, благодаря чему интеграл является несобственным, что чрезвычайно усложняет задачу. В рассматриваемой заботе М.А. Лаврентьев указал процесс, который приводит к регаению, и доказал сходимость этого процесса. Сугцность метода представляет обычный в теории интегральных сравнений прием замены их системою линейных уравнений. Доказательство сходимости полученного приближенного процесса приведено автором со всею нужною математической точностью. Регаение получается в виде доста- [c.171]

Уравнение (5) есть нелинейное интегральное уравнение первого рода. В этой статье мы оставим в стороне вопрос о строгом регаении задачи и ограничимся тем, что наметим некоторые приближенные методы без строгого обоснования. Некоторые из этих методов будут нами в дальнейгаем действительно использованы для обработки результатов наблюдений. [c.626]

Если приближенное выражение к ь ) функции к ь ) известно, то поправка к нему может быть определена путем применения к уравнению (5) метода Ньютона, обобгценного на гаирокий класс нелинейных функциональных уравнений Л.В. Канторовичем [5, 6]. В отличие от случаев, рассмотренных Л.В. Канторовичем, а также Д.М. Загадским, мы должны применить метод Ньютона к нелинейному интегральному уравнению первого рода. Для этой цели рассмотрим оператор [c.628]

Задача построения приближённого решения интегрального уравнения первого рода (8.63) в классе кусочно-постоянных функций Кп является корректной по Тихонову, поскольку компактно в пространстве L2 квадратично суммируемых функций, а интегральный оператор, стоящий в правой части уравнения (8.63), непрерывен (см. [136]). Алгоритм численного решения задачи описан в [40, 55]. [c.448]

Для решения уравнения (3.71) используем метод, основанный на сведении его к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений первого рода с сингулярной матрицей (см. 1.2). Предположим, что перемещение штампа и его форма задаются соотношением 6 (р) = = (5 os( , 5 = onst). Тогда, решив уравнение (3.71) с правой частью [c.121]

На основе точных решений интегральных уравнений первого рода, содержаш,их в качестве ядер эллиптические функции Якоби (см. 1.4), получено точное решение контактных задач теории упругости о чистом сдвиге штампом (в общем случае деформируемым) цилиндрического тела, представляюшего собой в сечении область, ограниченную координатными линиями ортогональной линейной системы координат на плоскости, коэффициенты Ламе которой удовлетворяют некоторым условиям [168]. Сюда относятся декартовы, полярные, биполярные, параболические, гиперболические и другие координаты. Аналогичные задачи в случае полосы изучались в работе [44], здесь же предложена схема построения точного решения рассматриваемых задач путем конформного отображения полосы на конечную область. [c.153]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...