Метод Якоби

Содержащиеся в книге методы анализа систем канонических уравнений Гамильтона включают метод Якоби-Гамильтона, теорию последнего множителя Якоби [70], интегральные инварианты, переменные действие-угол [21, 49, 55]. Для иллюстрации эффективности приложений всего этого арсенала методов в книге даются элементы теории возмущений. [c.13]

МЕТОД ЯКОБИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВПЕПИЙ 301 [c.303]

МЕТОД ЯКОБИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ 305 [c.305]

Посмотрим, что дает в этом случае метод Якоби. Этот метод состоит в том, что нужно найти для дифференциального уравнения [c.480]

Применим метод Якоби. Уравнение, определяющее W, для которого требуется найти полный интеграл, будет следующего вида [c.484]

Применить метод Якоби к следующим примерам. [c.502]

Рассмотреть приложение метода Якоби к математическому маятнику. [c.503]

Рассмотреть приложение метода Якоби к задаче п. 260. [c.503]

Приложить метод Якоби к нахождению по п. 312 фигуры равновесия однородной тяжелой цепочки. [c.504]

Метод Эллиота для случая сопротивления, пропорционального скорости. Мы допустили в предыдущей главе, что составляющие X, Y, Z равнодействующей заданных сил, приложенных к движущейся точке, суть частные производные некоторой функции U(х, у, г, t). Мы обязаны Эллиоту остроумным замечанием, что уравнения движения можно привести к каноническому виду и вследствие этого применить метод Якоби также и в том случае, когда к силе X, Y, Z присоединена сила сопротивления, пропорциональная скорости. Возьмем, например, движение точки массы 1 по неподвижной или движущейся поверхности f x, у, z,t) = Q под действием силы [c.504]

Пример, в котором связи зависят от времени. Применим метод Якоби к задаче, изложенной в п. 455. [c.372]

Применим метод Якоби. Уравнение с частными производными будет [c.372]

Метод Якоби дает сразу искомое движение. Переменные р, в рассматриваемом случае определяются равенствами [c.374]

В этом случае метод Якоби дает возможность определить движение при помощи квадратур. [c.375]

Преимущество канонических уравнений. — Канонические уравнения Гамильтона благодаря их особенной форме получили большое применение в механике. Это легко понять, если иметь в виду метод Якоби интегрирования уравнений с частными производными первого порядка. Действительно, канонические уравнения механики, которые могут быть написаны в следующей форме [c.234]

Но отыскание полного интеграла методом Якоби требует со своей стороны выполнения к последовательных интегрирований, вводящих каждый раз произвольную постоянную, и, кроме того, еще одной квадратуры. После этого 2к интегралов движения получаются уже без новых интегрирований. Можно сказать поэтому, что благодаря такому использованию полного интеграла трудность интегрирования уравнений механики уменьшается наполовину. [c.235]

Метод Якоби опирается на свойства некоторых выражений, известных под названием скобок Пуассона, и на некоторые общие предложения, относящиеся к системам уравнений с частными производными. Но канонические уравнения механики, в которых переменная Ь играет особую роль, не симметричны относительно всех переменных. Поэтому основы метода удобнее изучить сначала на симметричных выражениях, чтобы применить их потом к каноническим уравнениям. Это именно мы и сделаем в следующих пунктах. [c.235]

Метод Якоби нахождения полного интеграла. — Рассмотрим уравнение с частными производными, не содержащее неизвестной функции г, [c.246]

Метод Якоби для получения полного интеграла этого уравнения заключается в том, что к уравнению присоединяют k—1 новых соотношений, каждое из которых содержит произвольную постоянную а, [c.246]

Применение метода Якоби к каноническим уравнениям.— Уравнение с частными производными, от которого зависит интегрирование уравнений механики, может быть написано, как известно (п°437), в виде [c.248]

Для определения полного интеграла уравнения (2) применим метод Якоби в его непосредственной форме. Нам нужно будет искать к различных интегралов уравнения (4), р , Р ,..., Р , связанных условиями [c.250]

В качестве действия Эйлер и Лагранж использовали тот же самый интеграл, который является основой принципа Якоби — разница заключалась только в параметре т. Более того, Эйлер и Лагранж использовали соотношение (5.6.15) в качестве дополнительного условия, что эквивалентно исключению Г из этого выражения. Как известно, дополнительные условия можно учитывать либо путем исключения переменных, либо при помощи метода неопределенных множителей, Первый способ соответствует методу Якоби, а второй — методу Лагранжа. При этом второй способ приводит к появлению новой формы интеграла действия [c.164]

Это действительно так, если считать, что основная задача механики состоит лишь в интегрировании уравнений движения. Но такая ограниченная точка зрения была бы несправедливостью по отношению к далеко идущим исследованиям Гамильтона. Пользоваться непосредственно главной функцией Гамильтона действительно нельзя, и приходится прибегать к методу Якоби, но тем не менее главная функция Гамильтона остается важной и интересной функцией и служит гораздо более глубоким целям, чем простое интегрирование канонических уравнений. Поэтому сравнение tt -функции Гамильтона с S-функцией Якоби заслуживает того, чтобы на нем остановиться. Постигнув все тонкости теории Гамильтона, мы придем к заключению, что в теории Гамильтона два уравнения в частных производных столь же необходимы и естественны, как одно уравнение в теории Якоби. [c.292]

Метод Якоби интегрирования уравнений движения [c.358]

Уравнение Гамильтона-Якоби. Теория канонических преобразований приводит нас к методу Якоби интегрирования канонической системы уравнений движения [c.358]

Теорема Якоби позволяет свести интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1) к нахождению полного интеграла уравнения (7) в частных производных. Вторая задача, конечно, не проще первой, а даже более сложна. Но оказывается, что метод Якоби является весьма эффективным среди существующих методов нахождения точных решений системы (1). Он также является одним из наиболее мощных методов приближенного интегрирования канонических уравнений. [c.359]

Покажем теперь, как- осуществить дальнейшее понижение числа уравнений — с восьми до шести. Это делается с помощью процедуры, предложенной Якоби и известной как исключение узлов ). Коэффициент при — са в выражении (29.8.5) равен моменту количеств движения системы относительно точки О. Как показывают уравнения движения, эта величина сохраняет постоянное значение. Основная идея метода Якоби заключается в применении такого контактного преобразования, в котором выражение для момента количеств движения [c.585]

Метод Якоби состоит в том, чтобы, не пытаясь прямо интегрировать обыкновенные дифференциальные уравнения движения, разрешить уравнение Гамильтона — Якоби, которое в соответствии с (77.2) имеет вид [c.251]

Программа JA OBI написана на языке BASI . Она находит все собственные значения и собственные векторы симметричной матрицы А = итерационного метода Якоби [1,2] [c.117]

МЕТОД ЯКОБИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНШИЙ [c.307]

Так будет, например, в случае, когда невозмушенная система (1) интегрируется методом Якоби при помощи разделения переменных, а ее движения обладают свойством периодичности. Тогда pi это переменная действие (см. п. 183), а возмущение Н — Яо, записанное в переменных действие-угол, будет 2тг-периодическим по угловым переменным [c.392]

Предположим, что мы произвели некоторое каноническое преобразование гамильтоновых уравнений некоторой данной задачи. Уравнения сохранили свою форму, но гамильтонова функция Н(д, р) превратилась в функцию Н д, р) новых переменных д ир. Если мы умеем интегрировать новые гамильтоновы уравнения, то решение исходных уравнений будет немедленно найдено и задача тем самым решена. В общем случае новые уравнения могут не иметь никаких преимуществ перед исходными в отношении интегрируемости. Но Якоби показал, что если можно построить такое каноническое преобразование, которое преобразует гамильтонову функцию Н(д, р) в Н(р), которая содержит только переменные р, то полученные уравнения Гамильтона могут быть немедленно проинтегрированы и, следовательно, динамическая задача решена. Таким образом, метод Якоби состоит в замене прямого интегрирования уравнений Гамильтона отысканием соответствующего канонического преобразования. Этот метод Якоби для интегрирования уравнений Гамильтона является примером преобразования одной математической проблемы в другую. Вместо попыток прямо интегрировать уравнения Гамильтона, мы ищем решение совершенно другого рода уравнения. Подобная же картина имеет место для случая связи между конформными преобразованиями и задачей Дирихле. [c.832]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...